_3}=\frac{1}{3}\)となります。順列/順列となっていることがわかりますね。赤玉が2つ、白玉が6つ袋のなかに入っています。ランダムに2個取り出したときに両方赤玉である確率を求めます。_2}=\frac{1}{28}\)組み合わせ/組み合わせで求めることができました。ここでも区別できないものを区別していることにも注意しておきましょう。確率の加法定理というものがあり、以下が成り立ちます。排反とは「同時に起こることがない」という意味の用語です。1つのサイコロを振ったときに、1の目と2の目が同時に出ることはありませんので、サイコロの目は互いに排反と言えます。コインの裏表も同時に起きることはないので、互いに排反です。確率の加法定理は当たり前のことを言っているだけですので気構えなくても大丈夫です。要するに、事象が互いに排反のとき確率を足し算することができるというものです。サイコロの1の目、2の目がでる確率はそれぞれ\(\frac{1}{6}\)です。「サイコロの1または2の目が出る確率」は確率の加法定理より\(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)となる、ということを言っているに過ぎません。「排反のときに単純に足し算できる」ということを覚えておきましょう。和事象の確率それでは排反でないときはどうでしょうか。トランプを1枚引くときに「7が出る事象」と「スペードが出る事象」を考えます。確率はそれぞれ\(\frac{1}{13},\frac{1}{4}\)となっています。注意するべきなのはこれが排反ではないことです。「スペードの7」が出るときに、両方が同時に起こります。よって先程のように「7が出る、またはスペードが出る事象」を\(\frac{1}{13}+\frac{1}{4}\)と足すことはできません。スペードの7の\(\frac{1}{52}\)分のダブルカウントが起きていることになります。そこで和事象の確率を足す際に、次のことが成り立ちます。これは難しいように思えるかもしれませんが、具体的に考えれば難しいことはありません。要するに「被った分(A∩B)を和から取り除く」ということです。トランプの例で言えば「スペードの7」になります。排反のときは、両方が同時に起きることはなかったため単純に足すことができましたが、排反でない場合は同時に起きる事象があります。そこで、同時に起きる事象の分だけ和から引くことで正しい確率を求めることができます。ここで例題を解いてみましょう。問題1から100までの整数をランダムで取り出すとき、5または6の倍数となる確率を求めよ。「5の倍数となる事象A」と「6の倍数となる事象B」は互いに排反ではありません。5と6の公倍数の30の倍数のときに同時に起きるからです。単純にP(A)+P(B)としてしまうと、30の倍数の分だけ二重にカウントしてしまうことになるので、その分だけ減らす必要があります。そのため、求める確率はP(A)+P(B)-P(A∩B)となります。5の倍数となるのは100÷5=20通りよって確率は\(\frac{20}{100}\)6の倍数となるのは100÷6=16.6・・・より16通りよって確率は\(\frac{16}{100}\)30の倍数となるのは100÷30=3.3・・・より3通りよって確率は\(\frac{3}{100}\)よって求める確率は\(\frac{20}{100}+\frac{16}{100}-\frac{3}{100}=\frac{33}{100}\)となります。途中の計算は約分しない方が後の計算が楽になるのであえてしていません。確率を求める際に欠かせないのが余事象の確率です。余事象の確率を上手く使いこなせるかどうかで計算時間が段違いに変わります。余事象とは次のようなものです。これは「事象Aが起きない確率」を求める際に利用します。サイコロを振って1の目がでない確率を考えてみましょう。余事象の確率を利用しなければ、「2,3,4,5,6のどれかが出る確率」ということで\(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)という計算をして求めることになります。面倒くさい計算になってしまいますね。そこで余事象を利用してみましょう。余事象の式は以下の通りです。\(P(\bar{A})=1-P(A)\)実際に当てはめてみると\(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)といったように簡単に求めることができます。余事象の確率を求めることは難しくありませんが、いざ実際の問題を解いているときは余事象の確率を利用することに気づきにくいです。問題文中の「~でない」「少なくとも~である」といった文言があれば余事象の確率を疑いましょう。次の例はどちらも余事象を使ったほうが楽に計算できます。問題文中の否定の文言に注意して余事象の確率を積極的に利用していきましょう。確率の基本は数えること場合の数から確率に変わっても、結局のところは数え上げることに変わりはありません。全事象が何通りあるか、事象Aが何通りあるかを数えてその割合を求めることが確率の本質です。さんの意見を聞かせてください!合格サプリWEBに関するアンケートアンケートに回答する!RECOMMENDこちらの記事も人気です。