平方根行列は存在するとは限らず、存在しても1つだけの場合や複数個の場合、無限個存在する場合がある。無数の平方根を持つ[4]。factor)[6]とも呼ぶ)。それ自身エルミート(実係数の場合は対称)ならば、これは上で述べた平方根の概念と一致する。主平方根を表すために予約される[8]ことに注意すべきである。掛けたものがその平方根のすべてであることと対応している。このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関するスペクトル論(固有値分解)や特異値分解あるいはコレスキー分解などが利用できる[10][11][12]。可換整域および可換体の場合[編集](可換)整域の各元が二つより多くの平方根を持つことはない。後者は、二つの平方根が互いに加法逆元の関係にあることを言っているのだから、すなわち一つの元の平方根は(存在すれば)符号の違いを除いて一意である。有限体においては任意の元が一意な平方根を持つ)。それ以外の任意の標数の体においては、先の段落のとおり任意の非零元が二つの平方根を持つか全く持たないかの何れかとなる。属することを言い、さもなくば平方非剰余であるという。個が非剰余である(零元はいずれのクラスにも属さないことに注意)。平方剰余元の全体は乗法に関して群を成す。この性質は代数的整数論において広く用いられる。ことと定めるならば、一般には平方根は符号を除いて一意とは限らない。