自然数が1回ずつ現れる。「転倒している」と言う。最後に全て加えればいい。以外の要素の組については転倒数が変化しない。時、入れ替えにより転倒数は1減るどちらの場合も、符号は反転する。\cdots)となる。すると、行列式は次のように定義される。個の項を足し合わせた値を意味する。対して\begin{cases}f(ax)=af(x)\\f(x+y)=f(x)+f(y)\end{cases}が成り立つことと同義。行ベクトル分解として次の2つが成り立つこと。対して線形性を持つと言うことであり、この意味で「多重」と言われる。部分しかないことに注意せよ。次の順列すべてについて和を取れば、全体として現れる項は等しくなる。同時に符号は反転するはず。あるから、この行列式の値はゼロ。行列式を次数の1つ小さな行列式で表せる。