以上によって、関数の外延性を認めたときのイータ変換の正当性が示される。上で述べたように、ラムダ計算は計算可能な全ての関数を表現することができる。ような算術をラムダ式の一部として用いた。計算可能であるから、もちろんラムダ計算による表現が可能である。以外にも計算可能な全ての関数の表現が可能である。ここではそれらのうちの主なものを紹介する。numerals)と呼ばれるもので、以下のように定義されている。x))以下同様である。回適用したものを返す関数である。チャーチ数は1引数関数を受け取り、1引数関数を返す高階関数である。(チャーチの提唱した元々のラムダ計算は、ラムダ式の引数が少なくとも一回は関数の本体に出現していなくてはならないことになっていた。返す関数を定義することができる。それは以下のようになる。x)また、加算は以下のように定義できる。x)または単にSUCCを用いて、以下のように定義してもよい。2つの自然数をとり1つの自然数を返す関数である。あることを確認してみるとよいだろう。乗算は以下のように定義される。m回加えることと等しい、ということを利用して作られている。短く、以下のように定義することもできる。評価されることに注意せよ[1]。いった真理値は慣習的に以下のように定義されることが多い。booleans)とよばれている。前述のチャーチ数のゼロと同じ定義であることに注意せよ)これらの真理値に対して論理記号を定義することができる。以下のようなものがある。yこれらの記号を使った計算の例を挙げる。「述語」とは、真理値を返す関数のことである。返す関数であり、以下のように定義できる。用いて定義することができる。pairs)とよばれている。対として表現することによって実現できる。「en:Church_encoding#List_encodings」も参照この節の加筆が望まれています。再帰とは自分自身を関数として使用することで、ラムダ計算では表面上は再帰操作は許されていないように見える。工夫することによってラムダ計算でも再帰を実現できる。この関数は再帰的に以下のように定義できる。0ラムダ計算では自分自身を含む関数は定義できない。返すような関数を返す。ラムダ式で定義することができる。自身はまだ再帰的ではない。して渡されている関数が、ある性質を持つ必要がある。して渡された関数に再びなる必要がある。)に展開される必要があるということだ。呼び出しは先ほどの階乗関数に展開され、再帰の段階を一段降りる計算をしている。)に展開され、再帰が続いていく。この不動点は不動点コンビネータとして知られるものによってラムダ計算で表現することが出来る。