ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。・クロネッカーのデルタ・テンソル|テンソルの行列表記テンソルと行列はまったく別概念ですが、2階のテンソルを行列で、1階のテンソル(ベクトル)を列ベクトルで表記して計算することがよくありますよね。そこで、この表記法をまとめてみました。我流で導出しているので、正しい保証はありません!ご注意ください^^;以下、青字がテンソル表記、赤字が行列表記、緑字が定義。P'μνこの計算法を使うと、簡単な縮約を行列で考えることも可能。A-1と計算でき、混合2階テンソルの変換則を満たすことが分かります。「内積が不変」とはどういうことかということをずっと考えていて、この意味に2通りあることに気づきました。y_m\tag{1}\]で定義します。最後の等式には、計量テンソルによる降階を使っています。y'_\mu\tag{2}\]となります。内積は、座標変換によらず不変ということになります。y'^\nu\tag{3}\]これは、一般的なテンソルの性質だから、どんな座標変換に対しても、成立します。成分が反変的に変化しますが、それに対して、計量テンソルが共変的に変化してくれるように作られていて、それぞれの変化が相殺して、内積は変化しないというわけです。まま用いても内積が変化しないという意味なんです。プライム記号が取れただけです。これだけの違いですが、ここが混乱していると、理解できないですよね。G'\tag{5}\]となっているとも言えます。-1\end{array}\right]\tag{7}\]のままで、形が変わらないということですね。「変換によって、計量(テンソル)が不変である」と言った方が分かりやすいのかなあ。いう言い方が合ってるかどうか分かりませんが・・・そして、このような内積不変性は、ミンコフスキー内積に対しては、ローレンツ変換でしか成立しないことになります。ここのところが分かったことでだいぶ理解が深まりました。一般のローレンツ変換(ローレンツ群)について、理解を深めたいと思い、あれこれ考えているうちに、興味がどんどん飛び火してしまい、n次元空間上の図形にも、表と裏があるか?という疑問がわいて、このところずっと調べてました(笑)「表と裏」という表現が正しいかどうかは分かりませんが、ここに至った経緯は次の通り。ローレンツ変換は、ミンコフスキー内積を不変にする変換だから、まずは、ユークリッド内積を不変にする変換を考えて、それとのアナロジーで理解しようと思ったわけです。満たす直交行列で表される直交変換です。回転とか鏡映とかのような変換でしょう。2次元だと、簡単に計算できて、確かに、回転変換か鏡映変換になります。行列式の値が負の場合は、図形が裏返しになる(つまり、鏡映操作が含まれる)・・・と、高校で習った記憶がありましたね。実際、どうして、そのようになるんだっけ?と思い出しながら、2次元の場合は簡単な計算で理解することができました。「ち」という図形になるといったイメージですね。3次元の場合は、「右手系」と「左手系」ということになるようです。左手の形に一致させることはできないですよね。一致させるには、必ず、鏡映変換が必要になります。3次元の場合も、行列式が負の時に、右手系と左手系が入れ換わるようです。(ちゃんとした計算はまだ追えてませんが・・・)n次元の場合でも、「右手系」と「左手系」に相当するものがあるんだろうかと調べてみたら、まだ断片的な知識しかありませんが、どうやらありそうですね。「有向体積」という概念があるらしく、n次元体積にも向きがちゃんと定義できるようです。その定義に、行列式が使用されているので、やはり、行列式の正負でその向きが入れ換わりそうな感じです。重積分の変数変換をする場合に、ヤコビ行列式として、出てきますよね。そうそう、これもちゃんと理解したかったのでした。それはそうと、この有向体積という概念、3次元の場合は、ベクトル積に結び付けられますが、ベクトル積は、行列式で表現できるんですよね。n次元の場合にも、ベクトル積は定義できるらしく、それにも行列式が使われているようでした。量子力学でも重要となってくるので、おさえておきたいなと思っているところです。アフィン幾何学とかユークリッド幾何学、ちょっと勉強してみようかな・・・って、結局ハマってるじゃないですか(笑)この記事は、にわか勉強でかなりいい加減に雰囲気で書いていますので、内容注意です。00:12計量テンソル計量テンソルについて、まとめておきます。最後の混合形については、双対基底の定義から必ず、クロネッカーのδになる。次のように、ベクトル同士の内積が計算できるようになる。Bn最後の2つは重要なので、再掲。降階というように、計量テンソルを使うと、添え字を自由に上げ下げできる。互いに逆行列の関係になっている。特殊相対論の範囲は大丈夫なんじゃないかと思っています。似たような数式だらけになってしまって、非常に見にくくなってしまったので(いつものこと・・・汗)、もう一度、僕が理解している範囲で、エッセンスだけを抜き出してみたいと思います。(あくまでも、僕の理解ですから、要注意・・・)ベクトルの成分とは、基底で展開した係数のこと。(成分2)×(基底2)+・・・つまり、基底を決めてやれば、成分が決まる。ここまではベクトルの一般的な話なので、よいとして・・・ここで、基底を別の基底に変換することを考える。成分を1/2にする必要があるであろう。成分にその逆変換を施す必要がある。成分は、基底の逆の変換を受ける。そこで、この成分をベクトルの「反変成分」と呼ぶ。次に、もともとの基底に対して、新たに、双対基底という別の基底を導入する。双対基底とは、このような条件を満足する基底。0たとえば、(双対基底1)は、(基底1)以外のすべての基底(基底2)、(基底3)・・・と直交する方向を持ち、(基底1)との内積が1になるような大きさを持つ。同様にして、(双対基底2)、(双対基底3)、・・・を順次作ることができる。基底を別の基底に変換したら、双対基底はどのように変換されるかを考える。双対基底は、基底とは逆の変換を受けることが分かる。ここで、今度は、双対基底に対して、ベクトルを展開してみる。(成分1)×(双対基底1)+(成分2)×(双対基底2)+・・・そして、基底の変換によって、この成分はどのような変換を受けるかを考えてみる。基底の変換と同じ変換を受けることになる。そこで、この成分を「共変成分」と呼ぶ。或る物理量Aを反変ベクトルにより表すか、共変ベクトルを用いて表すかは、そのときの都合で、どうでもよい。テンソルの等式、和、差、積と縮約)がよく理解できなかったからなのです。結局、共変で表しても、反変で表しても、どっちでもお好きなように・・・ってことのようなのです。変換が真逆なんだから、本当にどっちでもいいんかいな?と思って、まったく腑に落ちなかったわけなのですが、ようやく、意味が分かりました。基底で展開した成分で考えるのか、それに双対な基底で展開した成分で考えるのかの違いってことですね!どっちで考えても、もとのベクトルは同じ。双対基底も基底の一つなのだから、こちらを主たる基底と考えてしまえば、もともとの基底は、それに双対な基底になります。反変成分と呼んでいたものが共変成分になる。ことで、どっちでもよいということになります!というのが僕の理解したところ。「計量テンソル」というものを導入すると、自在にできるようです。理解したことを冷めないうちにまとめておきます。内容は主に、放送大学長の岡部洋一先生のページの「座標変換」の講義資料を参考にしています。http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html座標変換を考える。旧座標系を英文字、新座標系をギリシャ文字で表すことにする。(1)注1:基底は正規直交基底である必要はない。一般相対論のような曲線座標では局所でしか考えられないから。(3)という基底の変換則が導かれる。(4)となり、(1)と同様だから、Amは、反変成分となる。