ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。(2)前回に求めた4元ポテンシャルに対するマックスウェル方程式にローレンツ条件を加えて、ローレンツゲージにおけるマックスウェル方程式を記述してみます。クーロンゲージは、ローレンツ共変ではないので、4元形式では記述できません(たぶん)まずは、前回の式。0\tag{2}\]でしたので、これを4元形式に書き換えます。0\tag{4}\]となります。j^\mu\tag{5}\]という非常にすっきりした形に書き換えられます。各種単位系を見ておきます。\frac{j^\mu}{c}\tag{6.3}\]重要なことを書き忘れそうになりましたが、ローレンツ条件の式(4)を見ると、これ自身がローレンツ共変(スカラーだから、ローレンツ不変というべきでしょうか)になっていることがわかります。他の座標系から見ると、ローレンツ条件が満足されないことになってしまい、ローレンツ共変形のマックスウェル方程式は得られなくなってしまいますね。座標変換しても、この条件が保たれている保証はありません。そこが、大きなポイントなんだなあと最近、気づきました。以前から参考にさせていただいてます。講義録のページにある2010年度版講義テキストです。理解を深めようとして、いろいろな本をつまみ読みしているのですが、どれもしっくりと来ていなくて、この講義録の説明が一番分かりやすいかなという気がします。両面印刷される場合には、注意点が!1ページ目の表紙だけは片面で独立に印刷して、2ページ目から両面印刷しないと、左右のマージンが逆になってしまい、ファイルに閉じたときに非常に見づらくなります。時間があれば、拝読してみたいですね。出版されている著書にも面白そうなものが多数あります。j}\tag{1.2}\]を相対論形式に書き換えていきます。これら2つの式を統合したいわけなので、(1.1)を(1.2)の形に近づけるように変形してみます。)\tag{4}\]を用いると、(3)と(1.2)は以下のようにまとめることができます。j^\mu\tag{5}\]これがポテンシャルに対して記述した相対論的なマックスウェル方程式となります。\partial_\mu\tag{6}\]と表せるので、ローレンツ変換に対して不変のスカラーとなることに注意すると、4元ポテンシャルが反変であることを仮定すれば、マックスウェル方程式は、ローレンツ共変性を示すことがわかります。いうわけで、マックスウェル方程式がすべての慣性系から同一に見えるというマイケルソン・モーリーの実験結果が相対論によってうまく説明できたわけですね!よく、こんなにうまくいくものだなあ・・・と思ってしまうのですが、きっと、もともと、こちらの形の方が自然の本質を表していて、それをスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルに分けてしまったので、複雑になってしまうということなんでしょうね。最後に、各種単位系におけるマックスウェル方程式を書いておきます。\frac{j^\mu}{c}\tag{7.3}\]次回は、ローレンツゲージに対するマックスウェル方程式を見ていこうと思います。入ります!相対論的電磁気学は、相対論的力学より分かりやすいですね。一方で、ニュートン力学はそのままでは成り立たないから、どこかで考え方を修正しなければいけないので、難しく感じますね。正しい保証はまったくありません!(それはおろか、できるかどうかも分かりませんが・・・)まずは、マックスウェル方程式の電荷と電流に関する2式。j}\tag{1.2}\](1.2)の発散を取って、(1.1)を使うと、以下の電荷保存則(連続の方程式)が出ます。0\tag{2}\]電荷保存は、マックスウェル方程式の中に内在しているんですね。なるように、マックスウェルの変位電流の項が追加されたのでしたが・・・この電荷保存則を4元形式に書き換えます。0\tag{5}\]と表せます。座標変換しても、電荷保存則は成立することになります。ローレンツ共変性を持つことになります。どの系から見ても電荷は保存しなければならないという経験的要請から、4元電流は反変ベクトルであると考えられます。特殊相対論の基本となる一般のローレンツ変換の基礎事項をまとめておきたいと思います。前には、x軸方向の特殊なローレンツ変換に関する式しか書いてませんしたので・・・と言っても、一般方向に対するローレンツ変換の具体的な式を導くのは面倒なので、やりません。抽象的な一般論的な式だけを書いておきたいと思います。まとめて、以下のように表します。)\tag{1}\]時空上の一点(世界点)をこの座標で表すわけですね。反変ベクトルであることを表しています。x^\nu\tag{3}\]と書くことにします。ここで、アインシュタインの記法を用いているので、2度以上出てくる添え字νについては和を取ることに注意。簡単のために、一致するように原点を選ぶことにします。球面となって進むことになります。z^2\tag{4}\]が等しくなるはず。x_\mu\tag{6}\]と表されます。ローレンツ変換とは、このミンコフスキー計量が保存される変換ということになります。G\tag{10}\]以前に、内積を保存する変換として求めた条件式と一致してますね。最後に、ミンコフスキー計量を使った場合の共変成分と反変成分の関係を見ておきます。(i=1,2,3)\tag{12}\]時間成分はそのままで、空間成分は符号が変わるだけです。位数剰余類体の定義3次ルンゲ・クッタ法鍵コメさんへコメントありがとうございます。titleお久しぶりです。お返事が遅くなってしまい、すみません。有用な情報をありがとうございました。最近、この系統の勉強をしていないため、すぐに頭に入りませんがdyne→いもむしさん逆関数の微分定理があるおひさです。この問題の答えがありました。定理と呼ばれています。9*Sum[10^(-n),{n,1,infinity}]=19*Integrate[10^(-x),{x,1,infinity}]≒0.39087...まだ不完全ふがいないぼくはつぶやくさんへはじめまして^^コメントありがとうございます。初めの式に出てくるハミルトニアンのベースは解析力学です。(02/26)数式が小さくて読みにくい方へのヒント当ブログでは、数式表示にMathJaxを利用しています。表示が小さすぎてお困りという方は、大きく表示する方法がありますので、こちらの記事をご参照ください。博士課程を修了して、研究を生業にしているものの、実験系のため、理論があまりにも分かっていないことに危機感を覚え、数年前に一念発起!相対論と量子論の基礎から、独学で勉強し直してます。物理好きという人生の原点を見つめ直し、いつかは、標準模型を理解したいという野望を抱きながら、さびついた頭でどこまでいけるのか、挑戦中!あくまでも、独習記なので、内容は間違ってる可能性大です。参考になさらないようお願いします!(汗)本家ブログでは、マイホーム建築日記とピアノの練習日記をつづっています。Millcreek!当ブログの2013/5/7以前の記事は、本家ブログの物理・数学関連の記事を抜粋移行したものですので、文章が不自然なところがありますが、ご了承ください。記事のコメントもそのまま残してありますが、不都合がありましたら、削除しますので、お知らせください。当ブログはリンクフリーです。最近記事のRSS最新コメントのRSS最新トラックバックのRSSリンク無断でリンクさせていただいているものを含みます。ご支障がございましたら、すぐに解除致しますので、コメントにてお知らせください。