「実際どうなの?」をちりつもするブログメディア。中には「サイン・コサイン・タンジェントなんていつ使うのか」と言う人もいるくらい、「数学のなんだか難しいよく分からない記号」と思われがちです。......が、実は三角関数って、日常生活にありふれている存在だったりします。プログラマーや物理学者など「現象を数式にする」人たちにはもちろんのこと、機械や人体関節のような「回転角を扱う」場合にも重要です。何より「音」を考えるならば三角関数は必須と言って良いでしょう。「音」と無縁で生活している人は、我々の中にはほとんどいませんよね。学校の数学では往々にして「数式的な定義」や「式変形」から入るので、「波」としての性質やビジュアルにまで気が付かずに挫折してしまうのかもしれません。今回の記事は「グラフから入って数式にアプローチする」という「通常と逆の手順」で学び直すことで、「三角関数への苦手意識」を緩和できるのでは、という試みです。「紙とペン」ではグラフを書くのがちょっと難しい三角関数ですが、コレを見ている皆さんなら、その問題は一発で解決します。実はGoogle検索の検索窓にはグラフ描画機能が付いているからです。今回はコレを活用します。数式はコピペできるように付記しているので、興味のある数式はコピペして、細部の数字などを自分でいじってみてください。今回は三角関数の基本公式は適宜カンニングしつつ話を進めます。うろ覚えの方は、以下のページも併読しつつお読み下さい。三角関数の定義を3通り解説します。直角三角形による定義,単位円による定義,マクローリンによる定義。それぞれの比較と応用例も。mathtrain.jp数学II「三角比」では三角形を使った1の定義で教わりますが、今回の話では単位円を用いて定義する2の定義を念頭に読んで頂く方が、直観的で分かりやすいかと思います。三角関数の加法定理に関する基本的な公式を全て整理しました。加法定理,半角,倍角,三倍角,和積,積和。その他発展的な公式も紹介。tanの加法定理」の3つを覚えておけば十分です。他は全部そこから導出できるので。この記事ではその3つの加法定理さえあれば分かるように書きます。加法定理自体の導出は煩雑なので、証明省略して使わせてください。(証明こちら)加法定理は、その導出が東大の入試問題にもなるくらいなので、先に暗記して使っている人の方が多いかと思います。(全て見る)基本的な正弦波とりあえず、まずはGoogleの検索窓にこれを放り込んでみます。xこれだけでオッケー。「,」で区切ると複数もいけます。sin(x)をn倍の速さで振動させたもの」なのが分かりますね。wave」と呼ぶことにします。2πの周期性」を持つ関数になります。sin(nx)」だけしか使わなければ常に保たれます。これは後で「音の波」を分析する時に重要になるポイントです。今回の本筋ではありませんが、余裕があったら覚えておいて下さい。これも正弦波?今度はこんな数式を考えてみましょう。x慣れないとなかなか形が想像しにくいかと思います。Googleに入れてグラフを出してみましょうグラフが混み合って見づらければ左上のアイコンで適宜スケールをいじります。何となくsinと同じ形っぽく見えますね?これを証明してみましょう。サインの加法定理の式を持ってきます。「そういう都合の良いbがあると仮定する」と、こんな式が成立します。b」について改めて考えます。b」とは、「斜め45度(ラジアン表記でπ/4)」のことですね。√2/2を代入して、1の式はこうなります。π/4)という「一つのサイン」で書けることが分かりました。正弦波と同じ形に見えたのは偶然ではありませんでしたね。x2について、このような「一つのサインの式」で書き表すことが出来ます。興味のある方は下記のページでどうぞ。三角関数の合成の意味,公式の証明,覚え方,応用などを整理しました。x)^2(※「^2」は「2乗」を表します)いきなりグラフを書く前に、ちょっとだけ図形を予想してみましょう。0」より上に収まるはず。3π...」でx軸と交わるので、2乗してもこの周期で0と接する関数になるはず。これを踏まえて、グラフを見てみましょう大体予想と合っていたでしょうか。何となくこれも正弦波に形が似ていませんか?このグラフも実は「正弦波」(の拡大と平行移動)で表せます。今度の証明は各自で試してみて下さい。=xと代入して用いることです。いわゆる「倍角公式」とも呼ばれる式ですが、加法定理だけ覚えていれば導けます。干渉を図示してみる物理では、音や光で「干渉」という現象を扱います。簡単に言えば「波が重なり合う現象」のこと。x」も一種の干渉と言えるでしょう。この項では、わかりやすくするためにコサインを使わずに話を進めます。青が干渉の結果生まれる波として描画することにします。「同じ周波数の波」の干渉を紹介しましょう。π)それから、強め合う波があります。「同じ周波数で、位相と振幅が異なる波」が生まれます。今度は「少しだけ周波数の違う波」を干渉させてみましょう。(1.1x)黄の波が赤の波よりほんのチョット(1割だけ)波長が短いです。干渉によって生まれた青のグラフがどうなっているか、よく見て下さい。見づらい黄と赤を消してみるとこんな感じ何が起こっているかお分かりでしょうか。三色グラフで、今度は拡大してみましょう青のグラフが膨らんでいる所を見ると、赤と黄が重なっています。小さくなっている所を見ると、赤と黄が上下逆の動きをしています。この項の冒頭に挙げた干渉の例では、波長はぴったり一致していたので、位相は同じ位置関係を保ったままでした。こちらのグラフでは波長が微妙にピッタリではないので、「弱め合う位相」と「強め合う位相」が交互にやってくることになります。この「交互」のペースは、波長をどれくらいずらしたかに依存します。x」の波が10回山を作るたびに最強点(最弱点)がやってくるわけです。次に、「50回ごとに強まる(弱まる)」ような波を考えてみましょう。邪魔なので今度は最初から赤と黄色を消します。(1.02x)↑近くで見るとこんな感じ↑遠くで見るとこんな感じどうしてこんな形になるのでしょうか。数式でこれを理解してみましょう。上の式と下の式を足します。すると一番右の部分が消えるんですね。1.01x)おっと、右辺にsinとcosの積が出てきました。これはどう解釈したらいいのでしょう。0.01xを2と一緒にまとめて、定数のようにみなしてみましょう。1.01xそうすると、これは「振幅付きの正弦波」の式とみなせることになります。0.01xは定数ではなく、「角運動が非常にゆっくりな正弦波」なので、「めちゃくちゃゆっくりだけど増減する係数」ということになります。xをさっきのグラフに重ねてみると一目瞭然です。(1.02x)の振幅を定める「外枠」のようになっていることがよく分かります。この赤線の「ゆったりした消長」は、音であれば「うなり」と呼ばれます。modulation)というやつもこの図と絡んでくるのですが......そっちの話に踏み込むと脱線が長いので各自調べて下さい。今やった式変形は、「サインの足し算」を「『速く変化するサイン』と『遅く変化するコサイン』の掛け算」として解釈したことになります。一般に「サイン、コサインの足し算」は「サイン、コサインの掛け算」に変換出来ます。その逆も成り立ちます。これらは、いわゆる「積和公式(和積公式)」を逆の視点から見たことになります。三角関数の積和公式の証明,導出の考え方について解説します。mathtrain.jpこれらの公式は単なる「式」ではなく、具体的に現象と対応しているわけですね。「積和“公式”」と銘打っていますが、これも加法定理を足し引きして作れる定理なので、わざわざ覚えるほどのことはありません。「加法定理からの作り方」で覚えれば十分でしょう。記事が長くなってしまったので今回は一旦ここまで。次回はこの三角関数が「音楽」にも役立つことを、実例で紹介しようと思います。三角関数の応用である「フーリエ変換」については、めるる氏が数学の「直交分解」という概念からアプローチして記事を書いています。本記事の内容が易しすぎると感じた方は是非こちらにチャレンジしてみて下さい。いうことを説明しました。2014/4/24高校数学の学び直しとして定評のあるシリーズ。会話形式で躓きやすいところがよくフォローされていたり、過程が丁寧に式で記載されているので、独学者に優しいです。2016/5/20「フーリエ解析」は音などの波を三角関数で解析する手法。こちらは、そのエッセンスだけを漫画でサクッと概観できる一冊。数式が少ないので、きちんと理解するにはやや物足りないですが、「三角関数でこんなことが出来るようになる」というイメージを持つには十分な内容です。1989/12/18高校数学をガチで理系高校生レベルまで独学するならこの一冊。「読本」と言いつつ数式に妥協は無く、章末ごとに例題も付いてます。確かな理解を得て進みたい独学者にはこれでしょう。三角関数の加法定理を一般角に対してきちんと証明します。東大でも出題された重要な問題。三角関数の加法定理に関する基本的な公式を全て整理しました。加法定理,半角,倍角,三倍角,和積,積和。その他発展的な公式も紹介。三角関数の積和公式の証明,導出の考え方について解説します。素人」を標榜しています。質問や意見は随時大歓迎なので、下のフォームからいつでもコメント下さい。二次の正方行列に対して、具体的な計算を通して特異値分解についての解説を試みます。科学者というのは意外と神話が好きなもので、科学の用語にも神話に「元ネタ」を持つものが結構あります。今回は「神話の言葉から直接派生した用語」や「神話の有名な言葉と同語源に当たる用語」を紹介していきましょう。新技術はアルツハイマー病の将来を変えるか?【隙間リサーチ】この記事は、前回に引き続き、下記のニュースを取り上げます。古くは「酒は百薬の長」などと言うことわざがあります。一方で「適度に飲むのなら逆に健康に良い」といった話も聞こえてきます。「酒が良いというのは嘘。04:58三角関数、見た目の分かりやすさとか最初の取っ付き易さはあるんですが、オイラーの公式で複素数とネピア数に置き換えた方が他の数式との扱いが統一しやすくて、結局使わなくなってしまう印象があるんですよね......。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。アーカイブ2020年1月2019年12月2019年11月2019年9月2019年5月2019年4月2019年3月2019年2月2019年1月2018年12月2018年9月2018年8月2018年7月2018年6月2018年5月2018年4月2018年3月2018年2月2018年1月2017年12月2017年11月2017年10月Twitterツイート。