独立でない=同時に何枚も投げることでコインがぶつかりあって理論的な確率がかわる)その結果の分布は二項分布と呼ばれる。23コメントより、コインがぶつかっても確率コインの持つ確率は変わらない。ぶつかったら表が出るコインなら別。独立でないコインといえば、一度目が表なら二度目も表になる。いったように、0.5の確率が影響を受けて変化するような時のこと。分布の中心(平均値)はn/2であり、標準偏差が√n/2の正規分布と近似することが知られている。感覚がつかめなかったのでこれもgifにしたたしかに正規分布と似た形をしている。#dev.off()}検定時にはこの性質を利用して、zスコア(標準化得点)を求める。今回は60回のコインを投げることを想定している。これが正規分布と近似する。予言的中区間について統計的に考えて、次に起こる現象を的中させたい。いうか的中は無理でも、高い確率で当てたい。ピンポイントな指定で当てるのではなく、この値からこの値までのを95%の確率で取るであろう。そのためには標準正規分布を使って考えよう。標準正規分布は平均をゼロ、標準偏差を1にした正規分布のことである。seq(0,100,1)curve(dnorm(x,0,1),-5,5,type="l",)標準正規分布の中の面積を考える。seq(0,100,1)curve(dnorm(x,0,1),-5,5,type="l",)abline(v=1,col="blue")abline(v=-1,col="blue")2σ区間(1.96)の区間では95%の面積を占める。次に起こる事象を95%の確率で予言したければ標準正規分布の±1.96の区間を考えればよい。3.87であり、正規分布に近似はするが、標準正規分布ではない。そこで標準正規分布に変形してやる。標準化という手法でデータは標準正規分布に変形されることが知られている。\frac{x-μ}{σ}標準化とは、データxから平均μを引き、標準偏差で割る式である。この計算をすることで、分布は標準正規分布に変形することができる。コイン60回を投げるという試行を100人に行ってもらったとする。その結果は以下のようになる。理論的な平均から少しずれた人も見受けられる。60回投げて20回~40回が表でした。いう結果は感覚的にも理解しやすいものであると思う。このデータを標準化してみる。(coin-30)/3.8par(new=T)hist(normalization_coin,xlim=c(-5,60),add=T,col="red")平均が0で標準偏差が1になった。標準偏差は間隔的に確認できないので、より詳細に確認してみる。標準化したデータの分布に、平均0標準偏差1の分布を赤色で重ねている。hist(normalization_coin)plot(res$mids,res$counts,type="l")par(new=T)curve(dnorm(x,0,1),-5,5,type="l",yaxt="n",xaxt="n",xlab="",ylab="",col="red")なんとなく正しい気もするが、雑に重なっている気がする。したら以下のような図になった人もいるのではないだろうか?もっとひどい結果になる人もいると思う。これは100人というサンプルサイズでは少なかったからである。100人というサイズでは偶然発生するばらつきがカバーできず、正規分布とうまく重ならない。100万人にやってもらったとしよう。100万人もいれば偶然発生するばらつきは打ち消され、正規分布に近似するだろう。hist(normalization_coin)plot(res$mids,res$counts,type="l")par(new=T)curve(dnorm(x,0,1),-5,5,type="l",yaxt="n",xaxt="n",xlab="",ylab="",col="red")ほぼ重なったのが確認できたと思う。何度かこのスクリプトを繰り返せばほぼ完全に重なるときもある。これは、100万人が60回のコイン投げを行ったとしても、少しくらいは平均30からズレてしまうということである。これが極限定理の対数の法則である。ばらつきは、サンプルサイズを増やすことで打ち消し、本当の平均と本当の標準偏差に近づけることができる。ちなみに中心極限定理は母平均と標本平均の誤差の話であるので、混同しないように。次は予言を的中させる方法について説明する。つぎに観測する結果をxとおく。標準正規分布では±1.96の区間に95%のデータが存在するのであった。1.96の区間を求めれば95%で起こる範囲を見つけられるということである。30この計算を見ると、標準正規分布を平均30、標準偏差3.8に変形していることがわかる。37.4「あなたが60回コインを投げると、23~37枚が表である!」と言っておけば95%は当たるのである。100%当てたければ、表が出る範囲は0~60回である!と予言しておけば100%当たる予言を言うことができる。rnorm(100,30,3.8)hist(coin,xlim=c(10,50))ヒストグラムを見てもらったら、100人のうち22~37くらいの約95人が集まっていることが分かってもらえると思う。人が22から37枚表"95%信頼区間-母集団の母数(母平均)推定この信頼区間と予言的中区間の区別がつかず、理解に苦労した。コインでいくとわかりにくいので製造の話に置き換える製造現場で鉛筆をつくっているとする鉛筆の切り出しなど、生産時のばらつきが機械によってある。この機械がつくる製品が、鉛筆の母集団にあたる。機械の精度は±0.5cmまでは許容する設計である。cmを標準偏差として置き換えたらいい。感覚的に100本中68本はこの0.5の区間に入っているとすると、0.5は95%区間である1σのばらつきと考えられる。