ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。(3)次に、多項式でない関数を展開してみたい。x\]なる関数を選んでみた。1\]積分範囲は[-1,1]。0\]奇関数だから、積分するとゼロ。1)\]となるようだ。P_2(x)\tag{1}\]となることが分かった。近似値を入れると、近い値にはなるようです。項は無限に含まれていくので、それらの項もすべて足しあわすことができれば、テーラー展開に一致するんでしょうか?どうやって計算したらいいか分かりませんが・・・とりあえず、実用的には、直交多項式展開の要領が分かってきた気がします。ルジャンドル多項式で遊ぶ記事は、ひょっとすると、もう少し続けるかもしれません。P_n)}\tag{2}\]と求められる。P_n)\tag{3}\]となる。x^2\]を展開してみることにする。P_0(x)\tag{4}\]となりそうである。(積分範囲は、-1から1とする。0\]から、必ず、ゼロとなる。(1)ルジャンドル多項式を直交基底として用いて、いろんな関数を展開して遊んでみたいと思っています。有界閉区間で連続な任意の関数は、多項式で一様に近似できるらしい。生成される基底は、完全系をなす。これを線形結合にして、直交化させたものがルジャンドル多項式だから、ルジャンドル多項式も完全系をなす基底となる。連続な関数は、ルジャンドル多項式で展開できるはず。低次のいくつかを書いてみよう。式の定義がちょっと違うようで、分かりにくいので、使わないことにした。以前の記事で直交性は確認している。係数がついているので、規格化はされていない。規格化されていない直交基底になっている。いくつか低次のもので確認しておこう。次は、これらの多項式で実際に関数を展開してみようと思います。(6)また、ルジャンドル多項式の続き。乗り掛かった舟なので、もう少しつっこんでみたいと思います。他の道筋もいろいろあるようです。理解が深まるかなと思っています。微分方程式からロドリグの公式を導きます。0\tag{4}\]の解である。