平方根は実数にはならず、2つある平方根を数の大小で区別することはできなくなる。数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある(正定値行列など)。平方根は整数とは限らない。元の数が平方数でない正の整数だと、その平方根は無理数であることが証明されている。}証明は、例えば2の平方根#無理数であることの証明を参照。{b}}}が成り立つ。{6}}}...である。概数とその求め方[編集]有理数の平方でない正の実数の平方根は、その小数部分が循環しない。その小数表示を効率的に求めるには、開平法という筆算による方法が知られている。比較的小さな数の平方根については、概数を知る必要がしばしばあることから、以下のような小数部分の数桁目までの語呂合わせが知られている。鸚鵡鳴く」と誤って覚える向きも多い。虫来ない((な)にむしこない)、「菜に虫いない」とも。0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}が成り立つ。{b}}}\end{aligned}}}が成り立つ[1]。指数法則とも整合する。)、それ自身への全単射になる。関して線対称な放物線に等しい。正の平方根函数のグラフ。これは放物線の半分になっている。積分定数)で与えられる。{1}{2}}}が成り立つ。)を用いることで、負の数の平方根を求めることができる。