立方数となるような素数$p$が存在しないことを示せ。$a,\,b,\,c$($a>b>c>0$)の組をすべて求めよ。問題自体は非常に単純です。有限個の組しかないと即座に判断できるので、効率よく探していきましょう。平方数を扱っているので、まずは$3$、$4$、$5$あたりの数を法とした合同式を考えてみましょう。必要条件を求めておくと、煩雑な計算をする前に候補を棄却できることがあります。+c^2$$の左辺は$4$の倍数である。ここで平方数$n^2$($n$は整数とする)を$4$で割った余りを考える。$n^2$の剰余を分類すると以下の表のようになる。1これより、右辺が$4$の倍数となるためには$a$、$b$、$c$がいずれも偶数でなければならない。$a=2a_1$、$b=2b_1$、$c=2b_1$(ただし$a_1$、$b_1$、$c_1$はいずれも正の整数)と置ける。+c_1^2$$と書き直せるが、この左辺は$4$の倍数なので同様に考えると、$a_1$、$b_1$、$c_1$のいずれも偶数でなければならない。$a_1=2a_2$、$b_1=2b_2$、$c_1=2b_2$(ただし$a_2$、$b_2$、$c_2$はいずれも正の整数)と置ける。(★)$$と書き直せる。$(★)$の左辺を$3$で割った余りは$2$、$4$で割った余りは$2$、$5$で割った余りは$3$であり、平方数$n^2$($n$は整数とする)を$3$および$5$で割った余りはそれぞれ以下の表のようになる。1これより、方程式$(★)$を満たすべき$a_2$、$b_2$、$c_2$の組について、以下の条件が必要となる。