n=kで正しいとする。このときn=kのときを考える。b_(k+1)=0とすれば-[(3^k)-1]/2から[(3^k)-1]/2で整数上連続であるためまずb_(k+1)=1のときを考える。j∈S_kに対し(3^k)+jのとる値の集合は(3^k)-[(3^k)-1]/2=[(3^k)+1]/2=[(3^k)-1]/2+1(3^k)+[(3^k)-1]/2=[(2+1)(3^k)-1]/2=[3^(k+1)-1]/2よりS_(k+1)は[(3^k)-1]/2+1から[3^(k+1)-1]/2で整数上連続でb_(k+1)=-1のときも同様に考えS_(k+1)は-[3^(k+1)-1]/2から-[(3^k)-1]/2-1で整数上連続したがってS_(k+1)は-[(3^(k+1))-1]/2から[(3^(k+1))-1]/2で整数上連続であるためn=k+1でも正しい。以上帰納的に示された。これによりn個の分銅で[(3^n)-1]/2グラムまでは(分銅の重さが狂ってるとかの議論は別にして)正確に測れる。いうわけで120<121=[(3^5)-1]/2なので最初の問題の答えは「5個」といえる。分銅には3つの状態しかない(左右のどちらの皿に置かれてるかどちらにも置かれてないか)ため測れる重さは高々3^n通りしかない。nグラムが測れるということは-nグラムも測れるため0グラムを考え正のグラム数では[(3^n)-1]/2通りまでであるからだ。Reserved.忍者ブログ[PR]。