マルチフィジックス)有限要素法では要素毎の計算がいろいろと必要になります。要素の応力から要素節点の節点力を求める、陰解法であれば要素剛性マトリックスを作成する、といった計算です。この計算では、例えばトラス要素であれば節点力は応力σに断面積AをかけてAσ、要素剛性はといった形で簡単に計算できますが、シェル要素やソリッド要素では要素の面積や体積での積分計算が必要になります。一般の4角形や6面体の複雑な形状で直接計算を行うのは大変なため、一旦、これらの形状を正方形や立方体に写像を行い、定式はその写像された形状に対して行う、といった事が行われます。した要素をアイソパラメトリック要素と呼びます。アイソパラメトリック要素では、4角形要素であれば、一旦-1から1の正方形領域に写像を行います。いう様に-1から1のξ、η平面での積分に置き換える事が出来ます。この面上での積分には通常、次に述べるGaussの数値積分が用いられます。マルチフィジックス)自由度数の2乗で演算量が増えて行く陰解法とは異なり、陽解法では自由度数に比例してしか演算量は増えないため。陽解法のモデル化では、簡略化するのでは無く、シェルやソリッドで出来るだけ忠実に形状を再現して解こう、という文化がありますが、やはりトラスやビームのような1次元の要素で簡易的にモデル化したい、という場合もあります。このため、使える材料則等、機能は限られますが、トラスやビーム要素も用意されています。トラス要素は、2節点でその長さ方向を定義する軸力だけが作用する一定断面の要素です。そのプロパティ/PROP/TRUSSで断面積を定義します。材料則では弾性(/MAT/LAW1)と弾塑性(/MAT/LAW2)のみ用いる事が出来ます。マルチフィジックス)アワグラスモードの制御の為に人為的な抵抗係数を導入するのでは無く、仮想のひずみ場を導入してこれを有限要素法のエネルギー式に取り入れることにより、アワグラスモードの発生を抑える、という手法が90年代に入って生まれてきました。Stabilization)と呼ばれるこの手法では、古典的なアワグラスコントロール(摂動型アワグラスコントロールとも呼ばれます)と異なり、アワグラス制御のために人為的な係数の導入を必要としません。文献にあります様に、元々は等方性弾性の4節点シェル要素に対して導入されましたが(QPH要素と呼ばれます)、これを弾塑性に拡張したのがRadiossのQEPH要素(4節点シェル要素)とHEPH要素(8節点ソリッド要素)です。Isolid=24を指定する事で選択できます。古典的な1点積分要素に比べ、15%程度のCPU時間の増加で効率的にアワグラスの問題を避ける事が出来ます。これらの要素は当初は等方性材料のみに適用可能でしたが、現在では異方性材料にも適用できるように拡張されています。マルチフィジックス)ビーム要素では軸力のほか曲げ、ねじり、せん断が働きます。要素の局所座標では、長さ方向がX軸ですが、Y軸を決めるために要素外の第3節点を指定します。そのプロパティ/PROP/BEAMでは、断面積および断面2次モーメントを定義します。材料則では、トラスト同様、弾性(/MAT/LAW1)と弾塑性(/MAT/LAW2)のみ用いる事が出来ます。ビーム要素ではこれとは別に、断面上に複数の積分点を設け、それぞれの位置と積分点が代表する面積を指定する事で、実際の断面形状を模擬する、積分型ビーム/PROP/INT_BEAMも用意されています。こちらのビーム要素では、降伏判定は積分点毎に行われ、それらの応力から断面力が計算されます。材料則では、弾性(/MAT/LAW1)と弾塑性(/MAT/LAW2)に加え、表形式の弾塑性(/MAT/LAW36)も用いる事が出来ます。マルチフィジックス)-1から1の範囲である関数の積分値を求めるものとして、もし、その関数が1次式であるならば、台形公式を用いるものとすればその積分値はf(-1)+f(1)で得られます(下図参照)。f(0)の値を用いるものとすれば積分値は2f(0)として、1つの点の値だけでその積分を評価できます。Gaussの数値積分は、このように特定の座標(この場合はξ=0)での関数値f(0)と重み(この場合は2)の積で数値的に積分の解を表します。関数の次数が更に上がった場合にはどうなるでしょうか。下図の様な3次関数を考えると、線と線で囲まれたおのおのの面積を比較すると、3次関数の曲線とξ軸との間の面積、即ち、定積分の値は斜めの直線が作る面積と同じになります。その面積は幅が1で高さがそれぞれとの長方形の面積の和になります。図の例に限らず一般論として、2点(と)の関数値と重み(それぞれ1)で3次関数の積分値が正確に与えられます。Gaussの数値積分では、一般にはn点の積分点での値で、2n-1次の関数の積分を正確に与える事が出来ます。Return)アルゴリズムもその一つと言えます。塑性理論によれば、降伏後の応力点はその降伏関数上に無ければいけませんが、それをきちんと計算しようとすれば収束計算が必要になります。これに対し、ラジアルリターンでは、まず、弾性として応力の増分を計算し、計算された応力が降伏条件を超えた場合には、降伏関数上への戻り量を近似的に計算して、それを差し引いて新たな応力値とするものです。収束計算を行いませんので計算時間はより少なくできますが、精度的には下がります。これが今でもデフォルトですが、より高精度な計算を行いたい、という要望から現在ではNewton-Raphson法による反復収束計算も選択できるようになっています。これはプロパティのIplas(2:ラジアルリターン、1:反復収束計算)で選択できます。マルチフィジックス)Radiossのソリッド要素は、6面体のヘキサ要素と4面体テトラ要素です。5面体のペンタ要素が必要な場合には、ヘキサ要素を縮退させて用います。ヘキサ要素では1次8節点ソリッドと、2次20節点ソリッドがあります。8節点ソリッドでは、デフォルトは古典的アワグラスコントロールの1点積分要素ですが、物理アワグラスコントロールの要素(HEPH)、完全積分要素も選択できます。これらはソリッドのプロパティで定式を指定します。テトラ要素では4節点テトラ要素と2次10節点テトラ要素を用いる事が出来ます。指定する事で、各節点に回転自由度を導入した1節点6自由度の4節点2次テトラ要素とする事も出来ます。この要素では中間節点がありませんので、通常の2次要素の様な安定限界のΔTの低下なしに、精度の向上を図る事が出来ます。ソリッドのプロパティでは、その使用目的(等方性、異方性)に応じて、以下のようなプロパティタイプが使用出来ます。ソリッドプロパティ内で指定する、主なオプションは以下の通りです。マルチフィジックス)有限要素法の定式は、エネルギー最小化に基づいて行われていますので、アワグラスモードのような0エネルギーのモードが存在すると、抑えが効かないことになり、全体の解を壊す原因となります。これに対して、まず80年代に考えられた対処法は、このアワグラスモードを抽出し、その変形に対して粘性または剛性による抵抗を与えようとするものです。これにより、アワグラスモードは0エネルギーモードでは無くなり、自由には変形できなくなります。8節点のソリッド要素を例にとると、1節点3自由度ですので合計24自由度で、各方向に8つのモードが存在します。この内訳は、1つが剛体移動、1つが伸縮変形、2つがせん断変形で、残りの4つが下図のようなアワグラスモードとなります。これらのモードに対して、更にアワグラス以外のモードと直交するように処理を行った上で抵抗を与え、アワグラスモードの発生を抑え込みます。この直交化により、アワグラスモードへの抵抗の付与が他の変形に影響を与えなくする事が出来ます。現在ではより進んだアワグラスコントロール手法も登場していますが、簡単で、なお有効な手法であることから、今でもRadiossの要素定式化のデフォルトで、粘弾性型の古典的なアワグラスコントロールが用いられています。マルチフィジックス)陽解法では、要素の応力分布から要素の節点力(内力)の計算に要素内の積分を必要としますが、これには4角形シェル要素や6面体ソリッド要素では前節で述べたGaussの数値積分が用いられます。実際の積分は応力分布に内挿関数を掛けての積分になりますので、その関数の次数からは各方向に2点の積分点数が必要で、4節点シェル要素であれば面内に2×2=4点の積分点が、6節点ソリッド要素であれば2×2×2=8点の積分点となります。integration)です。陰解法の場合、その計算で最も時間が掛かるのは全体剛性マトリックスの連立一次方程式を解く部分で、計算時間を節約するためには自由度数を減らす事がもっとも有効になります。このため、粗いメッシュでも精度が確保できるように定式は複雑でもより高精度な要素が用いられる事が普通です。これに対し陽解法では、全体剛性マトリックスを解く必要が無いため、1ステップでの計算量はずっと少なくなりますが、その中での割合を見ると、この要素の計算で全体の3割ぐらいあり、無視できません。そこで、次数低減積分を用いて、シェルでもソリッドでも1積分点での計算で済ましてしまう事ができれば、計算時間の大きな節約になります。1積分点という事になるとその位置は中央の1点のみですので、例えば、要素が下図の様に台形に変形した場合、要素が変形しているにもかかわらず、中央でのひずみは0で従って応力もエネルギーも0ということが起こり得ます。mode)と呼ばれます。マルチフィジックス)Radiossのシェル要素は4節点の4角形要素と3節点の3角形要素です。昔は、4節点シェルを縮退させて、3角形として用いる事も行われていましたが、現在では使われません。4角形要素の定式のデフォルトは、古典的なアワグラスコントロールに基づく、BT(Belytschko-Tsai)要素ですが、物理アワグラスコントロールの要素(QEPH)や2×2積分の完全積分要素(Batoz)も使用出来ます。これらはプロパティで指定します。1点積分ですが、アワグラスは無い要素です。硬めの傾向を示す要素であるため、4角形と3角形のシェル要素を混在させてモデル化を行う際は、精度を重視するのであれば3角形要素は10%以下にするのが望ましいと言われています。完全積分の3角形要素(DKT18)も使用出来ます。)に応じて、以下の様なプロパティタイプが使用出来ます。シェルプロパティ内で指定する、主なオプションは以下の通りです。0:積分点を設けず、断面力から直接計算します(デフォルト)、降伏条件には以下のIllyusin条件で行われます。1~10:板厚方向の積分点数。