今年の東北大の整数問題は有名問題からの出題でした。言っても、受験生の中で「カタラン予想」を知っている人は果たしてどれだけ居るのでしょうか・・・(笑)?実はこの問題、当サイトの創作整数問題#11として昨年の4月に出題していたものと全く同じ問題です!今年の東北大理系を受験した人の中に、過去に閲覧されていた方がいれば、管理人としても嬉しい限りです。\tag*{・・・・・・1}$$を満たしているとする。ともに正となることを示せ。偶数であることを示せ。本問は整数論では有名な問題なので、もし予備知識があればかなり見通しが良かったことでしょう。実際には親切な誘導設問が付いているので予備知識などは全く不要なのですが、せっかくなので本問の背景について触れておきたいと思います。実は、本問の題材となっている数論の定理が存在します。この命題は「カタラン予想」として知られており、フランスの数学者カタラン(1814年~1894年:生まれはベルギー)が予想として発表してから150年以上も未解決のままでした。これをルーマニアの数学者ミハイレスク氏が2002年に証明し、フェルマーの最終定理ほどではないにせよ、当時の数学界においてかなり興奮をもって報じられました。今では「カタラン・ミハイレスクの定理」、若しくは単に「ミハイレスクの定理」と呼ばれています。した特殊な場合に関する証明問題となっています。●(1)は等式$1$の左辺の指数部分がともに正でなければならないことの証明ですが、背理法的に示すのが良いでしょう。$a$が$0$以下のとき、$x^a$は$1$以下となります。は$1$未満となり等号が成立せず不適です。よって$a$は正であることが必要です。分かっているので$x^a$は整数となります。整数値を取り得ず不適です。すると等式$1$は$$3^a=2$$となり、$3$の冪乗が$2$になることはないのでこれも不合理です。したがって等式$1$を満たす整数$a$、$b$はともに正となることが示されました。●(2)は単純な式変形(二項展開)で解決できます。大げさに言えば、$4$の平方剰余の考え方を利用します。とき、$2^b$は$4$の倍数となるので等式$1$により、$3^a$を$4$で割った余りは$1$となることが必要です。\end{align}$$と表せます(ただし$N$は非負整数)。したがって、$3^a$を$4$で割った余りが$1$となるには$a$が偶数となることが必要です。偶数であることが示されました。●(3)ではこれまでの設問の結果から、$a$、$b$がともに正のときを考えればよく、$b$が$2$以上のときは$a$が偶数となる場合のみを考えればよいことになります。