3.(3)で説明したベクトルの変換式に従って座標変換されます。内積が座標変換に対して不変である事は次のようにして確認できます。[拡大版]他の内積表現式を用いても同様に証明できますので、どうぞご確認下さい。drの自分自身との内積ですから、座標変換に対して不変となることは明らかです。このことは、である事を意味します。これは簡単にと記される場合が多い。これは一般相対性理論を論じるとき中心的な働きをする重要な式です。このとき、両座標系のベクトル成分は3.(3)で説明した座標変換式で関係付けられています。両座標系での基本計量テンソルの成分は3.(4)で説明した座標変換式で関係づけられています。[補足説明2]ここでは3次元リーマン空間で説明していますが、一般相対性理論では4次元目が時間座標となった4次元リーマン時空となります。そのとき、3次元リーマン空間に於ける長さベクトルdr(ds)に相当するものが、4次元リーマン時空に於ける世界線素dsです。そのとき4次元リーマン時空の特別な場合である“ミンコフスキー時空”では別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明1]で説明した様にが成り立ちます。このとき、上記の一定値=0の場合、すなわちは“光速度不変の原理”の数式表現であり、特殊相対性理論に於ける“ローレンツ変換式”は、この“光速度不変の原理”から導かれたことを思い出して下さい(ただし、その証明のとき“相対性原理”を援用しています)。”とは上式がどの座標系に対しても不変的に成り立つ事を議論する不変式論に他なりません。そのとき重要なのはミンコフスキーの4次元時空を表す“ミンコフスキー時空計量テンソル”です。それでは、もっと一般的な“4次元リーマン時空”に於ける世界線素dsはどのような式を満たすのでしょうか。その最も簡単な例である球対称の質量の周りのリーマン時空に対する不変式がです。このことについては別稿「Sommerfeld電磁気学§38」を御覧下さい。これは極座標を用いていますが、その計量テンソルはとなります。この場合、計量テンソルの対角成分以外がすべて0になる特別な場合だから上記の様に簡単な形で表されたのですが、もっと一般的な時空間に対しての表現は先ほどの式を4次元時空化したとなります。この式の不変式論であることが“一般相対性理論”の本質です。そのとき重要なのは“4次元リーマン時空計量テンソル”です。座標変換不変量とは成りません。不変量となるようにこれを補正することができる。3.(4)の関係式の行列式を作れば、行列式の掛け算の性質[定理3]と[定理13]を利用することによってを得る。したがって、3.(5)の関係式はとなるのでを得る。この形ならば体積素は不変量となる。これは2.(7)での考察を鑑みると理にかなっている。このことについては別稿「微分幾何学(リーマン幾何学)」4.(2)[例題]も参照。関係については注意が必要です。このことについては4.(6)5.で説明する。構築するには歪んだ時空を取り扱わねばならないことに気付きます。自伝ノートに記している様にアインシュタイン自身がそのことを理解するまでにかなりの紆余曲折が在ったのですが、最終的に、曲がり歪んだ時空の取り扱い法を見つけることが本質だと理解します。プラハ時代(1912年)に“ガウスの曲面論”がその手がかりを与えてくれることに気付きます。そのことについて1922年12月14日の京都公演で語っています。興味深い述懐なので以下に引用します。アインシュタインが“ガウスの表面座標を本当に意味深いものの如くに自分に思い浮かべました。”と語っている内容を次節で説明します。“中身の違い”を感じ取り、3.(2)2.[補足説明3]で説明した事柄を思い出す必要があります。「微分幾何学2(曲面論)」では2次元ユークリッド空間のなかの曲面(2次元リーマン空間)を2.(2)第1基本微分形式と2.(4)第2基本微分形式の両方を用いて議論しました。ところが「微分幾何学3(曲面幾何学)」では曲面の上で観測・測定できる第1基本微分形式しか出てきません。L,M,N(h11,h12=h21,h22)はどこにも表れません。論じられている事を忘れないことです。そこで、“ガウスの曲面論”に帰るのですが、まず3次元空間中の2次元ユークリッド空間(いわゆる平面のこと)を考えます。それはゴムシートでできており、それに正方格子を単位とする網目が縦横に引かれているとします。次にこれを3次元ユークリッド空間中の曲面(これが2次元リーマン空間です)にそのゴムシートを貼り付けます。平面であったゴムシートを貼り付けるのですから、ある部分は伸ばしたり別の部分は縮めたりして貼り付けなければなりません。すると曲面に貼り付けられたゴムシートの網目はもはや正方格子状ではありませんが、やはり格子状(平行四辺形状)の網目を構成します。この曲面上の網目格子については次のことが言えるでしょう。曲面上の網目格子は元の平面だったときのゴムシート上の格子とは違って正方形ではありません。平行四辺形になります。格子の縦横の辺の長さも元のゴムシート上の格子辺長とは異なったものになります。その辺長も格子の2辺の交差角も変化しているでしょう。その変化の度合いは曲面上の位置を移動すれば場所ごとに異なるでしょう。上記の様に曲面上の網目格子は変形しています。変形していますが、曲面の在る点の近傍に限れば、その網目格子は、曲面の各点に於ける“接平面”上に存在すると考えることができます。この接平面は平面ですから2次元ユークリッド空間でです。曲面上に住んでいる曲面人は、自分たちは2次元ユークリッド空間に住んでおり、自分たちが今いる点における網目状の格子は2次元ユークリッド空間(つまり平面)の上に描かれた平行四辺形だと認識していることになります。曲面上の住人(曲面人)が曲面の別の場所に移動すると、そこに存在する網目格子はやはりその点での接平面(2次元ユークリッド空間)に描かれた平行四辺形だと感じるはずです。そのとき、新しい場所での接平面は平面(2次元ユークリッド空間)ではあるが最初の点における接平面の延長上に在るわけではありません。最初の接平面と別の場所の接平面は“同一の平面ではありません”が、それぞれの場所場所では“2次元ユークリッド空間”であると考えても良いのです。前記の平行四辺形の格子は2次元ユークリッド空間(平面)の上に描かれているとして良い。ここはきわめて重要です。これが《第1に重要なこと》です。以上の様にして、曲面人は曲面上を動き回って曲面の各点の近傍の2次元ユークリッド空間(接平面)上の網目格子の各辺の長さをユークリッド空間での物指しで測ることができます。各点に於ける格子辺が互いに交わる角度を2次元ユークリッド空間での分度器で測る事ができます。それらを使えば2.(6)[補足説明]で説明したように、2次元リーマン空間(曲面)の各点に於けるリーマン計量を知ることができます。その様にして曲面人は彼が住んでいる曲面内に存在する全ての格子の辺の長さと互いの交わりの角度を測定することができます。すると曲面人は、その様にして互いに接続している格子の辺と交差角の情報を繋ぎ合わせてみることができます。それをした曲面人は、それは完全な平面の上に引かれた格子の辺と交差角の情報を繋ぎ合わせた場合と異なることに気付きます。平面(2次元ユークリッド空間)の上に描かれていると思って測定していった格子の辺長と交差角(いわゆる“格子定数”)の各点における情報を繋ぎ合わせるだけで曲面人は自分達が曲がった曲面の上に住んでいるのだと知ることができるのです。そのとき大事な事は、格子定数が場所とともにどの様に変化するかを読み取ることです。曲面の一箇所に於ける網目(平行四辺形状の格子)の情報が解っただけでは自分が曲面に住んでいるのか平面に住んでいるのか決して判定できません。格子定数(計量テンソル)の場所的な変化の情報を知らなければならないのです。ここが、《第2に重要なこと》です。この情報こそ『微分幾何学』で習う“クリストッフェルの3添字記号”です。その情報はもちろん曲面の中に住んでいる曲面人でも曲面の中に引かれている格子の“格子定数(計量テンソル)”を測定し、それが場所と共に変化することから知ることができます(このことは4.(4)で説明する)。いままでの話は、曲面に貼り付ける前の平面状ゴムシートに引かれた網目は、縦横に直線的に引かれた正方格子であると仮定していました。それを曲面に貼り付けたためにもともと正方形の格子が平行四辺形に歪んでしまったのだと説明しました。曲面人に取って今自分が今測定している曲面上(正確に言うとその点の接平面上)の格子が貼り付ける前の2次元ゴムシート上では元々正方形状に描かれていたものであると知ることはできません。曲面人に取って貼り付ける前のゴムシートが平坦な2次元ユークリッド空間であり、しかもその上の格子が正方形だったと言うことは決して知り得ないのです。ここが大事なところですが、今まで論じてきた曲面上の網目格子は本来どの様に引かれていても良いのです。このことは簡単な例を思い浮かべればすぐに理解できます。今曲面の例として地球表面を考えましょう。最初は地理学で習う普通の経線と緯線がその表面上に引かれているとします。それぞれの経線と緯線の交点に於ける接平面上に、その近傍の経線・緯線で切り取られた部分の地図(5万分の1としましょう)を作ります。それらの地図の端を境界経線と境界緯線に沿って正確に切り取り、それらの地図の端を隙間が生じないようにピッタリと貼り合わせて行きます。すると張り合わされた地図の全体は一つの球面を構成するはずです。貼り合わせる5万分の1の地図のそれぞれの辺長と辺の交差角の微妙な変化の中に地球表面が球面であることの情報が含まれている。次に、日本の東京を北極とし、地球の裏側のアルゼンチンのリオデジャネイロを南極と考えて経線・緯線を引きます。これは前述の経線・緯線の網目とは全く異なりますが、この新たな経線・緯線で地球表面を分割して、その各点に於ける地図(5万分の1)を作ります。この地図の全体を貼り合わせると先ほどの場合と全く同じ球面ができるでしょう。地球表面上に引いた網目は先ほどと全く異なりますが、それぞれの地図(格子)の辺長と辺の交差角の情報にはちゃんと地球が球面であるという情報が含まれているのです。曲面上に引かれている網目格子はどの様に引かれていても良いのです。ここが《第3に重要なこと》です。アインシュタインはおそらく“ガウスの曲面論”から上記の事柄を読み取ったに違いない。それを3次元リーマン空間に拡張します。このことは、文献6.のp64〜68のEinstein自身の説明をご覧下さい。吉田氏の説明もご覧下さい。これらの事柄を理解するには文献1.5.“曲率テンソル例”は有益です。[補足説明1]上記の《3つの重要なこと》を実感するには次の例が有益です。真四角で平らな天板を持つ机と、長さが全て等しい短い棒(単位棒と名付ける)を沢山準備します。この単位棒4本を互いにそれぞれの端が接して、それらの成す角が直角になるよう、前述の机の一つの隅に設置します。最初に単位棒が作った正方形の側にその一辺を共通とするもう一つの正方形を単位棒で作ります。この正方形の側にまた一つと、次々に並べていく。するとついに机の天板が正方形の格子で覆われる。正方形の各辺は二つの正方形に共通となり、正方形のそれぞれの隅は四つの正方形に共有される。このとき注意して欲しいことは、すでに三つの正方形が一角につきあわされているとき、第四の正方形もすでに二辺は置かれていることになるので、残る二辺をどのように置かなければならないかは、すでに先の二辺によって完全に規定されている事です。いずれにしても、その様にして机の天板は単位棒の作る正方形で隙間無く埋め尽くされます。次に、同じ机の天板の中央部分をバーナーで加熱します。ご存じのように温度が高くなった天板の中央部は膨張するために机の天板は盛り上がった曲面になります。この盛り上がって曲面状になった天板に先ほどと同じ事をします。机の一隅から4本の単位棒で正方形を作りながら四角形をつないでいきます。この場合には明らかに、最初の隅から机の中央に向かうにつれて、4本の単位棒で構成される四角形は正方形から歪んできます。四角形の二辺のなす角は90度からずれてきます。場所が中央に近付くにつれて四角形は平行四辺形に歪んだものになりますが、いずれにしてもその様にしてつないで行った四角形で机の天板を覆い尽くすことができます。覆い尽くすことはできるが、必要とする四角形の数は最初の平坦だった机の場合よりも沢山必要になるでしょう。その机の反対側に到達してたとき設置される単位棒はもはや机の縁に平行(あるいは垂直)とはならないでしょう。このとき単位棒が作る平行四辺形に対して2.(6)で説明した手順で基本計量テンソルの成分g11,g12,g21,g22を求める事ができます。今は辺の長さは全て1ですからg11=g22=1です。以外のある値となります。そのとき、微小領域に限ればその中での四角形の並びは互いに平行な線で仕切られた平行四辺形格子状になりますから、その微小領域内部の2点間の距離dsは単位棒の縦と横の並びの数duとdvとその場所の計量テンソル成分gijによってで与えられるでしょう。先ほどの平坦な天板の場合はg11=g22=1、g12=g21=0ですからとなります。天板上の各点での計量テンソルgijの変化の様子から、曲面人は天板が平坦なのか曲がっているのかを知ることになる。このときただ一点の四角形の歪みからは曲面の曲がりを知ることはできないことに注意して下さい。ここでは、長さの変化しない単位棒を連ねる事によって網目を構成したが、真ん中が盛り上がった天板の上に任意に引かれた曲線状の網目でも同じことができることに注意して下さい。それぞれの地点の網目の一辺の長さを物指し棒で測り、二辺の交差角を分度器で測って各点の計量テンソル成分gijを2.(6)に従って計算する。微小領域ではほぼ同形の微小平行四辺形で埋め尽くされているので縦横の網目の曲線の本数を数えて上記の式に代入すれば、その領域内の2点間の距離は計算できます。[補足説明2]アインシュシタインは1916年に書いた啓蒙書「我が相対性理論」第�U部§24で類似の例を用いています。そのとき彼が用いた例では机の天板の中央付近の単位棒は机と一緒に熱せられて机と一緒に伸びる様に説明しています。最初平板の上に正方格子状に存在していた網目が天板の湾曲に合わせて単位棒も伸びて曲面を構成する様に説明しています。このような説明でも正しいです。これは今まで何度も説明してきた平板ゴムシートに描かれた正方格子を曲面に貼り付けたために格子が伸び縮みして変形した場合に相当します。これは上記[補足説明1]の最後で説明した真ん中が膨れ上がった天板の上に任意に引かれた曲線状の網目の場合に相当します。なく場所ごとに辺の長さが変化します。そのため場所ごとに(交差角と一緒に)辺の長さも物指し棒で計測しなければなりませんが、全く同様に考える事ができます。この当たりの説明はBorn著「アインシュタインの相対性理論」第�Z章§4の説明も有益ですのでご覧下さい。我々は3次元リーマン空間に住んでいるとします。そのとき、どの様な事が言えるか考えてみます。言えることは、我々は3次元リーマン空間に住んでいるが、その中の各場所は3次元ユークリッド空間だと認識しても良いと言うことです。“ガウスの曲面論”における2次元リーマン空間(曲面)でもその場所ごとには接平面が存在し、ユークリッド空間だと考えて良いのでした。曲面上の格子も2次元ユークリッド空間である接平面に描かれているとして良かったのです。それと同じで、3次元リーマン空間に住んでいる我々だが、その中に設定した平行六面体セルは、その点での接平面に相当する3次元ユークリッド空間の中に存在すると考えて良い。これは前節の《第1に重要なこと》ですが、これは3次元リーマン空間でも《第1に重要なこと》です。次に言えることは、“ガウスの曲面論”の曲面の上に住む曲面人がその曲面を包み込む3次元ユークリッド空間の存在を知ることができなかったように、いま我々が住んでいる3次元リーマン空間の曲がり具合や歪み具合を見渡せる高次のユークリッド空間の存在を我々が知ることは決してできないことです。我々にできるのは、3次元リーマン空間の各点に設定した平行六面体格子セルの各辺の長さと、辺の交差角の測定です。これはもちろん3次元リーマン空間の各点で定義できる3次元ユークリッド空間での測定値だと考えることができます。それは“ガウスの曲面論”で論じた曲面上の平行四辺形が、その点での接平面(2次元ユークリッド空間)上に存在していると考えたのと同じです。3次元リーマン空間の各点に於いて平行六面体を設定でき、そういったユークリッド空間の平行六面体セルの集合体でもって3次元リーマン空間を埋め尽くすことができると考える。それは前節で述べた、二次元ユークリッド空間(接平面)で作られた5万分の1の地図で球形の曲面(2次元リーマン空間)を埋め尽くすことができることに相当します。そのとき重要なことは、前節の《第3に重要なこと》で述べたように、3次元リーマン空間中の平行六面体セルの連なりを表す網目曲線はどの様に引かれていても良いのです。どの様に引かれていても、それぞれの空間点に於ける平行六面体セルの辺の長さと辺の交差角は3次元ユークリッド空間での測定棒と分度器で測定できます。3次元リーマン空間でも各点に於けるリーマン計量テンソルが定義できしかも実測できる[2.(6)参照]。計量テンソルを測定する網目はどの様に引かれたものでも良い。これが3次元リーマン空間で《第2に重要なこと》です。次は前節の《第2に重要なこと》に関係する事柄です。3次元リーマン空間の1点に於けるリーマン計量テンソルが解っても何の意味もありません。基本計量テンソルの算出の元になる平行六面体セルはユークリッド空間中のものですからその形状でリーマン空間の歪みが表される訳ではありません。1点でのリーマン計量テンソル(平行六面体の形状)は網目の引き方に依存していかようにでも変化します。大事なのは、場所が変わったときにリーマン計量テンソルが変化していくその様子です。先に述べた地球表面を表す5万分の1の地図の例で説明すると、次々と貼り合わせていく隣り合った地図との間の辺長の変化と地図の2辺の交差角の変化の様子です。これは3次元リーマン空間でも同様で《第3に重要なこと》です。曲がった空間の任意に定めた網目から計測できる“計量テンソルの変化の様子”をどの様にして論じたらよいのだろう。〈アインシュタイン〉はここで行き詰まったと思われます。プラハからチューリッヒへ帰ってきたアインシュタインは、その様な事柄を取り扱う数学が存在するかどうか調べてもらえないかと友人の数学者(グロースマン)に相談します。相談を受けた〈グロースマン〉が図書室で調べて見つけてきたのが、〈リッチとレヴィ=チヴィタ〉が1901年に作り上げていた“絶対微分学(テンソル解析学)”だった。彼らは、さらに〈クリストッフェル〉の仕事や〈リーマン〉の仕事にさかのぼって行きます。アインシュタインとグロースマンはリッチとレヴィ=チヴィタの論文に引用されているクリストッフェルの論文中の“クリストッフェル記号”の意味はすぐに理解したでしょう。クリストッフェルがリーマン幾何学を論じる為にこの記号を考案したことを知り、最終的に“リーマン幾何学”を知った。その中の“曲率テンソル”を知ったのだと思います。このことは京都講演やグラスゴー講演から読み取れます。これが、アインシュタインが1912年の秋に行き着いた状況です[Sommerfeld宛の書簡(1912年10月29日付)と、Pais著「神は老獪にして・・・」12章参照]。テンソル解析学そのものについては、別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」を参照。次は3章で説明した座標変換に関する注意です。3次元リーマン空間中にスカラー、ベクトル、テンソルは存在し分布しています。それらスカラー、ベクトル、テンソルの大きさは2.(5),(6),(7)で説明したように3次元リーマン空間の格子定数である[基本計量テンソ(ルgij)]と、[格子の数を示す座標値(ガウス座標)]の積で表現されます。そのとき座標を変えるということは、格子定数の元になる基底ベクトル系を別なものに変えることです。3次元リーマン空間を分割する網目を変えることです。網目を変えれば、その網目の個数で数えていた座標値(ガウス座標)が変わります。その座標値の変化は網目(基底ベクトル)の取り方の変更を示す変換係数に関係します。そのとき元々のスカラー、ベクトル、テンソルの成分の大きさが基底ベクトル系の網目個数(座標値)で表されていたのか、双対基底ベクトル系の網目個数(座標値)で表されていたかの違いによって反変的に変換されるか、共変的に変換されるかの違いが生じます。そのようなことが生じるのは、座標値と一緒になって長さや体積を決める元になる“格子定数(計量テンソル)”が斜交した平行六面体セルについて与えられているからです。2.(2)][補足説明4]で説明したように格子定数が常に立方体状の同じものであったら、反変と共変の違いは出てきません。歪んだ空間を表現するために平行六面体状に歪んだ単位格子セルが必要になったために反変と共変の違いが生じてきた。これが3次元リーマン空間で《第4に重要なこと》です。関係についての注意です。ユークリッド空間の様に計量テンソルを定める単位格子として立方体を全空間に渡って利用でき計量テンソルが常に単位テンソルにできる場合と、全空間に渡って一定だが単位テンソルではない場合の違いと、計量テンソルが場所的に変化すると言うことの意味の違いです。ここが一番解りにくい所です。“ユークリッド空間”でもそれを分割する網目として斜交座標を採用することはできます。その座標線がグニャグニュ曲がった曲線にすることもできます。するとユークリッド空間に於いても計量テンソルgijは場所と共に変化しますし、その中でベクトル量を表す座標形式に反変表示と共変表示の違いが出てきます。その様にしてユークリッド空間を分割して、全空間に計量テンソルを配置してもそれらの集合からは決してユークリッド空間の歪みや曲がりを示すことはできません([例8]と[例9]を参照)。ユークリッド空間をその様な網目で分割することは全く意味の無いことです。ユークリッド空間の場合は全てを同じ立方体格子で埋め尽くして各点の計量テンソルはであるとするのが得策です。すれば基底ベクトルと双対基底ベクトルは一致して反変・共変など面倒な性質は出てきません。ここで次のことに注意して下さい。斜交座標やグニャグニャ曲がった曲線座標がリーマン空間を特徴づけると勘違いされているかも知れませんが、ユークリッド空間でもその様な網目で分割することはできるのですから、そこのところが本質では在りません。リーマン空間ではその様な分割しかできないことが本質なのです(4.(3)[例8]、4.(4)2.[例9]と[補足説明1]を参照)。ところで、特殊相対性理論の“ミンコフスキー時空”では、それを分割するのに全空間に渡って基底ベクトルが互いに直交(ただし時間軸は他の空間軸に対して斜交していると考える)した同形のセルで分割することはできます。そのセルの格子定数である計量テンソルgijは全時空間に渡って同じを用いる事ができます。ミンコフスキー時空では全空間に渡って同一の計量テンソルとなる。それはもはや単位テンソルでは在りません。これは時間軸が他の空間次元の座標軸に対して直交していない(斜交している)からそうなったのです。基底ベクトルと双対基底ベクトルは異なったものになり反変表示と共変表示の違いが生じてきます(「ミンコフスキーの4次元世界」参照)。時間軸だけが斜交しているのを4次元時空で想像するのは難しいが、時間1次元・空間2次元で考えると解りやすい。2.(1)で考えた図で基底ベクトルの内の2つを空間座標軸として互いに直交した単位ベクトルを取り、3っ目の基底ベクトルを時間軸を表す基底ベクトルと考え、その基底ベクトルが最初の空間座標を表す基底ベクトルが張る面に対して斜交していると考えるのです。そのとき時間次元の基底ベクトルの長さが空間座標基底ベクトルと違っているとしても良い。その場合は軽量テンソルの時間次元成分が1(or−1)ではなくなり、(例えばこの場合の様に)gijとgijのその部分の成分値も違ってきます。最後は“リーマン空間”です。リーマン空間では、今まで見てきたように本質的に立方体状のセルで全空間を埋め尽くすことはできないのです。一部分なら立方体セルで埋められますが、他の場所に必ず平行六面体状のセルが生じてきます。そのため必然的に反変成分と共変成分の違いが生じてきます。全領域に渡って計量テンソルの対角成分以外を零にする様な網目格子を引くことはできません。どこかで対角成分以外もある計量テンソルが生じます(4.(2)[補足説明1]の例を参照)。やっかいなのは、計量テンソルの成分値gijのそれぞれがが場所的に変化する様にしか、網目を引くことはできないことです。その為に座標値(ガウス座標)と基底ヘクトルの関係も場所とともに変化してしまい、スカラー場、ベクトル場、テンソル場の微分操作を特別難しくします。リーマン空間では計量テンソルが場所的に変化しないような網目を引くことはできないのです。これがリーマン空間で《第5に重要なこと》です。本節で説明した《第1に重要な事》〜《第5に重要な事》については、Einstein自身がプリンストン大学講義(1921年5月)の第3回講義の前半部で語っていますので参照して下さい。[補足説明1]本稿の1〜3章では、3次元リーマン空間中のただ1点の格子セルを定める基底ベクトルとそれから定まるその点のリーマン計量テンソルgjiの説明。その点での網目の引き方を変えたとき、つまり基底ベクトルを変更したときのリーマン計量テンソルの変化(つまり座標変換)の話しかしていません。隣り合った平行六面体のリーマン計量テンソルがどの様に変化するのか、その変化とは何を意味するのか4.(4)と4.(5)で説明します。そのことは2次元リーマン空間の場合には別稿「微分幾何学3(曲面幾何学)」で説明しています。一般のn次元リーマン空間については別稿「微分幾何学4(リーマン幾何学)」で説明する予定です。[補足説明2]上記の“一部分なら立方体セルで埋められますが、他の場所に必ず平行六面体状のセルが生じてきます。”について補足します。4.(2)[補足説明1]で述べた中央が盛り上がった机の天板の2次元リーマン空間で説明すると、盛り上がった斜面に作られる単位棒の四辺形はもはや正方形ではなくなり変形した平行四辺形になると説明しました。その盛り上がった斜面の部分に最初に単位棒で正方四辺形を作りそこから周囲に四角の格子を広げていっても良いのです。その様にすると、今度は最初に述べた机の隅の四角形が正方形ではなくなるでしょう。リーマン空間では部分的には正方格子の座標系をとる事はできるが、その場合他の場所が必ず歪んだ四角形になってしまいます。これは、アインシュタインが取り上げた重力場の中を自由落下する箱の実験に相当します。箱のなかの人間にはもはや重力場は存在せず箱の中の空間も曲がってはいません。自由落下する箱を大きくすると、箱の周辺ではもはや重力場は消すことができず、空間の歪みも表れてきます。重力場は消すことができ、空間も歪んでいないと見なせる座標系が局所的には存在するのですが、その座標系を全空間に広げて空間全体の重力場を消し、空間全体が歪んでいないと示せる座標系は存在しないのです。[補足説明3]上記《第5に重要なこと》の最後の文節で述べた“その為に座標値(ガウス座標)と基底ヘクトルの関係も場所とともに変化してしまい、スカラー場、ベクトル場、テンソル場の微分操作を特別難しくします。”について補足します。今例としてリーマン空間が同一のベクトル場で埋め尽くされているとします。A点と、その近くのB点でのベクトルは同じ大きさであり同じ方向を向いているとします。そのときリーマン空間では空間が歪んでいるためにA点とB点の基底ベクトルは微妙に変化しています。そのためそれぞれの基底ベクトルの長さを単位として測定されたA点のベクトルを表す座標値(ガウス座標)とB点のベクトルを表す座標値(ガウス座標)は変化してしまいます。同じベクトルなのにそのガウス座標は変化しています。これは単純に場所をAからBへ移動したときにあたかもベクトル場が変化したような微分係数を与えてしまうと言うことです。ベクトルの成分だけをを微分しても正しいベクトル場の微分とは成らない。一定でない基底ベクトルも微分しなければならないのです。これはベクトル成分の座標微分は実際のガウス座標のA→Bへの変化と、基底ベクトルのA→Bへの変化を両方考慮した微分係数にしなければならないことを意味する。これが曲がった空間、曲がった座標を理解する鍵です。これが“共変微分”の本質です。“共変”という言葉は、[ガウス座標値]と[基底ベクトル]の両方の変化を[共に考えないといけない]を意味します。そのとき基底ベクトルの変化はクリストッフェル記号で表されているのですから、共変微分係数には必然的にクリストッフェル記号が関係した項が含まれることになります。このことは4.(5)で説明する(あるいは「微分幾何学」3.(3)や「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(3)など参照)。[補足説明4]一般相対性理論で取り扱うリーマン空間は[時間1次元]+[空間3次元]からなる4次元時空です。その時空の各点の近傍領域はミンコフスキー4次元時空で近似できます。《第1に重要なこと》で説明した2次元ガウス曲面をリーマン4次元時空に対応させると、2次元ガウス曲面の各点における接平面に相当するものが“ミンコテスキー4次元時空”です(Born著「アインシュタインの相対性理論」第�Z章§7の説明参照)。《第5に重要なこと》で説明したように、ミンコフスキー4次元時空は曲がっておらず、しかもユークリッド空間の様に座標軸が互いに直交した時空です。その時間次元と空間次元が特殊な関係になっているので、計量テンソルはユークリッド空間のそれとは異なります。異なりますが、ユークリッド空間の計量テンソルと似ていますので、“擬ユークリッド計量”と言われることがあります。[例8]上記《第5に重要なこと》の“ユークリッド空間”の文節で述べた“ユークリッド空間でもグニャグニャ曲がった曲線座標で分割することができ、場所ごとの分割格子セルから定まる計量テンソルが場所ごとに変化するような網目を利用することができるが、その様にしてユークリッド空間に分布させた計量テンソルの集合からは決してユークリッド空間の歪みや曲がりを示すことはできない。”の意味をもう少し具体的に説明します。話を簡単にするために2次元ユークリッド空間(平面)で考えます。平面を曲線座標で分割するのですが、例として極座標を用います。この平面に住む平面人は、上図の中心点から周囲に向かって物指し棒と分度器を使って空間のなかに網目を引き網目の格子定数(計量テンソル)を測定していけます。平面人は彼が住む全空間(2次元ユークリッド空間)を極座標の網目で覆い尽くすことができます。この空間の“線素”はなので、各点に於ける網目の“計量テンソル”はとなります。なりますが、対角成分はrの関数ですから:計量テンソルは場所ごとに変化します。曲線座標で分割した網目についての計量テンソルですからそうなったのです。これらの計量テンソル成分の値を“クリストッフェルの記号の式に代入します。