その変化量は下記のような線形の形で表されるであろう。線形結合で表されると考えて良いだろう。添字は単にそれぞれを区別するために付けてあるだけです。係数が必要になります。[補足説明1]上式の係数だけ書き出して並べるととなるが、左端の3つはdv1=1だけ(つまり基底ベクトルa1分)変化したときの変分を示し、真ん中の3つはdv2=1だけ(つまり基底ベクトルa2分)変化したときの変分を示し、右端の3つはdv3=1だけ(つまり基底ベクトルa3分)変化したときの変分を示しています。このことは、本節を最後まで読まれれば解ります。上記の線形結合式の係数はちょうど3.(1)で説明した、各点に於ける基底ベクトルの変換式(そこでは同じ点での変換係数でしたが)の係数Ai'jに相当するようなものです。今は場所を移動したときの変化の様子を表す変換式の変換係数だと考えて下さい。次のようにすれば求まる。微分するとが得られる。ここで添字ijkをijk→jki→kijとサクルリックに変えると、同様にしてが得られる。2.(1)で説明したようにが成り立つ。これを用いて、(2)式+(3)式−(1)式をつくればとなる。“基本計量反変テンソル”の成分である事に注意して下さい。乗じたのは最後の赤線で囲った関係式を用いる為です。“クリストッフェルの3添字記号”は計量テンソル成分から下記のようにして計算されるものです。この式は重要なので、フライシュ文献1.の導き方も別ページで引用しておきます。内容は同じなのですが、別の見方でも導けると言うことです。このとき、(v1,v2,v3)は基底ベクトルを単位として測られた座標値“ガウス座標”である事を忘れないで下さい。入れ替えに関して対称であることが解ります。このことは頭の中に基底ベクトルの作る平行六面体セルを思い浮かべて、そのセルの稜に沿って基底ベクトルを動かしたときの変化が想像できるかにかかっています。想像できればクリストッフェル記号の意味は明らかでしょう。3×3×3=27個必要なのかも明らかでしょう。このことについては4.(4)3.を参照されたし。クリストッフェルの3添字記号は隣り合った基底ベクトルの変化の様子を表す係数で、隣り合った基底ベクトルが作る単位セルをつなぎ合わせていくときの接続の様子を示している。その為この係数は“接続係数”と呼ばれることもある。次項の[例9]をご覧になれば解るように、その接続の様子で空間の歪みや曲がり具合が解るわけですから、リーマン幾何学で最も大切な量です。2.(8)で説明していますので参照して下さい。下図は2次元ユークリッド空間に引かれた極座標の一部を示したものです。ガウス座標値を数えるもととなる基底ベクトルが作る単位セルの格子定数(計量テンソル)はθ方向がrで、r方向が1で与えられるのですが、rでは解りにくいのでθ方向はr/20に縮めて表しています。[拡大図はこちら]上図では細部が解りにくいのでr=10、20、30付近の格子を拡大するとの様になります[拡大図はこちら]。図中の基底ベクトルの変化量とクリストッフェル記号との対応は明らかでしょう。成ることも読み取れます。計量テンソルやクリストッフェル記号は場所(r,θ)と共に変わりますが、上記の様な格子を貼り合わせても平坦な空間(いまは平面)しか得られないことも明らかでしょう。例としてθ=π/4、π/2、3π/4付近の格子図を示します。図をご覧になれば基底ベクトルの変化の様子を示すクリストッフェル記号の意味は明らかです。成ることも読み取れます。[拡大図はこちら]ちなみに図中の三角関数のグラフは下記の様になります。この様な格子セルを貼り合わせると曲がった空間(球面)になることは明らかです。なる原因はクリストッフェル記号の中に表れるθによる変化の為だということも解ります。このとき、《第2に重要なこと》で注意したように、球面の分割線を上記の様に経線・緯線状に引く必要はありません。東京に四角い測量開始の正方形を設定して、4.(2)[補足説明1]で説明した様にその四角形の一辺と同じ長さの単位棒を沢山準備して、最初に設置した四角形の四方に四辺形の網目を広げていっても良い。網目を構成する等辺四角形はそのうち必然的に正方形では無くなりひしゃげた平行四辺形となりますが、いずれにしてもその様な四角形の網目で地球の裏側のリオデジャネイロ(ブラジル)まで地球表面を全て覆い尽くすことができます。その網目の計量テンソルを計算すれば、各地点のクリストッフェル記号と曲率テンソルは計算でき、そのことから分割した網目を繋ぎ合わせると球面となることが解ります。[補足説明1]くどいようですが、《第5に重要なこと》の意味をもう一度確認します。2次元ユークリッド空間(平面)を極座標で分割した場合の計量テンソル、クリストッフェル記号、リーマン曲率テンソル(=0)を[例8]と[例9]て説明しました。2次元ユークリッド空間(平面)ならば、極座標ではなくて正方格子状の単位セルで分割して全空間を正方形で埋め尽くすことができます。すれば全空間にわたって同一の計量テンソルとなり、クリストッフェル記号は全空間においてとなります。全ての点におけるリーマン曲率テンソルはとなることが直ちに解ります。この場合全空間において基底ベクトル系と双対基底ベクトル系が一致しますので、全空間の正方格子をそのままの形を保ったまま回転させて新しい基底ベクトル系に変換しても、その空間内のベクトル成分、テンソル成分の座標値の変換に反変とか共変の様な面倒な違いは出てきません。ところが、2次元リーマン空間(球面)では、その様な正方格子セルで全空間を埋め尽くすことはできない。局所的には正方格子セルを設定できますが、格子セルは場所の移動とともに必然的に平行四辺形セルに歪んで行きます。歪んで行きますが、球面人は彼が住む全空間に渡って格子を設定し曲線座標を引いて分割することはできます。全空間の“計量テンソル”、“クリストッフェル記号”、“リーマン曲率テンソル”を測量して求めることができます。その各部分はユークリッド空間と見なせるのですから。このことは、例えば地球の表面上のどの点に於いても、その近傍の重力を打ち消す座標変換を行うことができる事を意味します。各地て、それぞれ地球の中心に向かって自由落下する座標系に乗り移れば良いのです。その座標系でも端の方に行けば重力を完全に打ち消すことはできません。自由落下している系の周囲に配置した物体はやがて系の中心の方へ近付いてくるでしょうから。局所的な無重力系はつくれても大域的な無重力系は作れないのです(。ランダウ、リフシュツ「場の古典論」第10章§81〜82参照)。このように部分的には重力は消せても他のところに必然的に重力が存在するようにならざるを得ないことは重力によって時空間が曲がっているという事を強く示唆します。[補足説明2]前記[補足説明1]の最後の文節について補足します。太陽の周りの空間は太陽質量(太陽の重力場)のために歪んでいますが、宇宙空間に網目を現実に引くことはできません。それができたら、2.(6)[補足説明]で説明したb)の立場を実行できたことになります。そのため皆既日食の時に太陽の側を通過してくる光線の曲がり具合や、太陽表面や白色矮星表面からやってくる光線のスペクトル波長の赤方偏移などから間接的に時空の歪みを知ることになります。これが2.(6)[補足説明]で説明したa)の立場です。(ここの説明はとても解り難いと思います。このことに関しては別稿「Sommerfeld著「電磁気学」§38の[補足説明]をご覧下さい。)実際のところアインシュタインもその様にして空間の歪みを確かめたのです。アインシュタインは物質(エネルギー)の存在が空間(正確には時空)を歪める事を発見した。1915年11月25日、物質(エネルギー)の分布と時空の歪みを関係づける方程式(“重力場方程式”)を求めることができた[実際のところ、1912年秋の段階から更に3年の歳月を要したのですが]。アインシュタインが求めた方程式は、両者の関係を与える方程式としては最も簡明(テンソル方程式なので理解するのは難しい)なものでしたが、今のところその正しさを疑わせる実験・観測結果は存在しないので現在でも正しいと思われています。いずれにしても、その方程式を得ることができたアインシュタインは、現実の太陽系の太陽質量や重力場の分布は解っていますから、その方程式をつかって太陽系の空間の歪みを計算できます。彼は、その歪んだ空間が水星軌道の近日点移動を生じさせる事を計算で示すことができたのです。それは長い間謎だった100年当たりの近日点の移動角度(43”)を数値的にも極めて正確に導き出せたので、確かに太陽近傍の空間が歪んでいることが間接的に実証されたのです。[Paisは著書「神は老獪にして・・・」p331に“この発見(43”を導けたこと)は、アインシュタインの科学者としての生活において、いやおそらくは一生涯で、何といっても最も強く感動した経験であった、と私は思う。”と書いていますが、正にそうだったでしょう。Sommerfeld宛の書簡(1915年11月28日付)参照。アインシュタインはエーレンフェスト宛の書簡(1916年1月17日付)で、その感激の様子を具体的に伝えています。]また、太陽近傍を通過する光線の曲がる量も特殊相対性理論(この理論は光子が質量を持つことを示している)から予想される量の2倍だったことから空間が曲がっている事が裏付けられた。星の表面から来るスペクトル線の赤方偏移からの確認は、その観測の難しさと現実の白色矮星の質量と半径の見積の難しさからかなり年月を要しましたが現在では完全に裏付けられています。[この当たりはSommerfeld著「電磁気学」§38の説明が秀逸ですので、是非ごらん下さい。]さらに最近では重力波の直接観測からも裏付けられている。[目次へ帰る]ここで、3次元リーマン空間でのクリストッフェル記号の例を示す。内、下付き添字ijを入れ替えたものは互いに等しいから、定義式においてが成り立ちます(このことについては4.(4)1.[注意]参照)。隣接する基底ベクトル系に添字を付け加えて区別すると図が錯綜するので、ここでは色分け(赤、青、緑)でそれぞれの基底ベクトル系を区別している。2.(2)[例1]の図とは色を変えて、黒色矢印で示してある。それぞれの方向に延長移行したものが、図中の黒色細矢印です。図では双対基底ベクトル系の矢印は省略しているが、もちろん各基底ベクトルから同様に定義できる。[拡大図]図がかなり錯綜していて解りにくいが、図中の数値は3次元ユークリッド空間(x,y,z)の座標値です。a1、a2、a3の状況を示している。これらの隣接する基底ベクトル系の座標値の変化量は適当に仮定したもので、図中にも書き込んであります。長さとそれらの交叉角をユークリッド空間での物指しと分度器で測定したと仮定して適当に与え、それらか2.(6)の手順を逆にたどって各基底ベクトル格子の計量テンソルを求めても良い。大事なのは隣り合った基底ベクトルセルが作る格子の計量テンソルが与えられている事です。ここで取り上げた基底ベクトルの測定値は3次元リーマン空間中に任意に引かれた分割曲線に沿って測定していることに注意して下さい。その分割線は、《第2に重要なこと》で説明したように、どのように引かれた分割曲線を採用しても良い。上図の値はたまたま採用した分割曲線に沿っての3次元ユークリッド曲線での測定値です。《第1に重要なこと》で注意したように、3次元リーマン空間の任意の点は3次元ユークリッド空間であると見なせるのでした。これこそがアインシュタインが、ガウスの曲面論から、気付いた最も重要ことです。27個のクリストッフェル記号がどの変位に対応するか下図に示す。沿った方向であることを注意。変位したときの変位の大きさです。長さを単位として与えられている。このことは、実際にクリストッフェル記号の数値を計算してみれば解る。格子セルの計量テンソルを求める。それぞれの計量テンソルは、2.(4)[例4]と同様に、その定義に従って求めれば良い。それぞれの長さと互いの交叉角を計算できます。それは、最初に与えた(x,y,z)座標値からベクトルの内積公式を用いても直接計算できます。ここで、27個のクリストッフェル記号と計量テンソルとの関係式を全て書くととなります。原点における基底ベクトルから2.(4)[例4]の手順で求めたです。2.(2)[例1]で求めた原点における双対基底ベクトルに対して2.(4)[例4]の手順を適用したです。単位とした座標値である事を考慮するととなる。単位とした座標値であるからとなります。これらの値を前記のクリストッフェル記号の計算式に代入するとが求まる。この計算はMathematicaのような数式処理ソフトを用いないと面倒ですが、とにかく前図の変位量に相当する値が得られる。図上で比較すると変位量は基底ベクトルの大きさを単位として与えられていることが読み取れます。[目次へ帰る]4.(4)1.で説明したように、クリストッフェル記号は“基底ベクトル”の場所的な変化に伴う変分を表す係数としてで定義された。同様な思考によって、“双対基底ベクトル”の場所的な変化に伴う変分を表す係数としてで定義されるΛkij(ラムダ)が考えられる。接線方向)の変化で考えていることに注意されたし。“双対基底ベクトル”の接線方向は座標曲線の方向とは異なりますので、双対基底ベクトルの接線方向の変化に伴う変位を考えても意味が無いからです。関する微分が必要とされることが無い理由でもあります。このことがベクトルやテンソルの“共変微分係数”は、元のベクトルやテンソルの共変階数が一つ増えたテンソルになる理由でもあります。関数として表されるはずです。その関係式は上式を用いれば簡単に判明する。偏微分するとが得られる。双対基底ベクトルの変化の様子を表す係数は、基底ベクトルの変化の様子を表す係数(クリストッフェル記号)と表裏一体の関係によって決まっている。なることは、当然予想されることです。例にして“共変微分”について説明します。これは4.(3)[補足説明3]で説明した内容の具体的説明です。[目次へ帰る]4.(4)1.の最初に説明した基底ベクトルの変分に偏微分係数を代入して変形するととなります。移動した点の基底ベクトルの変化分を表しています。式が複雑なのでその意味が読み取りにくい。そのため[例11]で具体的に説明します。計算が面倒なのでMathematicaを利用します。ベクトル的に加算したものになります。表示すと、2.(2)[例1]の値からとなります。これを前記の式に代入するとが得られる。2.(1)の手順に従って直ちに求まりとなる。重ねて表示すると下図のようになる。変えて表示してあります。そのベクトル場の場所的な変化の様子を具体的な例で説明する。同じにして、w(dv1,dv2,dv3)をそれから少し変えてあります。それらのベクトルをガウス座標値と一緒に図示するととなります。求めていますが、これは2.(5)[例5]で説明したものと同じです。2.(3)で説明した手順に従って求めています。4.(3)で説明した《第2に重要なこと》に従うと、3次元リーマン空間を分割する網目はどのように引いても良いのでした。局所的には正方格子状に網目を引くことができます。これは、[3次元リーマン空間]中の1点におけるユークリッド的“接空間”である[3次元ユークリッド空間]です。これを一般相対性理論の場合に当てはめると、[4次元リーマン時空]中の1点における擬ユークリッド的“接空間”である[Minkowski時空]に相当します。このことは4.(6)でもう一度説明します。a1、a2、a3系からによって新しい基底ベクトルex,ey,ez系に変換すると正方格子状の座標系に変換できます。この変換式は3.(1)で示した基底ベクトル系a1、a2、a3の変換式の一例ですが、これは2.(2)1.[例1]で最初に仮定したex,ey,ez系からa1、a2、a3系への変換式の逆変換に相当します。これは正に3.(1)で説明した“基底ベクトル”の変換式(C)式とその逆変換の関係です。実際、(E)式と(F)式の変換係数行列を乗じると単位行列になりますので互いに逆行列の関係である事が解ります。(x,y,z)座標表現式の転置行列になっています。基底ベクトルex,ey,ez系(つまり(x,y,z)座標系)での成分表示行列》の“転置行列”になっている。a1、a2、a3もそこにおける変換式の逆変換によって正方格子の座標系に変換できます。当然のことですが、座標変換係数は場所に依存して変化します。上記の座標変換式はある1点に於いてのみ有効な変換式です。3.(1)で説明した“双対基底ベクトル”の変換式(D)式とその逆変換に相当する関係式も存在します。ex,ey,ez系からb1、b2、b3系へ変換する変換式と、b1、b2、b3系からex,ey,ez系へ変換式です。そのとき、ex,ey,ez系は基底ベクトル系と双対基底ベクトル系が一致していることを忘れないで下さい。上記の基底ベクトルの変換を実行すると下図の様になります。そのため添字の(x,y,z)も、本来は反変成分なのですが、共変成分と同じと言うことで右下に付けたものも並記しています。[補足説明1]このとき《第1に重要なこと》で注意したように上記二つの図[1つ目の図]と[2つ目の図]の基底ベクトル系の全てが同じユークリッド空間中に引かれた座標線に沿ってのものです。それはガウス曲面の任意の点の接平面(2次元ユークリッド空間)に正方格子を引くか、斜交格子を引くかの違いに相当します。両方の図にはdvだけ離れた点の基底ベクトル系も描かれていますが、どちらも原点に置ける基底ベクトル系を定めたのと同じユークリッド空間に設定されています。これはちょうどガウス曲面の任意の点の接平面(2次元ユークリッド空間)に最初に設定した格子に隣り合った格子も同じ接平面に記したことに相当します。今考えている領域が微小な場合、その様に隣り合った格子も同一3次元ユークリッド空間中で隣り合っているのだと考えることができるからです。この操作を更に次の隣り合った基底ベクトルに続けていくことはできません。同一のユークリッド空間中の隣り合った基底ベクトル間の変化の様子からは決して空間の歪みを表すことはできないからです。[補足説明2]さらに《第5に重要なこと》で説明したように3次元リーマン空間における基底ベクトル系は場所と共に必然的に変化していきます。ガウス曲面の例で説明すると、曲面に引かれた網目を任意の点での接平面(2次元ユークリッド空間)に射影すると一般に斜交格子となり、接点における斜交格子に隣接して射影される斜交格子は接点(原点)における斜交格子から更に変形したものになります。[1つ目の図]は、3次元リーマン空間中の一点(原点)付近の領域を近似している3次元ユークリッド空間(ガウス曲面の接平面に相当)の隣り合った基底ベクトル系の網目格子の変化の様子を表しています。そのとき、[補足説明1]で注意したように、同一のユークリッド接空間に引かれた隣り合った基底ベクトルセルの変化の様子からは空間の歪みを読み取ることはできません。実際のリーマン空間の基底ベクトルの接ユークリッド空間への射影なのですから。そのことは[例9]で説明した《2事件リーマン空間(球面)の球面座標》のθ=π/4付近の例として描いた4つの格子図からも明らかです。この図は実際の球面上に描かれた分割線を図中の点Aで球面に接する接平面へ射影した図です。この4つの格子は同一平面上に描かれています。この4つの格子の形状は互いに変化していますが、この4つの図形の計量テンソルの変化の様子からはこの4つの格子が球面の一部であるという情報は出てきません。それは[例9]の《2次元ユークリッド空間(平面)の極座標》の例を復習されれば明らかでしょう。隣り合った格子セルの情報は本来隣り合った別の(接平面に相当する)接ユークリッド空間のものと比較しなければならないのです。このことを理解するのは難しい。アインシュタインもここの意味を理解するのに何年もの思考を要したのでしょう。隣り合った“接ユークリッド空間”間の格子定数の比較とは何なのかを理解する数学を探し求めていたのだと思います。《リーマン幾何学》は正にそういった幾何学なのです。リーマン幾何学はある点に隣り合った空間を議論しますが、その隣り合った空間は元の点の接ユークリッド空間とは違う別の接ユークリッド空間なのです。考えて初めて隣の格子定数(計量テンソル)と比較することで、空間の歪みを表すことができる。このことは4.(2)の《第3に重要な事》で取り上げた、地球を構成する為に貼り合わせる“5万分の1の地図”が、それぞれ異なった地球表面(2次元リーマン空間)での接平面(2次元ユークリッド空間)における射影図で有り、異なった点の接平面に射影された地図だからこそ、それらを貼り合わせると球面を構成できたことに対応します。変化の様子を示しています。座標(x,y,z)に関係せず一定ですからとなります。反変ベクトルと見なしたときの微分係数と、共変ベクトルと見なしたときの微分係数は同じになります。そのことを明示するために(G’)式も並記しています。求めようとすると難しくなります。系の両方がdv=(dv1,dv2,dv3)の変位に伴って共に変化するから、その両方の変化を考慮しなければ成りません。その両方の変化を考慮した微分係数式はとなります。先ほどの正方格子座標系と違って斜交座標系では必然的にクリストッフェル記号が関係してきます。最後の式の行列成分は、アインシュタインの規約を適用するとと表されます。関する“共変微分係数”そのものです。上記の〔行列〕は(1,1)型テンソルとなることもテンソル解析学で学ぶ所です。証明は別稿「微分幾何学3」3.(2)の(3-20)式を参照。3.(3)や「テンソル解析学」6.(3)2.の導き方では、共変微分係数の物理的・幾何学的な意味がまったく読み取れませんが、ここのやり方では良く解ります。上記(H)式が“共変微分係数”の物理的・幾何学的な意味を示しています。そのとき、“共変微分係数テンソル成分”の表記法には様々な流儀が有ります。そのことについては別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(3)1.[補足説明]を参照されて下さい。そのとき、いずれの表記でも微分を表す指標は共変指標として必ず下側に付記されていることに注意して下さい。関する共変微分係数については4.(5)5.共変ベクトルの共変微分係数で説明します。3」(3)(3-22)式や別稿「テンソル解析学」6.(3)2.で出てきた“共変微分”に相当するものを導いておきます。上記(H)式の左辺の各成分はベクトルですからと表せます。この中のそれぞれの係数が(H)式の右辺の対応するベクトルaiの係数にそれぞれ対応すると考えなければならない。ここで共変微分を“δ”で表す(別稿[補足説明]参照)ことにするとだから、この各係数を上記の対応するものに置き換える(行と列が入れ替わることに注意)とが得られる。右辺の中で、と表せることに注意するととなり、別稿で説明した“共変微分”の表現と一致する。これを行列形式で表すととなる。ここで、“共変微分”はその意味から言って(1,0)型テンソル(反変ベクトル)であることは明らかです。(1,1)型テンソル(混合テンソル)であることを示している。変化したときベクトルwがどれだけ変化するか、その変分ベトクル量を与えるものです。[補足説明]4.(4)3.[例10]で説明したように“クリストッフェル記号”Γijaは“基底ベクトル”が場所を移動するとどのように変化するかを表す係数でした。そのとき、空間がユークリッド的で平坦な場合は“基底ベクトル”が全空間にわたって変化しない様な網目を引くことができます。空間が平坦ならば、共変微分係数は普通の微分係数と同じにすることができます。このことは、空間を記述する網目が斜交座標か直交座標かの違いでは無くて、網目がすべて同一の網目(セル)で分割できるかできないかに関係する事です。ユークリッド空間の場合には同一の網目セルで全空間を覆い尽くすことができたのでした。その様な網目セルを採用すれば、共変微分係数と普通の微分係数の違いを無くすることができます。ならないような網目を引くことはできます。その場合には、ユークリッド空間であっても共変微分係数は普通の微分係数と異なります。なる、計量テンソルの要素がすべての点で同じになる、共変微分と普通の微分の違いがなくなる様にできる空間であると言っても良い。《歪んだ空間(リーマン空間)》では、どのように網目を引き直しても、どのように座標変換しても、そのようにすることはできません(局所的にはできますが)。その間を取り持つ“計量テンソル”(“線素”の不変性を表す二次形式に必須)が必要になったのです。これこそがアインシュタインとグロスマンが発見した《第5に重要なこと》ことです。ここまでは、アインシュタインが1912年の秋までに理解した段階です。これが、京都講演で語っている“ただそれを含むような少々一般的の基礎はすでに幾分かその以前に私に知られました。ここから重力場方程式(正しい万有引力の方程式)を発見する為の苦労が始まる。[目次へ帰る]上記(G)式と(H)式に4.(5)2.[例12]の数値例を代入して計算してみる。(x,y,z)系での反変成分と共変成分は同じなのですが、間違いを避けるために、(wx,wy,wz)と(wx,wy,wz)の様に区別して表示します。(-0.1,0.1,0.2)ですから共変微分係数としてが得られる。クリストッフェル記号が関係する部分はすべて消えて、簡単に計算できます。原点におけるクリストッフェル記号は4.(4)3.[例10]ですでに求めているようにですから[拡大版]となる。これらの値を代入すると共変微分係数としてが得られる。[補足説明1][例13]の数値例について以下の事に注意して下さい。した点の基底ベクトルの変化量(これがクリストッフェル記号に関係する)を大き目に設定しています。そのため、上記の(β)部分と(γ)部分が同程度の大きさになってしまいました。共変微分係数の数値例としては適切ではありません。変化量に比較して遙かに小さい。それため基底ベクトルの変化に伴うガウス座標の変化分はもっと小さくなります。(β)部分は先に求めた(x,y,z)系での微分係数(α)値と同じような傾向のテンソルとなります。それはdvの位置変化に伴う基底ベクトルの変化が無い(この場合クリストッフェル記号が絡む(γ)項は消える)として求めた値に近い。原点と同じ基底ベクトルの元での変位dvした点のベクトルwのガウス座標値を用いて計算されるベクトルwの変位成分dwから計算した(β)値です。確かにこれは(α)値テンソル成分に近い傾向を示している。これを(δ)値としましょう。本来の(β)部分には、変位dvに伴う基底ベクトルの変化によって生じたガウス座標測定単位の変化による(δ)値からの極わずかの変化が表れています。クリストッフェル記号から導かれる(γ)部分の数値は、その(β)値を元の(δ)値に戻すための補正として表れます。実際(γ)値のその様な傾向は[例13]の(γ)値の数値例からも読み取れます。本来の(β)+(γ)値はほぼ(δ)値と同じ値になります。それだからこそ、反変ベクトルの共変微分係数は(1,1)型混合テンソルとして座標変換されるのです。[目次へ帰る]【共変ベクトル場wの共変微分係数】4.(5)3.《反変ベクトル場wの共変微分係数》で反変ベクトル表現の共変微分係数を導きました。ここでは共変ベクトルの“共変微分係数”を導きます。4.(4)4.の結論を用いた、同様なやり方です。関する“共変微分係数”はとなる。これは別稿「微分幾何学3」3.(2)の(3-23)式と同じです。これは(0,2)型テンソルとなります。証明は別稿「微分幾何学3」3.(3)[問題1]を参照。上記の方法は共変ベクトルの“共変微分係数”を求める“別のやり方”です。“さらに別なやり方”として下記の方法も有る。このやり方は、ライプニッツ公式の成立を条件として求めている点で興味深いが、4.(4)4.の結論を用いる上記方法に比べて共変ベクトルの共変微分の意味が読み取りにくい。[補足説明1]反変ベクトルの共変微分が定義されていれば、それから共変ベクトルの共変微分が求まる。共変ベクトルの“共変微分”は、4.(5)3.《反変ベクトル場wの共変微分》で説明したのと同様にすれば直ちに求まって、となります。共変ベクトルの“共変微分”(δw1,δw2,δw3)が((0,1)型テンソル(共変ベクトル)である事は、その物理的な意味から明らかです。(0,2)型テンソル(共変テンソル)であることが解ります。[目次へ帰る]一般のテンソルはベクトルの直積から作る事ができます。その直積記号(○に×)を使ってテンソルを表すと、ここと同様なやり方で“共変微分係数”を導く事ができます。そのやり方は文献1.の引用ページ3.の注*7)で説明されています。同じやり方を別の文献から引用します。式変形の途中で総和を取る添字は置き換えていることに注意されたし。(0,3)型テンソルに成ることの証明は別稿「微分幾何学3」3.(3)[問題2]と同様にすれば良い。これはテンソルの共変微分を求める“別のやり方”でも有ります。(1,4)型テンソルに成ることの証明は別稿「微分幾何学3」3.(3)[問題2]と同様にすれば良い。関係を2.(3)で説明しました。関係を2.(4)と3.(5)で説明しました。とどのような関係になるのか説明していません。(2011年刊)第2章などをご覧下さい。それらは2.(4)や3.(5)で説明した(ai・aj)、(bi・bj)、(ai・bj)などの内積記号による表現を拡張した直積記号(○に×)を使って表されるのですが、文献8.の第3章p250〜253を読まれれば、本稿の[共変微分係数の導出法]と別稿「微分幾何学3」3.(2)2.や「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(3)で説明した[テンソルの“共変微分係数”導出法]との関係も明瞭になると思います。文献8.の、p257の注意も重要です。下記の方法はテンソルの共変微分を求める“さらに別のやり方”です。[補足説明2]反変ベクトルと共変ベクトルの共変微分が定義されていれば、任意階数テンソルの共変微分が求まる。これは、ライプニッツ公式の成立を条件として求めている点で興味深いが、4.(5)3.及び4.(5)5.を組み合わせて用いる最初の方法に比べて共変微分の物理的意味が読み取りにくい。ちなみに、“任意テンソルの積の共変微分に関してライプニッツ公式が成り立つ”ことは直接証明できます(ただし、共変微分を表す記号の違いに注意)。5.文献(6)基底ベクトルの変換とベクトル成分・テンソル成分の座標変換の例ここでは[例12]で考察した二つの座標系(ex、ey、ez)と(a1、a2、a3)の間で基底ベクトル、ベクトル成分、テンソル成分がどのように変換されるか考察する。このとき行列表示形式については3.(1)[補足説明1]と[補足説明2]に注意されたし。ここで取り上げる例は[3次元ユークリッド空間における直交直線座標系]から[3次元リーマン空間における斜交曲線座標系]への座標変換に相当します。これは、一般相対性理論で必要となる[擬ユークリッド空間であるMinkowski時空]から[4次元リーマン時空]への座標変換を理解する為のモデルになります。このとき、[4次元リーマン時空]中の1点における擬ユークリッド的“接空間”が[Minkowski時空]であるように、以下で論じる[3次元リーマン空間]中の1点におけるユークリッド的“接空間”が[3次元ユークリッド空間]です。この当たりは本稿の4.(1)〜(3)で説明した所です。上記の説明の意味は、別稿内山文献§19p119〜や中野文献§9-2p182〜などを参照されたし。(ex、ey、ez)を基底ベクトルの表示とします。反変成分と共変成分は同じなのですが、それらも(wx,wy,wz)と(wx,wy,wz)の様に区別して記します。ex、ey、ez)と(b1、b2、b3)が互いに変換されます。2.(2)[例1]で求めた双対基底ベクトルb1、b2、b3の(x,y,z)座標表示から直ちに求まります。これを(I)式とします。この逆変換は、2.(2)[例1]で説明した様にであった事を思い出すと、となります。これを(J)式とします。基底ベクトルa1、a2、a3へ変換する式は、すでには4.(5)2.[例12]で説明した(F)式です。変換する式は、すでに4.(5)2.[例12]で説明した(E)式です。基底ベクトルex,ey,ez系(つまり(x,y,z)座標系)での成分表示行列》(Bi'j)の“転置行列”になっている。[目次へ帰る]反変ベクトル(1階反変テンソル)の変換例です。4.(5)2.[例12]で用いたベクトル場wの反変成分は、(I)式の変換係数によって変換されるはずです。実際4.(5)2.[例12]の値に適用してみるととなり、確かに反変成分に関して前述の変換係数で変換されています。この逆変換には(J)式の変換係数を適用すれば良い。実際4.(5)2.[例12]の値に適用してみるととなります。反変成分は、4.(5)2.[例12]の基底ベクトルex,ey,ezの反変成分との間にと、その逆変換の関係があります。共変ベクトル(1階共変テンソル)の変換例です。4.(5)2.[例12]にはベクトル場wの共変成分を記していませんが、2.(5)[例5]で示したようにベクトルw場の原点(0,0,0)における双対基底ベクトル系b1、b2、b3での共変成分座標は(w1,w2,w3)=(-0.31,1.62,1.15)でした。この共変成分座標は双対基底ベクトル系ex,ey,ezの原点における共変成分座標(wx,wy,wz)=(-1.2,1.9,1.5)と、“基底ベクトル”の変換式(F)式や(E)式の変換係数で互いに変換されます。実際、2.(5)[例5]の値と4.(5)2.[例12]の値を代入してみるととなり、確かに共変成分に関しては、(F)式の変換係数で変換されています。この逆変換は、(E)式の変換係数で変換されてとなります。共変成分は、4.(5)2.[例12]の双対基底ベクトル系ex,ey,ezの共変成分との間にと、その逆変換の関係があります。系間の座標変換を例として確かめることができます。他の内積表現を用いても同様に証明できます。[目次へ帰る]2階共変テンソルの座標変換例として“基本計量共変テンソル”を取り上げる。ex、ey、ezが作る格子の基本計量共変テンソルはです。原点において基底ベクトルa1、a2、a3が作る格子の基本計量共変テンソルは2.(4)[例4]で示したようにでした。これらの成分は3.(4)で示した変換式で、確かに互いに変換されることが解る。計量共変テンソルは対称テンソルですから、上式の両辺の転置行列を取った式も成り立ちますがこれは元の式と同じになります。2階反変テンソルの座標変換例として“基本計量反変テンソル”を取り上げる。作る格子の基本計量反変テンソルはです。原点において双対基底ベクトルb1、b2、b3が作る格子の基本計量反変テンソルは2.(4)[例4]で示したようにでした。これらの成分は3.(4)で示した変換式で、確かに互いに変換されることが解る。計量反変テンソルは対称テンソルですから上式の両辺の転置行列を取った式も成り立ちますがこれは元の式と同じになります。2階混合テンソル(1,1)テンソルの座標変換例として“単位テンソル”(クロネッカーのδ)を取り上げる。3.(5)で説明したように“単位テンソル”は“2階混合テンソル(1,1)テンソル”として座標変換される。ex、ey、ez系の座標における単位テンソルと見なせる。見なして、3.(1)で説明した基底ベクトルの座標変換式(C)式と(D)式を用いるととなる。実際の値を代入してみるとが成り立ち、単位テンソルは確かに(1,1)型混合テンソルとして座標変換されることが解る。単位テンソルは対称テンソルですから、両辺の転置行列を取ったも成り立ちます。対するもの)が、(1,1)型テンソル定義の根拠となっている座標変換で互いに変換されるかどうかを確かめてみるべきですが、この計算例では誤差が大きくなり旨く示せません。その理由は4.(5)4.[補足説明1]で説明した通です。そのため、そこで示した(α)微分係数テンソルと(δ)微分微分係数テンソルがテソンソルとしての変換式を満たしていることを示した方が良い。実際に実行してみると、この両者が(1,1)型テンソル定義の根拠となっている座標変換で互いに変換されることが近似的に確認できます。[目次へ帰る]3.(7)で体積素の座標変換がで行われなければ成らない事を説明した。関係については注意が必要です。このことを4.(5)2.[例12]で説明した[2つ目の図]から[1つ目の図]への座標変化を例にして説明する。この座標変換において左図の立方体体積要素が右図の平行六面体の体積素に座標変換されたと考える。そのとき右図の体積素の値は2.(7)[例7]の計算値が使えるのでとなります。変換前の左図の体積素についてはの関係がある。故に、左図の体積素の一辺の長さはでなければならないことが解る。したり、dv1=1.1369、dv2=dv3=1、・・・などなど、としても良い。関係は結果として決まるようなものです。5.文献5.参考文献この稿を作るに当たって、下記文献を参考にしました。感謝!最初は1、2章だけで簡単にすますつもりだったのですが、作っている内に説明したい事柄がどんどん増えてしまいました。それというのも1、2章の内容は3,4章と密接に関係しているからなのでしょう。ここまでの話は、アインシュタインが1912年の秋に到達した段階ですが、彼は正しい重力場方程式を発見するまでにさらに3年の歳月を要します。そのため、この先に長い道のりが続きます。ダニエル・フライシュ著(河辺哲次訳)「物理のためのベクトルとテンソル」岩波書店(2013年刊)§4.4〜§4.6この文献では、基底ベクトル・双対基底ベクトルについてとても丁寧に説明してあります。2次元での説明のために微妙に解りにくい面もあります。本稿をご覧の後にこの文献を読み直して見られると著者の意図が良く解ると思います。この文献の§6-3(_p210〜223)を別ページで引用しています。その中の5.“曲率テンソル例”は本稿の4.(3)の説明を理解する例題として有益です。共訳)「シュッツ相対論入門�U一般相対論(第2版)」丸善出版(2010年刊)特に5章と6章を参照した。電磁気学」講談社(1969年刊)の§38(p352〜369)EinsteinからSommerfeldへの書簡(1915年11月28日付)Einstein著(矢野健太郎訳)「相対論の意味」岩波書店(1958年刊)からp58〜69を引用この中のp64〜68のEinstein本人による説明は貴重です。理解する一般相対性理論」ベレ出版(2017年刊)この中の第3章をぜひお読み下さい。このp250〜253、およびp257を別ページで引用。