ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。定義を代入して成り立つことを確認しておきます。以下の微分方程式の解である。e^{im\phi}\tag{2}\]この微分方程式は線形なので、係数は意味がないため、省略した。登場しないので、省略する。P(\cos\theta)\tag{3}\]となる。l(l+1)P\right]\]と計算できる。0\tag{5}\]となる。以下の微分方程式の解である。Y_{l,m-1}\tag{3}\]を用いる。Y_{lm}\tag{5}\]左辺を整理する。Y_{lm}\tag{7}\]と変形できる。Y_{lm}\tag{9}\]と整理される。Y_{lm}\tag{13}\]となる。(証明終了)なんだか、ごちゃごちゃしてますね。P_l^{m-1}(x)\tag{4}\]を用いる。左辺の微分を計算していく。e^{i(m+1)\phi}\tag{5}\]となる。e^{i(m-1)\phi}\]となる。全立体角にわたる積分において直交性を示す。時のみを考えればよい。dx\tag{3}\]と置き換えられる。