逆行列成分でなければならない事を示している。成らねばならないと言うことです。新双対基底ベクトル系での表現はとなる。基底ベクトルの座標変換の具体的な例については4.(6)1.をご覧下さい。位置を上下のみならず左右の位置もずらしているのは、行列表示を意識してのことです。座標変換係数の定義式はと記すことになります。関係は、行列表示でとなり、一方の行列を転置行列にする必要は無くなる。と上付き添字i’の上付き添字同士に成ってしまい、次の[補足説明2]で説明する“アインシュタインの規約”が使えなくなりますので、この表示が良いかどうかは判断に迷うところです。このように定義すると、以後の説明の行列表示形式も少し変わってきます。3章§3はこちらの形式で展開されていますので、参照されて下さい。最初に注意したように、行列表示形式は高階テンソルの議論が必要になったときに破綻します。用いないのなら、添字の左右の位置は関係なくなります。上下の位置のみが重要になり、二つのテンソルの積(縮約演算)は、必ず上と下の添字の総和を取ることさえ注意すれば良い。して上下の添字について和を取る縮約演算に関して、“アインシュタインの規約”を思いつきます。アインシュタインはこのアイディアについて「私は数学における偉大な発見をなしとげた。私は、2度表れる添字について和をとらねばならないときはいつも、和の記号を削除した・・・」と冗談めかして言っていますが、“斜交座標基底”を取り扱わねばならず、反変成分と共変成分が必然的に現れる《リーマン幾何学》では、このことは本質的に重要な事だった訳です。これらのことは、4.(3)で説明する《第5に重要なこと》に深く関係しています。[補足説明3]4.(1)〜(3)で説明しますが、“リーマン空間”では“斜交曲線座標”を用いざるを得なくなります。そのため基底ベクトル系に加えて双対基底ベクトル系と言うものを導入する必要があり、座標変換がとても錯綜したものになります。混同しないでください。両者は全く別の事です。3.(1)2.[補足説明]で注意した意味での変換です。その様に[基底ベクトルを変換]したら、その双対基底ベクトルは2.(1)の[基底ベクトルと双対基底ベクトル間の変換則]に従って従属的・確定的に新しい双対基底ベクトルに変換されます。今後は[基底ベクトルと双対基底ベクトルの間の変換]のことはあまり意識しないで下さい。この章では、(C)式によって[基底ベクトルを変換]したら、スカラー場やベクトル場、テンソル場の成分がどのように変換されるかを考えています。“場”という言い方をしたのは、変換対象の基底ベクトル自体が場所と共に変化しており、その変換係数も場所と共に変化しているからです。そのため[基底ベクトルの変換]に伴って変換されるスカラー場・ベクトル場・テンソル場の成分も場所ごとに異なっており、その変換される様子も場所ごとに異なる。[基底ベクトルの変換]と[スカラー場、ベクトル場、テンソル場の成分の変換]との関係は文献8.p250〜253の対応図で示されている関係になります。このとき、変換対象について文献8.p257の注意も重要です。5.文献(2)微小変位ベクトルdrの座標変換リーマン空間では有限の大きさの位置ベクトルは考えることはできない。この稿で説明してきた斜交座標を構成する基底ベクトルはリーマン空間の場所ごとで変化していくものだからです。その基底ベクトルを定義している3次元ユークリッド空間もリーマン空間の各場所の近傍領域でのみその場所のリーマン空間を近似的に表すものでしかないからです。これは、リーマン空間を議論するときいつも最初に注意される事です。上記の様に位置ベクトルとしては微小なものしか考えることができませんしリーマン空間の微小領域に限られますが、その位置を定めるものであることは確かです。空間の中の位置座標を示すものです。リーマン空間(近似ユークリッド空間)でのベクトルですからその反変成分や共変成分と基底ベクトル、双対基底ベクトルとの関係は2.(3)で説明した内容になります。微小変位ベクトルdrの“反変成分”はとなります。このとき、双対基底ベクトルの変換式3.(1)(D)式を適用するととなります。微小変位ベクトルdrの“共変成分”はとなります。このとき基底ベクトルの変換式3.(1)(C)式を適用するととなります。5.文献(3)任意ベクトル成分の座標変換ここではリーマン空間のなかの各点で定義された任意のベクトル場を考える。速度ベクトル場、加速度ベクトル場、運動量ベクトル場、電流密度ベクトル場などが在ります。前節の微小変位ベクトルdrもその中に含まれます。任意のベクトルvの“反変成分”と“共変成分”の座標変換則は前節の結論を用いれば直ちに求まる。双対基底ベクトルと同じ変換を受ける。ベクトルの反変成分は座標位置を表す微小変位ベクトルdrの反変成分と同じ変換法則によって座標変換される。言って指数添字を上げて表示する理由です。同様に、共変成分はとなり、基底ベクトルと同じ変換を受ける事が解る。ベクトルの共変成分は座標位置を表す微小変位ベクトルdrの共変成分と同じ変換法則によって座標変換される。言って指数添字を下げて表示する理由です。変換行列の“逆行列”で変換されるベクトルの事を“共変ベクトル”と言っても良いわけです。ベクトルの座標変換の具体的な例については4.(6)2.をご覧下さい。座標変換法則を求めてみる。定義より、“アインシュタインの規約”を適用するとが得られる。2階共変テンソルで在ることを示している。定義より、“アインシュタインの規約”を適用するとが得られる。2階反変テンソルであることを示している。:基本計量テンソルの座標変換の具体的な例については4.(6)3.をご覧下さい。ついて成り立つ上記座標変換則がリーマン空間の“線素ds2の大きさが座標変換に対して不変”であることを保証している。3.(2)2.[補足説明3]の文末の説明を参照されたし。2階共変テンソルである事を導いている。「微分幾何学」3.(1)2.[問題]も参照されたし。[補足説明2]3次元の場合に、基本計量テンソルによって反変成分と共変成分が互いに変換されることを2.(4)で説明した。ここで説明した基本計量テンソルの座標変換則を用いても、そのことが確認できる。乗じて指数jに関して総和をとり縮約したものの座標変換則を求めるととなる。“基底ベクトル”と同じ変換係数で変換されることが解る。共変ベクトルとなっている。乗じて指数jに関して総和をとり縮約したものの座標変換則を求めるととなる。“双対基底ベクトル”と同じ変換係数で変換されることが解る。反変ベクトルとなっている。反変ベクトルに変換するととなる。共変ベクトルに変換するととなる。