U\setminus\{0\}}R_A(x)$$が成立する。うーん、突然これは難しいですね。U\setminus\{0\}}R_A(x)\end{align}$$と表せます。最大固有値であることを主張しています。2つ目の式を眺めてみましょう。求めます、ということです。対応する固有ベクトルが”拡大率が大きいもの”として既に得られているので、それとは直交する方向が選ばれることになります。ミニマックス定理は、”最大固有値とは、(対称)行列によってもっとも大きくなるベクトルの拡大率である”、そして、”次に大きい固有値は、それまでに選ばれたベクトルとは直交するもののうち、もっとも大きくなるベクトルの拡大率である”...ということを表しているんですね。最適化にもミニマックス定理と呼ばれる別の定理が知られている(むしろそちらのほうが有名かも?)ので、それとは区別するためにこの定理を「クーランのミニマックス定理」などと呼ぶことが多いです。統計学における多変量解析では分散共分散行列という実対称行列を扱う場面があり、大きい固有値に対応する固有ベクトルは分散が大きい方向を表しているため、そのようなベクトルを主成分と呼んで解析することがあるようです。対称行列に限って考えれば、固有値と”拡大率”の間には美しい対応があることがわかりました。1\end{pmatrix}$$とします。単位円をこの行列で写すとやはり楕円が得られます。場合とは異なり固有ベクトルではないところで”拡大率”の最大化と最小化がおきています。あるにもかかわらず水色のベクトルの大きさはそれよりも超過してしまっていますね。このような対称ではない行列に対しては、上に述べたレイリーの原理は成り立ちません。次回はこういった例に対して、特異値や特異ベクトルといった概念を使ってこの楕円への変形を説明をしていきます。最新の記事わかばめサイエンスが好き。数理の力を役立たせる場面がないかと色々と画策中。最近は計算機アルゴリズムの実装に興味があります。(全て見る)常微分方程式の解の一意性が成り立たない例についてざっくりと。社会科学どうしてトナカイの鼻は「赤い」のか?【隙間リサーチ】この時期にお馴染みの『赤鼻のトナカイ』。いうわけで気になったので色々調べてみました。いえいえ、そんな事はありません。個人的に調べたものをチマチマとまとめて小出しにしようと思います。普遍性を志しつつも、受験や資格試験でも使ってもらえるものにしたい。新技術はアルツハイマー病の将来を変えるか?【隙間リサーチ】この記事は、前回に引き続き、下記のニュースを取り上げます。00:12>行列Aによる単位円の像は楕円形をしています。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。アーカイブ2020年1月2019年12月2019年11月2019年9月2019年5月2019年4月2019年3月2019年2月2019年1月2018年12月2018年9月2018年8月2018年7月2018年6月2018年5月2018年4月2018年3月2018年2月2018年1月2017年12月2017年11月2017年10月Twitterツイート。