数値計算における丸め誤差および打切り誤差を勘案して、数学モデルとして与えられた方程式の数学的に厳密な意味での解の存在を数値計算により保証し、数値計算で得られた近似解(以下、数値解と略称する)と真の解との間の誤差のシャープな上限を数値計算することを精度保証付き数値計算という。精度保証付き数値計算は九州大学の須永教授によって1950年代の終わりに提案された区間解析がその基礎となっている日本発の技術である。区間解析では、実数は、その数を内部に含む、両端を浮動小数点数とする区間で近似される。実数の四則演算は区間演算に置き換えられて実行される(区間演算単体では浮動小数点数の四則演算の2から4倍ほどの計算量)。須永の区間演算の提案は外国で認められ、アメリカ、ドイツを中心として精度保証付き数値計算の研究は進展してきた。精度保証付き数値計算の研究の発展は欧米で進められてきたともいえよう。これらの研究は、区間演算ごとに丸めの方向の切り替えをする前提であった。この方法では丸めの制御命令が四則演算ごとで加わることにより、高速化のために高度な調整を行っている従来の数値計算用のプログラム資産が活用できなくなるという欠点があった。本研究では、区間演算を行う際に必要となるCPUの丸め方向の変更命令を、できるだけ、プログラムの外へ出す方式を開発した。通常の区間演算では演算ごとにCPUの丸めの方向が切り替えられていたが、本研究では、丸めの方向の切り替えを行列の積の演算の前後で行うことによって線形系の数値解の精度保証ができる方式を提案している。この方法では、連立一次方程式の数値解の精度保証などにおいては、区間演算ごとに丸めの方向が切り替えられていた従来方式に比べて、丸めの方向の切り替えの回数が数回というレベルに減るとともに、行列の積といったBLASの第3レベルの命令をそのまま使えるので、従来の計算機環境の中で、従来の最適化されたプログラムがそのまま使えるようになっている。これにより、精度保証付き数値計算が近似的な数値解を得るための従来の数値計算の計算時間に対して、実速度で7から8倍以内、早い場合には2倍程度で精度保証(近似解を求めることも含めての計算時間)ができることが示された。精度保証付き数値計算とは数値計算の結果得られた近似解の近くに真の解が存在することを保証し、その(局所的)一意性や真の解と数値解の誤差をシャープに評価することを目的として行われる数値計算のことである。精度保証付き数値計算とは数値計算の結果得られた近似解の近くに真の解が存在することを保証し、その(局所的)一意性や真の解と数値解の誤差をシャープに評価することを目的として行われる数値計算のことである。したがって、数値計算におけるあらゆる誤差を数学的に正しく評価して、この目的を達成する必要がある。従来は、このようなことは理想ではあるが、理論的にも現実的にも難しく、精度保証付き数値計算は実質的に不可能であると考えられていた。於ける丸めのモードを適切に制御する手法を関数解析的な摂動理論(数値解析理論)を組み合わせることにより、精度保証付き数値計算が高速に実行できること明らかにする目的で実施された。以下、その成果の概要を述べる。IEEE754の上への丸めと下への丸めのそれぞれのモードでベクトルの内積を2回実行することにより、ベクトルの内積の値を上下からシャープに評価できることを示した。これを用いて、連立一次方程式の数値解の精度保証を行うためのアルゴリズムを開発した。LU分解の事前誤差評価式を巧みに利用することで、数値解をガウスの消去法で求めるのと同じ手間でその精度保証ができることを示した。CPUで最適化BLASとLAPACKにより、数値解は2秒で求まるが、その精度保証も2秒で実行可能であることを示している。Bauer-Fike型の固有値の摂動定理を利用して、行列の固有値を高速に精度保証する手法を1の技法を応用して確立した。この手法は、多重固有値をもつ一般複素行列に適用可能で、広い応用範囲をもつ。研究成果概要:精度保証付き数値計算を従来の近似計算と比べて2倍程度の手間で行うための理論体系の構築とソフトウエア開発を行った。主な成果をまとめると以下のようになる。理論的手法として、丸めの制御精度保証方式を考案した。これは、IEEE浮動...精度保証付き数値計算を従来の近似計算と比べて2倍程度の手間で行うための理論体系の構築とソフトウエア開発を行った。主な成果をまとめると以下のようになる。理論的手法として、丸めの制御精度保証方式を考案した。これは、IEEE浮動小数点規格754に従うCPUにPortableに成立するアルゴリズム理論で、ベクトル区間演算を基礎としている。この基礎理論にもとづき、数値線形代数の諸問題に対する、高速精度保証アルゴリズムを開発した。精度保証化理論などを含む。以上の成果に基づき、精度保証ライブラリを開発した。これをSLABという精度保証付き数値計算モードをもつ数値計算ツールとしてソフトウエア化した。SLABは近似解の計算においてはMATLABと互換であるあるが、新たに精度保証モードをもち、この中で計算すると、解の存在と近似解の厳密な誤差を高速に実行する機能をもっている。SLABは現在GPLとして公開中である。