素朴な問いに対する研究です。数理モデルとして現れます。上のXが実直線で、fが多項式関数のときです。拡げると解析がしやすく、理論を豊かにするのです。それが複素力学系です。ニュートン法では有理関数で表される漸化式を考えることになります。なっています(ニュートン法を複素力学系を用いて研究する話は、依然として最先端の研究対象です)。初期値とnで具体的な式で表すことはすでに無理です。後の様子は全く異なります。カオス(混沌)と呼ばれる複雑さを持ちます。変形理論などを組み合わせ、駆使して様子を探っていきます。不思議な性質を持ちます。この性質を自己相似性と呼びます。「自己相似性」を持つ図形は各所にあります。雲、樹木、結晶、カリフラワー、・・・など、自然界によく見かけます。多項式fを選ぶと、そのジュリア集合が樹木や結晶にそっくりになります。フラクタルとは「砕けた」を意味する造語です。このフラクタル図形を数学的に扱うことも出来ます(その分野をフラクタル幾何学といいます)。そこで、t次元ものさし(tは1と2の間の実数)を用意します。小さくしていったときの極限として定義されます。sを超えると今度はずっと0になります。一般に1.5や1.6など非整数となって、大変興味深いものとなります。そのように、1と2の間で非整数となる場合が非常に多いことが知られています。ならびにフラクタル幾何学を研究しています。これらのことについて、以下の(1)(2)(3)で詳しく述べます。有理関数の族Aが与えられたとします。写像の合成を積とする半群になります。ここでは、そのような半群をAで生成された有理関数半群と呼びましょう。有理関数半群の力学系においては、そのジュリア集合は半群の各元で前方不変ではありません。いうと、ジュリア集合は、Aの各元で引き戻したものの合併と等しくなります。「ランダムな複素力学系」などに関係しています。点を動かす、ということを繰り返す、というシステムです。さいころを振って、偶数の目が出たらzをfで動かし、奇数の目が出たらzをgで動かす。繰り返す、というものです。ランダムな力学系の方が現実にあっているのではないかと思われることもあります。ランダムな複素力学系を調べるのに、逆に半群の力学系を調べることが有効であることも分かります。有理関数半群の力学系やランダムな複素力学系は、ともに誕生したのが1990年頃という、若い研究対象です。研究しています(論文1,2,5,6、8,9,10,12,18,19,20,21,24,25,26,27,28、29,30,31)。消滅させてしまうこと(協調原理といいます)を発見しました(論文22,28)。(悪魔の階段の複素平面上版)とでもいうべきものになることを発見しました(論文22,28)。その悪魔の階段の複素平面上版は、「悪魔のコロシアム」と呼ばれています(図2参照)。見やすいように、図2を上下にひっくり返したもの(図3)も入れます。原点に収束する確率の関数のグラフになります。図3の関数は「フラクタルウエディングケーキ」と呼ばれます。「高木関数の複素平面上版」が得られることを発見しました(図4)(論文28)。これらは実直線上でのランダム力学系において自然に現れるオブジェクトたちです。実直線上のランダム力学系を考えます。X_{n}はnを大きくしていくにつれて+∞に飛んで行ったり-∞にとんでいったりします。飛んでいく確率をA(x)とおきましょう。実直線上で連続で、カントールの三進集合という細かいフラクタル集合の上だけで変化し、そして単調性を持ちます。関数A(x)を閉区間[0,1]に制限したものは、古典的に「悪魔の階段」と呼ばれている関数と同じです。実直線上のランダム力学系を考えます。飛んでいくような確率をB_{p}(x)とおきます。関数fのグラフは点(x,f(x))で水平な接線を持ち、なおかつ関数fは狭義単調増加関数です。(ただしpは1/2でない)。C(x)とおくと、それは[0,1]上で、数学者高木貞治が1900年代に発見していた「高木関数」と一致することが分かります。[0,1]上で連続なのに、[0,1]上のどの点においても微分不可能であるという面白い特徴を持ちます。そのグラフが図3です。ランダム力学系の視点から解釈可能であるということを私が発見しました(論文22、15)。