(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)一般相対性理論の難しさは、歪んだ時空の座標変換に伴うその歪んだ時空上のベクトル量、テンソル量の変化の性質を調べないといけない所にある。一般の物理法則は時間や空間座標の偏微分方程式で表されています。その時空がニュートンが仮定した様に永久不変なものであれば、それらの偏微分方程式を記述し、それらの座標変換に伴う変化を読み取ることは簡単です。その時間座標や空間座標そのものが物質(エネルギー)の存在によって歪み変化するのですから、それらの時空で物理法則を表現することはきわめて難しい。一般相対性理論の難しさの大半は、この中にある。結局、アインシュタインはその数学的方法を発見するのに、一般相対性理論の着想(1907年)から5年の歳月を要したのですが、その数学的難しさの大半は、歪んだ時空におけるベクトル量やテンソル量の変換法則の難しさにある。中でも反変と共変の概念の難しさが際立っている。アインシュタインは、その数学的手法を確立して3年後、ついに正しい重力場方程式を発見する。本稿と並行して別稿「微分幾何学3(曲面上の幾何学)」と、「テンソル解析学(絶対微分学)」をお読み下さい。3.(1)2.[補足説明]に留意。最大の難しさは、物理法則を記述するときの拠り所である時空が物質(エネルギー)の存在により歪んでしまい、その歪んだ時空で物理法則を記述し、さらにその歪んだ時空の性質を論じなければならないことです。その歪んだ時空を記述する幾何学がリーマン幾何学なのですが、リーマン時空を表現するには、その時空間を測定する時計の進み具合が位置と共に変化し、測定棒の長さが、その向きや位置によって変化すると考えればよい。その空間を測定する座標線(その接線方向に測定棒が向いている)の向きは場所ごとに変化し、その座標線が曲線を成し座標軸の長さが伸び縮みすと考えればよい。(詳細は4.(1)〜(3)で説明)ところで、時間座標を距離座標と一緒に議論するのは難しいので、本稿では3次元座標が全て距離座標であるような3次元リーマン空間を考えます。[補足説明]多くの教科書では、共変性、反変性と基底ベクトル、双対基底ベクトルの関係を二次元平面、つまり2次元リーマン空間中の1点での接平面(2次元ユークリッド空間)上の斜交座標で論じている。(第2版)」共立出版社(1986年)§4-4など。2次元での説明は解りにくい。3次元の方が遙かに解りやすいので、本稿では“3次元リーマン空間”で考えます。3.(2)2.[補足説明3]で説明したように、その曲面上に存在する座標曲線のみを考察することで“2次元リーマン空間”が考察できた。曲面の上に、縦横に正方形格子状の網目が引かれたゴムシートを貼り付けたと考え、その網目座標でリーマン空間の性質を論じる事ができる。そのとき注意して欲しいことは、2次元リーマン空間の座標を決める基底ベクトルxuとxvは曲面の1点ごとに決められ、それらは曲面のその点に於ける“接平面(2次元ユークリッド空間)”の中に存在する“2次元斜交座標”でした。その接平面は接点の位置が変われば様々な傾きで変化しますが、各点の近傍に限れば平坦な平面中の斜交座標だと考えることができたのです。3次元リーマン空間においてもこのやり方を用いればよい。3次元リーマン空間を想像することは難く、ガウスが2次元リーマン空間である曲面を高次元の3次元ユークリッド空間から眺めた様なことはできません。我々は3次元ユークリッド空間に住んでいるのですから、3次元リーマン空間を体験するために高次のユークリッド空間を利用することはできないのです。ところで、ガウスが第1微分形式で曲面の幾何学を展開したとき、その曲面は2次元リーマン空間でありながら、その微小領域に限っては平面である2次元ユークリッド空間(接平面のこと)中の斜交座標で議論できた。3次元リーマン空間でも、その微小領域に限れば3次元ユークリッド空間中の3次元斜交座標系で議論できるだろう。ガウスが曲面の接平面上での斜交座標(斜交基底ベクトル)で2次元リーマン空間の幾何学を論じた様に、3次元リーマン空間の中の一点の近傍に限れば、3次元ユークリッド空間中の3本の斜交座標(3つの斜めに交わる基底ベクトル)で議論できるだろう。ここで注意して欲しいことは、“リーマン空間”の歪みを表すにはその歪んだ空間の中に存在する単位長さの測定棒の伸び縮みと、その測定棒の方向の変化で表現するしか方法は無いことです。“単位測定棒の長さとその向きの場所的な変化こそが空間の歪みを体現している”。(この言い方は誤解を招きやすい。基底ベクトルが斜交したことや稜の長さが不揃いになったことがリーマン空間の歪みを直接表すわけではないからです。このことの正確な意味は4.(1)、(2)、(3)をご覧下さい。)そして、そのような伸び縮みする単位棒を三次元的に並べた3次元空間の中の各点に、いわゆるスカラー量、ベクトル量、テンソル量が分布しているわけです。それらは一般に三次元空間の位置座標の関数であり、空間座標が異なればそれらの量は変化します。それらの量は一般に座標の変化量に関係した量です。3次元空間中の任意の1点におけるベクトル量である微小変位ベクトルdrはその地点でのベクトルの長さと方向(dr1,dr2,dr3)に関係しているのですが、そのベクトル先端の座標値までの長さに関係している、あるいは3次元空間内のスカラーの勾配ベクトルを考えると∂/∂riの様に座標の微小変化driに関係している。そのとき、それらのスカラー量、ベクトル量、テンソル量が存在する点における座標の変化量に関係していると言われても、座標空間そのものが、場所と共に歪み変化しているのですから、そのことを、スカラー量、ベクトル量、テンソル量の表現の中に取り込んでおかねば成りません。座標の様子が、3次元リーマン空間中に存在するスカラー量、ベクトル量、テンソル量に関係すると言われても、座標軸の方向そのものが、あるいは座標測定の単位測定棒の長さそのものが場所的に変化しますので、それらの量の性質を調べるには、まずその内部で“座標軸の方向と、距離測定の単位測定棒の長さが一定であると見なされる微小領域をとりあげる”必要があります。下図の矢印は単位測定棒ですが、その測定棒の方向と長さが存在場所によって変化することが空間の歪みを表しています。(このことの正確な意味は4.(1)、(2)、(3)をご覧下さい。)もちろん単位測定棒が接している空間の座標曲線の連なりは場所の変化と共にクネクネと曲がっていきますので、極狭い領域でのみ測定棒の接線方向の座標線は図のように直線的に延びていると近似出来るわけです。図中のxyz軸は3次元リーマン空間中の一点の近傍をあらわす3次元ユークリッド空間です。現実の時空はリーマン空間なのですが、実際の我々の生活空間のスケールに於いてはユークリッド空間との差はほとんど無いのですから、前節で説明した曲面上の1点の近傍を接平面(2次元ユークリッド空間)で近似したのと同様に3次元リーマン空間の1点の近傍領域を3次元ユークリッド空間で近似した中で考えても良いわけです。格子状の網目が印刷されたゴムシートを曲面に貼り付けると、その貼り付けられた曲面の一点の近傍は接平面(2次元ユークリッド空間)で近似できると言ってもその中での網目格子はもはや正方形ではなく、平行四辺形になり、辺の長さも、平行四辺形の面積も元の貼り付ける前のゴムシード上での正方格子とは異なります。そのことが曲面がユークリッド空間ではなくリーマン空間であると言うことを表しています。それと同様に、各点で設定された3次元ユークリッド空間中の斜交平行六面体を構成する基本単位ベクトルの方向と長さは様々に変化しているはずです。これらの平行六面体は3次元ユークリッド空間の中に作った立方体格子を3次元リーマン空間に貼り付けたときの3次元ユークリッド空間での様子を表しています。[補足説明]上記アンダーラインの説明は正確では在りません。曲面上に住んでいる曲面人にとって貼り付ける前のゴムシート上の網目が正方格子だったかどうかなど知りようがないからです。それと同様に3次元リーマン空間に住む我々にとって、それに貼り付ける前の3次元ユークリッド空間に引いた格子が立方体状の格子だったかどうかなど知りようがないからです。アンダーラインの文章の正しい解釈は4.(1)、(2)、(3)をご覧下さい。5.文献(3)反変成分と共変成分1.単位セルの様子ユークリッド空間とリーマン空間の関係を説明する。ユークリッド空間の例として2次元平面を考え、リーマン空間の例として3次元ユークリッド空間中の2次元曲面を考える。そのとき、ユークリッド空間中の位置を指定するものとして、その中に縦横に密に引かれた格子状の網目を考える。このときの網目はすべての辺の長さは同一で、すべての辺は直交して90°で互いに交わっているとして良い。単位網目の辺の長さがその空間の座標を定める単位長さであると考える事ができる。次に、3次元ユークリッド空間中の2次元曲面である2次元リーマン空間中の位置を指定するものとしてその表面に縦横に密に引かれた網目を考える。これは先ほどの2次元平面に引かれた網目がゴムシートでできていてそれを2次曲面に貼り付けた様なものだと考えれば良い。そのとき、の網目の単位セルについて以下の事が生じることに注意されたい。下図の様な4っの網目を考える。それぞれの網目は、その真ん中当たりで曲面に接した接平面に構成されていると考える事ができる。そのとき互いに接している4つの網目について言えばそれらが交わる角度θはもはや90°では無くなる。なることは実際に凸状の曲面の上に上記の様な4つの四辺形を作ってみれば明らかです。網目を構成する辺の長さはもはや1では無くなる。座標値を数える単位棒の長さがリーマン空間の場所ごとに変化していく。このことも曲面の上に格子状のゴムシートを貼り付けてみれば明らかです。“平行四辺形状をした単位格子”からなる“斜交座標”を用いなければならなくなる。前記の網目の格子の大きさを極微細に設定すればリーマン空間上の限られた領域に付いては同一の斜交平行四辺形を敷き詰めた一つの平面で近似できる。そのためリーマン空間の狭い領域に付いての位置座標、あるいはベクトルは格子の単位の長さの何倍で測定した座標成分で記述できる事になる。このとき、P点の座標値を測る上で新たな事情が生じてくる。ユークリッド空間に於ける座標値の意味を復習すると、上左図の様に単位の長さで測って何倍の長さになるかでAxとAy値が定まるのであるが、図中のAx点を定める線分は《x軸に垂直でしかもP点を通るもの》の意味でもあるし、《y軸に平行な線でP点を通るもの》の意味の二通りがある。このとき、ユークリッド空間においては、この両者に差は無く、全く同一の座標点Axを与える。ところが、リーマン空間に於ける斜交座標では、《1軸に垂直でしかもP点を通る線分》で定めた座標点はA1となり、《2軸に平行でしかもP点を通る線分》で定めた座標点はA1となり、どちらの線分を用いるかにより、ベクトルAの成分表示が二種類に分かれてしまう事になる。このとき、リーマン空間で必要な斜交座標で表した成分表示の内(A1,A2)を“共変成分”表示と呼び、(A1,A2)を“反変成分”表示と言う。普通添字1,2を付ける位置を変えて両者の違いを区別する。ユークリッド空間の直交座標では、上記の二種類の成分表示がたまたま一致しているから、その様に2種類の成分表示がある事に気付かなかったのですが、本来この両者が存在する。このとき、上右図の単位ベクトルeiの事を今後“基底ベクトル”と呼ぶことにしますが、“基底ベクトル”eiの長さは必ずしも1に等しいわけではありませんし、これらは互いに直交しているわけでもありまん。任意のベクトルAは、反変成分を用いるとと表される。ところが、ベクトル成分表示の意味から明らかなのですが、共変成分に対してはとなり、“基底ベクトル”eiを用いたのでは、共変成分によってベクトルAを表す事はできません。前節で説明したように“直交座標系”では、共変成分も反変成分もベクトルAを表示するための成分としては同等の働きをしていたのですが、“斜交座標”になると“共変成分”ではベクトルAを旨く表示できないのです。これは困ったことになりました。そこで、共変成分を用いてベクトルAを旨く表される様にするために“双対基底ベクトル”eiというものを新たに定めます。それは、当然基底ベクトルeiが定まればそれに対応して必然的に定まる様なもので無ければ成りません。実際に双対基底ベクトルeiは次のようにして定めます。以下のやり方は2次元リーマン空間の場合です。この説明はあくまで2次元リーマン空間の場合のやり方で、3次元リーマン空間の場合は2.(1)で説明します。このようにして定まる“双対基底ベクトル”eiを用いれば、任意のベクトルAは共変成分Aiを用いての様に表せる。リーマン空間であるが故に必然的に必要になった斜交座標の為に成分表示が二種類に分かれてしまったのだが、以上の様に考えれば、リーマン空間においても終始一貫した幾何学的な議論ができる事になる。三つの基底ベクトルで決定される空間格子とする。この格子を今後“実格子空間”と呼ぶことにする。(これを双対基底ベクトルと言う)で構成される単位格子で構成される空間格子を考える。これを“双対格子空間”と呼ぶことにする。定義から明らかなようにb1はa2とa3に、b2はa3とa1に、b3はa1とa2に垂直です。それらの大きさは(ai・bi)=1(i=1,2,3)によって定まる。このことの意味をもう少し説明すると、双対基底ベクトルb1は基底ベクトルa2とa3が張る平面に垂直な方向を向いており、その長さは双対基底ベクトルb1と基底ベクトルa1の内積が(a1・b1)=1となるように定められていると言うことです。同様に、双対基底ベクトルb2は基底ベクトルa1とa3が張る平面に垂直な方向を向いており、その長さは双対基底ベクトルb2と基底ベクトルa2の内積が(a2・b2)=1となるように定められている。双対基底ベクトルb3は基底ベクトルa1とa2が張る平面に垂直な方向を向いており、その長さは双対基底ベクトルb3と基底ベクトルa3の内積が(a3・b3)=1となるように定められている別稿「ベクトルの内積と外積の成分表示」2.(5)2.で説明したベクトルのスカラー積(内積)とベクトル積(外積)の意味と、(a1・[a2×a3])は三つの基底ベクトルa1、a2、a3を三稜とする平行六面体の体積であることを思い出せば、それぞれの双対基底ベクトルは基底ベクトルによりと表されることが解る。方向が前記の定義を満たしていることはベクトルの外積の定義から明らかであろう。3つのベクトルb1、b2、b3それぞれの大きさについては、それぞれとなるので、やはり定義の条件を満足している。元の基底ベクトルは、新たに定義した双対基底ベトクルによりと表される。図示するには次のようにすればよい。基底ベクトルa1、a2、a3の3次元ユークリッド空間での座標値を定める。これを、上記のベクトル式に代入して成分計算して双対基底ベクトルb1、b2、b3の3次元ユークリッド空間での座標値を得る。その座標値に基づいて3次元ユークリッド空間内に双対基底ベクトルの矢印を図示する。双対基底ベクトル矢印の様子からその長さも明らかになる。そのように3次元ユークリッド空間を利用できることは前章1.(2)で説明した。そのことの深い意味は4.(1)〜(3)を参照されたし。[例1]具体的な値を与えて図示してみる。3本の基底ベクトルの3次元ユークリッド空間に於ける座標値をとする。これらの値を前述のベクトル計算式に代入して双対基底ベクトルの3次元ユークリッド空間での成分値を計算するとが得られる。実際の計算は面倒なのでMathematicaを利用した。このとき、これらの成分値は最初の条件式を満足していることが確認できる。図示するとの様になる。視点を変えた図はこちら。]実際の計算や図示はMathematicaなどの数式処理ソフトなど使わないと面倒だがとにかくできる。上記の図で、例えば双対基底ベクトルは、基底ベクトルの張る平面に垂直です。基底ベクトルは双対基底ベクトルの張る平面に垂直である事を読み取って下さい。他の面もそれぞれ対応する基底ベクトル、双対基底ベクトルに垂直になっている事を読み取って下さい。[補足説明1]上記の“基底ベクトル”と“双対基底ベクトル”の関係は、結晶解析学で習う“実格子”と“Ewaldの逆格子”の関係になっている。このことについては、別稿「X線結晶解析におけるラウエの条件式とブラッグの条件式」5.(2)2.を参照されたし。ここで注意して欲しいことは、結晶学における“実格子”と“逆格子”は単一結晶領域内では全て同一の形状を保っているが、一般相対性理論では格子と逆格子の形状は場所の移動と共にどんどん変化していくことです。これが結晶学における“実格子・逆格子”と一般相対性理論における“基底ベクトル・双対基底ベクトル”との決定的な違いです。一般相対性理論では、ごく近傍の隣り合った領域においてのみ“基底ベクトル・双対基底ベクトル”が同一の形状とみなすことができるだけです。この言い方には深い意味が含まれていますが、4.(1)〜(3)を読まれれば納得して頂けると思います。して、3次元のベクトル解析で計算する。そのxy成分だけ取り出せば良い。その様に取り扱えば、上記引用文献の説明も理解しやすい。[補足説明3]前述の様に、2次元、3次元リーマン空間の場合はベクトル解析のベクトル積・スカラー積の3次元ユークリッド空間での成分計算を実施すれば“双対基底ベクトル”を求めることができる。4次元以上の、例えばn次元リーマン空間では次のようにする。線形代数学の授業で習うCramerの公式で解ける。この公式は『ウィキペディア(Wikipedia)』などにも解りやすく説明されているので参照されたし。解く方法が利用できます。3次元の場合の連立方程式はとなります。用いる方法で解いても良い。実際、ダニエル・フライシュ著(河辺哲次訳)「物理のためのベクトルとテンソル」岩波書店2013年刊)§4.4〜§4.6ではそのようにしています。連立の線形代数方程式の行列表示はとなる。Cramerの公式で解けば良い。手計算は大変なのでMathematicaを利用して解くと、確かにが得られる。[補足説明4]ここで取り上げた例では基底ベクトルと双対基底ベクトルの違いが解りやすいように基底ベクトルの作る単位平行六面体セルとしてかなり歪んでいるものを用いました。微小領域で見た場合には3次元リーマン空間の歪みはごくわずかですからこんなに歪んでいるわけではありません。(この言い方は誤解を招きやすい。基底ベクトルが斜交したことや稜の長さが不揃いになったことがリーマン空間の歪みを直接表すわけではないからです。このことの正確な意味は4.(2)、(3)をご覧下さい。)ところで、1.(2)で説明したように、正方格子状の網目が印刷されたゴムシートを曲面に貼り付けると、その貼り付けられた曲面の一点の近傍は2次元ユークリッド空間(つまり接平面)で近似できると言ってもその中での網目格子はもはや正方形ではなく、平行四辺形に歪みます。辺の長さも、平行四辺形の面積も元の貼り付ける前のゴムシード上での正方形格子のそれとは異なります。そのことが曲面がユークリッド空間ではなくリーマン空間であると言うことを表しています。それと同様に、各点で設定された3次元ユークリッド空間中の斜交平行六面体を構成する基本単位ベクトルの方向と長さは様々に変化しているはずです。これらの平行六面体は3次元ユークリッド空間の中に作った立方体格子を3次元リーマン空間に貼り付けたときの3次元ユークリッド空間での様子を表しているのでしたから。そのとき、3次元リーマン空間の歪みが小さい場合は、それに貼り付けられた3次元ユークリッド空間の立方体格子はそのままの形を保つはずです。基底ベクトルはとなります。そのとき、上記と同じ手順でこれから定義計算した双対基底ベクトルはとなります。すれば、その双対基底ベクトルは元の基底ベクトルと完全に重なります。b1はa1に、b2はa2に、b3はa3にそれぞれ重なります。この場合には、2.(3)で説明する“共変成分”と“反変成分”の区別はなくなります。普通の3次元ユークリッド直交空間で習うベクトル解析、テンソル解析にはこの共変・反変という概念は表れなかったことを思い出して下さい。vは以下の様に表せる。基底ベクトルa1、a2、a3の長さを単位として、その長さの何個分かを表していることに注意されたし。このように表現できるのはあくまで原点の近傍領域内のベクトルについて言えるだけであることを忘れないこと。ここで注意して欲しいことはベクトルの大きさについては特に制限は無いのですが、“変位ベクトル”についてはその近傍領域内の位置を示す微小変位ベクトルに限るという“微小であると言う制限”がつきます。同様にして、“双対格子空間”の双対基底ベクトルで同じベクトルを表すととなるのですが、これについてはが成り立つ。双対基底ベクトルb1、b2、b3の長さを単位として、その長さの何個分かを表していることに注意されたし。同じベクトルでも実格子空間の基底ベクトルを用いて表示するか、双対格子空間の双対基底ベクトルを用いて表示するかで、その座標値(v1,v2,v3)と(v1,v2,v3)の値は異なります。“座標値”は異なっても同じベクトルを表している事を忘れないで下さい。共変成分”と言います。基底ベクトルa1、a2、a3の長さが増大すると、それに反して減少するからです。基底ベクトルa1、a2、a3の長さが増大すると双対基底ベクトルb1、b2、b3の長さが減少しますので、基底ベクトルa1、a2、a3の長さと共に増大するからです。呼ぶと言っている本もあります。その様に言っても良いでしょう。このことについては3.(2)と(3)を参照して下さい。[例3]前述の[例1]の実格子空間と双対格子空間での“座標値”を計算して、上記の事情を図で示してみる。図中の黒色矢印がそれです。このとき反変成分(v1,v2,v3)の具体的な値はだから次のようにして計算できる。同様に共変成分(v1,v2,v3)はだからとなる。これらの値を用いて図示するととなる。視点を変えた図はこちら。座標値をその単位格子セルの格子定数(つまり基底ベクトルの何倍か)で知る必要があるから。前記の(A)式と(B)式の関係を利用したいからです。反変成分(v1,v2,v3)、共変成分(v1,v2,v3)も図の中に全て書き込んでありますから、図でその意味を読み取って下さい。他の面もそれぞれ対応する基底ベクトル、双対基底ベクトルに垂直になっている事を読み取って下さい。