21:10:16)追加された行はこの色です。削除された行はこの色です。nを自然数として、XSUP{n};-1の整数係数の範囲での因数分解を考える。[[等比数列の和の公式]]より、次が成り立つ。n=pqと分解すると、次のように変形することで、因数を見つけることができる。1)");であり、さらにpが奇数ならXSUP{p};+1はX+1で割り切れる。見通しをよくするために、因数にラベルを付ける。&mimetex("\phi_1(X)=X-1");から始めて&mimetex("\phi_2(X)=X+1,\phi_3(X)=X^2+X+1,\cdots");のように、XSUP{m};-1をmの小さいほうから因数分解していき、新しい因数が見つかる順に添え字の番号を付けていく。すると、次の2つの事実がわかる。#divid(s,thorem)[定理]~(1)pが素数のとき、&mimetex("\phi_p(X)=X^{p-1}+\cdots+X+1");~(2)XSUP{n};-1の分解には、nの約数dを添え字に持つ&mimetex("\phi_d(X)");が1回ずつ現れる。#divid(e,thorem)#divid(s,notice)[例]&mimetex("\phi_8(X)");を求める。1=\phi_1(X)\phi_2(X)\phi_4(X)\phi_8(X)");と分解できる。◇#divid(e,notice)#divid(s,notice)[例]&mimetex("\phi_{15}(X)");を求める。1=\phi_1(X)\phi_3(X)\phi_5(X)\phi_{15}(X)");と分解できる。\phi_5(X)=X^4+X^3+X^2+X+1");で割ればよい。1");を&mimetex("\phi_3(X)=X^2+X+1");で割ればよい。X^8-X^7+X^5-X^4+X^3^X+1");である。[#ffc52db6]#divid(s,notice)[補講]xSUP{n};-1をC係数で分解したときのzを用いる。zSUP{k};はすべてn乗すると1になるが、nより少ない回数かけて1になる可能性もある。そこで、nより少ない回数かけたのでは1にならず、n回かけて初めて1になるzSUP{k};を''[[1の原始n乗根]]''と呼ぶ。\omega^k)");を''円分多項式''という。\omega^k)");を''円分多項式(あるいは円周等分多項式)''という。~ここで、総積Πは1≦k<nなるkで、nと互いに素なものすべてに渡る積である。#divid(e,thorem)#divid(s,thorem)[定理]n次の円分多項式は&mimetex("\phi_n(X)");と一致する。#divid(e,thorem)#divid(s,notice)[補講]円分多項式は整数係数の[[既約多項式]]になり、xSUP{n};-1を整除する。◇[例]n=4のとき、1の4乗根は、1,-1,i,-iの4個である。~その中で1の原始4乗根は、i,-iの2個である。よって、&mimetex("\phi_4(X)=(X-i)(X+i)=X^2+1");である。◇#divid(e,notice)#divid(s,notice)[補講]言い換えると、円分多項式は整数係数の[[既約多項式]]になり、xSUP{n};-1を整除するということである。