何年か前に、椅子の脚の支柱は5本であることが多い理由について考察したエントリーをアップしたことがある。ネットでちょっと検索する限りでは、同じようなことを言っている人はあまり見当たらないのだが。www.watto.nagoyaこれがきっかけで、面白そうなことに気がついた。オフィスチェアの多くは、床に垂直な支柱が、床に平行な5本の支柱に放射状に分岐し、正五角形の頂点付近のキャスターで椅子を支える構造になっている。言葉で説明するとわかりにくいので、イラストで示すとこんな感じ。左側が椅子を斜めから見たシルエット、右側が水平支柱だけを上から見た図のつもりだ。うちのブログでは、結論を先に簡潔に述べることができる場合は、できるだけそうすることを心がけている。今回も結論を先に述べる。水平支柱の中心線のトポロジーとして、次のような形状を採用する。幾何学では、多角形の頂点のような複数の点を結ぶ線分長の合計を最短とする経路を「シュタイナー木」と呼ぶ。線分が3本に分岐するとき線分の成す角がすべて120°となる場合を「フェルマー点」と呼ぶ。多角形の内部における分岐点がすべてフェルマー点である場合、頂点とフェルマー点を結ぶ形状はシュタイナー木を与えることが知られている(証明は後述)。上図はそのシュタイナー木を2つ組み合わせた形状になっている。追記:すみません、「シュタイナー木」の定義がわかりづらかったので、この段落を書き改めました。後半の「頂点とフェルマー点を結ぶ形状はシュタイナー木を与える」というのは正確でない模様ですが(「その3」参照)、結論が下せないのでとりあえずそのままにします。追記おわり水平支柱にこのような形状を採用すると、水平支柱の中心線の長さの合計で比較した場合、正五角形の中心と頂点を放射状に結んだ長さの合計を1とすると約0.928、すなわち約7.2%の短縮になるのだ。線対象すなわち鏡像を採用しても、同じ結果が得られる。数学が得意な人は、これだけの説明でも「ははぁ」と察してもらえるんじゃないかと思う。数学が得意でない人にも楽しんでもらえないかと、これから多分エントリー3回分くらいかけて、のんびりゆっくり説明したいと思う。三角関数だけは使用します。アクセサリの関数電卓で計算できる範囲です。詳しいことを早く知りたいという人がいるかも知れないので、元ネタへのリンクを貼っておきます。astamuse.comフェルマー点が最短経路を与える証明あとで必要になるので、シュタイナー木が多角形の頂点を結ぶ線分長の合計を最短にする証明を、三角形の場合のみ示す。