割り算から見た量(1)(2)をまとめて読む。子どもは(実は大人も)割り算が苦手である。その一つの理由は割り算という計算のアルゴリズム(算法・計算手順)が複雑なことにある。「たてる→かける→ひく→おろす」の繰り返しという割り算のアルゴリズムの複雑さは経験によって比較的簡単に克服できる。日本の算数教育の主流である計算ドリルによって割り算の計算だけはなんとかなるのである。実は「割り算が苦手」の真の理由は他にある。かかわらずそのことに気がついている教師は少ない。中学受験の参考書や塾では昔から割り算には等分除と包含除と、二種類のものがあるという指導をしている。これについては教師向けの教科書の指導書にはもちろん記載されている。教科書ではことさらに明文化して取り上げていないので子どもたちはそのことを明確に意識せずに小学校を卒業していく(割り算を学ぶ小学3年生・4年生にとって等分除・包含除ということばは難しい。「一人あたりをもとめる割り算」「何人分かをもとめる割り算」という表現を使えば十分理解可能であるし、さらに「一台あたり」「何台分」といった風に広げていくこともできる。後に述べるように最終的に「1あたり量」「いくら分」という形で一般化することができるはずである)。「等分除と包含除と、二種類のものがある」ということを頭で理解しただけではまだ十分ではない。現実の事象に即してこの二種類の割り算を理解しそれによって、割り算の結果として得られる量についても二種類の量が存在するのだということを理解して初めて割り算について、そして量について分かったといえるのである。ことばだけでは直観的な理解がむずかしいので、タイル図を用いて等分除と包含除について説明しよう。1のように表わされる。(2)、(3)の割り算をタイル図で示すとつぎのようになる。1(2)は一人あたりのみかんの数を求める割り算(等分除)であり、(3)は何人分のみかんがあるかを求める割り算(包含除)である。これを一般化すれば(1あたり量)×(いくら分)=(全体量)と表せる。包含除とは(全体量)を(1あたり量)で割って(いくら分)を求めることであり、狭い意味では「s個のものをm個ずつ分けると何等分できるか」という問題を解くときに使う割り算であることが分かる。タイル図を見ると(1あたり量)は縦一列にタイルを並べたもので表わされ、(いくら分)は横一列にタイルを並べたもので表わされ、全体量は縦×横で表わされていることも直観的に理解できる。factor)と呼んでいる。factor)と呼ばれる量であり、その和を単純なたし算で求めることができない*。それゆえ、一人あたりとか単価とか平均とかといった身近な1あたり量は別として、仕事率とか密度とか速度とかいった抽象的な1あたり量は子どもにとっても大人にとってもその大きさを実体として把握することが難しい量なのである。これについては「温度はたし算・引き算できないか(1)(2)」にも書いた。学力調査の結果に関連して瀬戸智子さんが「学力テスト結果から、具象と抽象について」で速度や割合のような内包量が単純にたし算できないことを書いておられる――割合も内包量であるがこれについては別の記事で扱う予定。factor)と呼ぶ。factor)と呼んでいる。上のかけ算・割り算で挙げた例では(いくら分)と(全体量)は外延量である。いう線形(一次の比例)で表わされる関係や現象がたくさんある。1あたり量・単位量については小学校5年生で小数のかけ算・割り算、6年生で分数のかけ算・割り算と関連づけて学ぶのであるが、説明が天下り式になりがちなので子どもたちはしっかりと理解できないまま公式だけを覚えて終ってしまう。して小学校の小数・分数の計算はアルゴリズムの複雑さと同時に応用問題の構造的複雑さという二つの大きな壁を乗り越えなければならないという宿命を負っている。後者の1あたり量(内包量)の構造を理解できない限り応用問題は解けないのである(似たような問題を類型化・公式化した受験参考書のテクニックを丸暗記しただけでは真の実力は身につかない)。かかわらず、小中学校の算数・数学・理科の授業では1あたり量・単位量を含めて量というものに関する指導にあまり力を入れているようには見えない。水道方式を見習って小中学校の算数・数学は量と図形という二つの柱について体系的な指導を行なうことがもっとも重要であると私はずっと感じている*。)ことを小学校の段階で指導すべきであると私は思うし、実際にそうしている。単位の中に割り算が隠れていることが見ただけで分かるからである。得られることが直観的に分かる。追記〕かけ算の順序に関して最近、ネット上を賑わしている小学校算数の文章題とかけ算の順序についての議論の中で当記事のタイル図が取り上げられて、それをもとに的外れな非難をしている方が見うけられる。当記事ではかけ算の順序については何も言及していないが、文章題の答案におけるかけ算の順序には意味があると私は考えている。子供も教師もそれぞれ自分の考えた解き方に基づいて立式するのであるから表現された式には、子供や教師それぞれが頭の中でたどった個々の問題解決過程が反映されるのは当然のことである。ある一つの問題についての解法は一つに定まったものではなく複数の考え方が存在する。ある問題に対する解法にもいろいろなものがあるのは真摯に子供に向き合っている教師ならみな承知しているはずである。したがって、自分の解き方だけが正解でありそれに従った立式だけが正しいという考えは間違っている。世の中にはそういう教師がいて自分の教えたやり方に従わない子供の考えた式に×をつける者も確かに存在する。その教師は文章題の解決に用いられた式には意味があると考えているかも知れない。「間違った」立式をした子供が表現した式にも意味があるというところまで想像力が及ばなかったのではないか。いう固定観念に縛られた教え方に対する批判は、文章題を解いた時に表現された式には意味があるということを踏まえたものでなければ的を射たものにはならない。この記事に載せたタイル図における縦に並べたタイルと横に並べたタイルにはそれぞれ意味を持たせてあることは、きちんと記事を読んだ方にはお分かりであろう。3個/人」と表現するのも自然である。4人」と表現する子供の方がかなり多いことは確かであり、教える側としては公式は一通りの表記の方が子供が混乱せずに済むという意味でありがたいことはたしかである。3個/人」もともに正しい考え方であることを説明し、それを通してかけ算の交換法則へと話を展開する教師もいるのではないか。いう教師のもとで学んだ子供なら長方形の面積の公式が「縦×横」と「横×縦」と二つ示されていても混乱することはないだろう。要は、教師には「子供の立場に立って子供の行動や思考過程を理解する」ことが求められるということではないかと私は思う。自身の経験をいえば、教えることを通して子供から沢山のことを私は学んだ。教える者はまた教えられる者でもある。マルクスのいうように「人間はたがいにつくり合」って生きている。教育という過程にも弁証法性は貫かれているのである。