フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』この項目では、数学における基数について説明しています。(曖昧さ回避)」をご覧ください。この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。)(大きさ、サイズ)を測るために定義された自然数の一般化である。有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。無限集合の濃度が一つではないことはゲオルグ・カントールによって示された。基数は、集合論で活発に研究されている。含めた数学の各分野の道具としても使われる。歴史[編集]濃度は、集合論の創始者であるゲオルグ・カントールによって定式化された。濃度は、集合の一側面を比べるのに用いられる。いう集合は等しくない。3->6}という一対一の対応の存在によって確立された)3という同じ“濃度”を持っている。カントールは、一対一対応という概念を無限集合に適用することで濃度を定義した。(アレフ・ゼロ)を持つ。cardinal)と呼んだ。同じ濃度を持つということを証明した。可算無限であるということを証明した(これは有理数全体からなる集合が可算無限であることを直ちに導く)。後に代数的数全体からなる集合も可算無限であることも証明した。カントールは1874年の論文において、Nの濃度より実数全体の集合の濃度のほうが真に大きいということを示すことによって、高階の基数が存在することを示した。彼の証明は、区間縮小法を用いた複雑な論法であった。1891年の論文では、同じ事を巧妙かつ簡潔な対角線論法という方法を用いて証明した。いう記号をそれに用いた。カントールは基数の一般理論の大部分を発展させた。彼は最小の超限基数の存在を示した。いかなる基数についても、その次に大きい基数が存在することを示した。等しい、という命題である。連続体仮説は、公理系から証明もその否定も証明できないという意味で、集合論の通常の公理系(ツェルメロ・フレンケルの公理系)から独立であることが示されている。動機[編集]有限集合の要素の個数は自然数を使って数えることが出来る。自然数の個数を数える役割も「基数」と呼ばれる(対照的に順番を数える役割は序数と呼ばれる。基数詞と序数詞を参照)。通常数学では有限集合だけではなく無限集合が現れ、特に可算濃度と非可算濃度を区別することは大きな意味を持つ。このため有限集合の場合の自然数の一般化として無限集合の濃度についてもそれを表す「指標」として基数を定義したい。集合の濃度の概念は全単射をもちいて定義される。2つの集合が等しい濃度を持つとは、その集合の間に全単射が存在することをいう。間に全単射が作れる事がわかり、有限集合の濃度の指標としては自然数を採用すればいいことが分かる。無限集合の場合は、振る舞いは複雑になってくる。有限集合の真部分集合と元の集合の濃度が等しくなり得ないのに対し、無限集合の真部分集合の濃度が元の集合の濃度と等しいということが起きる(デデキント無限も参照)。カントールが示したように、無限集合の濃度には最大が存在せず、いくらでも大きな濃度を構成することが出来る。カントールは基数を濃度が等しい集合からなる同値類として素朴に定義した。(ZFCなどの標準的な集合論では)この方法では基数を集合として扱うことは出来ず、また基数からなる集合やクラスを考えることは本質的に困難である。これを回避する方法はフォン・ノイマンやデイナ・スコットによって提示された。定義[編集]基数の厳密な定義[編集](カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた)基数の最も古い定義は、集合全体からなるクラスを濃度による同値関係で割ったときの同値類としての定義である。と一対一対応のつくであるすべての集合からなるクラスとして定義される。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。