(3^k+1)(3^k-1)=2^b$$と整理できます。\end{cases}$$と表すことができます。3)}$$となります。(コメント)数学愛好家にとっては割と親しみのある内容なのですが、受験生からしてみればそんな訳にはいかないでしょう。親切な誘導設問が用意されていますので、しっかり誘導に乗ることができればそれほど苦労せずに正答に辿り着けるものと思います。上記の解説では$$(3^k+1)(3^k-1)=2^b$$と式変形したあと、左辺の因数について$2$の冪で置き直していますが、これにより分かりやすい形で解の候補を絞り込むことができています。このように得られた条件を文字によって式化する、という方法は整数問題を解く上では非常に大切で、条件の式化によって文字式の因数分解や、剰余に関する考察ができるようになり、問題解決の糸口を発見できることが結構あるのです。今後、整数問題を解く機会が予想される受験生の皆さんは、このことを是非とも心に留めておいてください。本問の題材となったミハイレスクの定理については、その他の興味深い定理とともに、当サイトの「整数第4章『諸定理と数論の四方山話』」の頁に掲載しています。それから、実は昨年、数学セミナー(2017年7月号)の人気コーナー「エレガントな解答を求む」の問題に、ミハイレスクの定理(カタラン予想)の特別な場合に関する出題がありました。1)$、$n$は正の整数)という形の出題で、整数分野に心得のある高校生であれば十分に解答できると思います。解答の募集自体はとうの昔に終わっていますが取り組む価値のある問題なので、腕に覚えのある方は腕試ししてみるのも一興かと思います。(2018/04/14追記)本問は1988年の数学セミナー(10月号)に誘導設問が無い形でほとんど同じ出題があります。20年以上前の学習院大でも同様の出題があるという噂(?)を聞いています。本問は指数型の不定方程式としてはかなり有名な(簡単な?)部類に入ります。(2018/04/28追記)2015年の奈良県立医科大学の後期第3問に以下のような出題がありました。《問題》$a$を$2$以上の整数、$p$を$2$より大きい素数とする。場合に限ることを証明せよ。「エレ解」の設定に比べてやや難度は下がりますが、この問題もまさしくミハイレスクの定理の特殊な場合に該当します。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/01/01記)明けましておめでとうございます。本年も魅力的なコンテンツを発信していけるように頑張っていきますので、どうぞ当サイトを宜しくお願い致します!当サイトについてのご意見ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。