このとき、基底ベクトル系での座標値はであり、双対基底ベクトル系での座標値はと成ります。内積を計算してみます。あった事と、計量テンソルの値がであった事を利用するととなり、すべで同一の値が得られます。どれとどれの座標値が掛け合わされているか下図で確認して下さい。いずれにしても、上記の計算値はに一致します。大きさと交叉角はです。(x,y,z)の“直交座標系”では、普通のベクトル成分の内積公式で計算できるのに、“斜交座標系”では双対基底ベクトル系というものを考えて上記の様に面倒な計算をしなければならなくなった所をご理解下さい。最初に、3次元空間中の1点に立方体状のセル(基底ベクトル)を設定します。次に、その各辺を周囲に伸ばしながら次々と隣り合うセルの基底ベクトル系を作り、それらを繋いでいきます。そのとき現実に“リーマン空間”に住む我々は、4.(3)で説明するように、そのように繋いで行った立方体セルが、その内に必然的に歪んできて、立方体セルを構成できなくなることに気付きます。リーマン空間に住む人間は必然的に平行六面体状の基底ベクトルを用いなければならなくなるのです。平行六面体状になった基底ベクトルを単位として空間中のベクトル量を測定しなければならなくなります。この当たりの事情は2次元リーマン空間である球面を正方形の格子のみで覆い尽くすことはできない事を思い浮かべれば納得していただけると思います。そのとき具体的なベクトル量の真の長さや、二つのベクトルの内積(座標の取り方によらない不変量)などの情報が必要になった時には、上記の様な双対基底ベクトルを各点で定めて、それらの基底ベクトルを単位として測定した反変成分と共変成分の座標値を上記の様に組み合わせて利用しなければならないのです。各点での基底ベクトルが定まっていれば、その点での双対基底ベクトルは2.(2)で説明した方法で定めることができます。5.文献(6)基本計量テンソルとは何か基本計量テンソルは、結晶解析学に於ける“格子定数”に相当します。constant]とは、結晶格子の単位格子セルの稜の長さa,b,cと,相互の間の角度α,β,γをいう。これから直ちにを求めることができます。実際、格子定数の値がそのようになることは[例1]の図から読み取れます。それ故に基本計量テンソルは格子定数のようなものだと言えます。[補足説明]ここで重要なことは4.(3)で説明するように、“3次元リーマン空間”の各点の近傍は“3次元ユークリッド空間”で近似できるのでしたから、3次元リーマン空間の中に引かれている網目状格子の各点の格子(平行六面体)の稜の長さ|a1|,|a2|,|a3|と稜の交差角θ12、θ23、θ31は3次元ユークリッド空間の物指し棒と分度器で現実に測定することができます。ユークリッド空間に存在する平行六面体から測定可能です。基本計量共変テンソルgijの各成分値は基底ベクトルa1、a2,a3のユークリッド空間における絶対的な長さ(大きさ)を表す数値(先に“2点間の不変な距離”と表現したもの)から上記の手順にしたがって得られるものです。古典的検証と歪んだ時空」3-3“物差しの振る舞い”における図19のa)とb)二通りの解釈ができる事に留意されてください。上記の“2点間の不変な距離”はb)の立場での意味だと理解すれば解りやすい。曲面(2次元リーマン空間)上の各点に於ける接平面に対応するものが3次元リーマン空間の各点に於ける接ユークリッド空間なのですから。その様に解釈して初めて“クリストッフェル記号”(接続係数)の意味も明瞭になります。(ここは4.(1)〜(4)で詳しく説明します)一般相対性理論の教科書では、“接ユークリッド空間の不変的な距離”を用いるb)の立場で説明される場合と、“物差しが収縮し時計がゆっくり進む”という解釈のa)の立場で説明される場合がありますが、本来どちらの解釈も可能です。別稿「時空の曲がりと測地線(測地線方程式とは何か)」4.(4)[補足説明]をご覧下さい。適用して、その長さの2乗値を求めてみる。なるが、これは確かにと一致している。ついても同様に成り立ちます。そのときの計算はに基づいて行われます。θにダッシュ’を付けたのは双対基底ベクトルの交差角である事を示すためです。基本計量テンソルの重要な性質について補足する。張る平行六面体(単位格子セル)の体積Vは、別稿「ベクトルの内積と外積の成分表示」2.(5)2.で説明した様にで表される。そのため、体積Vの2乗はとなる。式変形に行列式の性質を用いたが、詳細は別稿「ベクトルの内積と外積の成分表示」2.(5)2.[補足説明]を参照されたし。得られる行列式の値ですからとなる。従って、ベクトルv=(v1,v2,v3)を対角線ベクトルとする基底ベクトル系における平行六面体の体積Vはで表される。[例7]2.(3)[例3]の平行六面体の体積を計算してみる。張る平行六面体(単位格子セル)の体積Vはとなる。(基底ベクトルが作る平行6面体体積Vをそれぞれの稜方向にvi倍したもの)はとなる。たしかにその様な体積であることが図から読み取れる。ついても同様に成り立ちます。[補足説明1]本章の話は、別稿「2.曲面論」(2)3.[補足説明2]や別稿「3.曲面上の幾何学」(2)2.[補足説明3]で説明した“2次元リーマン空間”(3次元ユークリッド空間中の曲面)での議論を、“3次元リーマン空間”に拡張したものにすぎないのですが、3次元に拡張することで“基本計量テンソル”の意味がより明確になったと思います。3次元リーマン空間の各点に於ける接ユークリッド空間が、2次元リーマン空間(曲面)の各点に於ける接平面を拡張したものであると言った意味が明確なったと思います。これらのことを踏まえて別稿「4.リーマン幾何学」(2)の“n次元リーマン空間”の議論をお読み下さい。3階テンソルや4階テンソルの座標変換も取り扱うことになります。その場合、座標変換の行列表示が使えませんので、本来は行列表示形式の使用を避けるべきかも知れません。1階テンソル(ベクトル)と2階テンソルの座標変換に関しては行列表示は便利で解りやすい表示形式です。そのため、ここでは行列表示も並記しています。使えなくなる表示形式である事を心に留めておいて下さい。今はリーマン空間の小領域を表す3次元ユークリッド空間を考えているから、その中の斜交座標の基底ベクトルの変換は一般的に次の線形変換で実行できる。この変換式の意味は明らかであろう。表される事を示している。新基底ベクトルとする新たな座標系を定義したことを意味する。