まとめスポンサーリンクラプラシアンの極座標変換の式変形を詳細に追う大学数学で偏微分を勉強すると、ラプラシアンの極座標変換を行え。いった問題が試験などで出題されることがあると思います。数検1級の問題でも出典:日本数学検定協会といった問題が出題されました。ラプラシアンといった、演算子の座標変換は慣れないうちは少し苦労します。θと変数が色々出てきて、何を何で微分すればいいのか、頭が混乱することもあるでしょう。慣れてしまえば、かなり簡単な問題であり、点数稼ぎのための良い問題になります。本記事では、2次元の極座標表示のラプラシアンを導出します。導出の際は、細かな式変形も逃さず記して、なるべくゆっくり、詳細に進めていきたいと思います。ラプラシアンの極座標変換にはベクトル解析を使う方法などありますが、今回は大学入りたての数学のレベルの人が理解できるように、地道に導出を進めていきます。問題のゴールシママ確かこの問題、大学1年生の時にやった覚えがあるけど・・・。今はもう忘れちゃったな~。そもそも、ラプラシアンを極座標で表したときの形を求めなさいと言われても、正直、答えの形がよく分からなくて困ったような気がする。ストーク要は座標変換なんだよな。高校生の時に直交座標表示された方程式を出されて、これの極方程式を求めて、概形を書いたり最大値、最小値を求めたりとかしなかったか?シママうん。ストーク極方程式の形にはもはやxとyがなくて、rとθだけの式になっているよな。rsinθを上手く使って、与えられた方程式からx,yを消していき、r,θだけの式にする作業をやったんだよな。この余計なところにあるxをどう処理しようかな~なんて悩んだ事あるな~。ストーク今回はこれと同じことをラプラシアン演算子を対象にやるんだ。シママこの直交座標のラプラシアンをr,θだけの式にするってこと?ストークそうだ。解答のイメージとしてはこんな感じだ。ストーク〇〇のなかには、rとθの式が入る。地道にx,yを消していった結果、この〇〇の中にrとθで表される項が出てくる。その項を求めていくぞ。1階偏導関数の極座標化チェイン・ルールストーク2変数関数の合成関数の微分にはチェイン・ルールという、定理がある。rsinθなので、ちゃんとx,yはr,θの関数になっている。∂/∂xの極座標化シママこの赤い四角と青い四角は何?ストーク最終目標はr,θだけの式にすることだったよな?赤や青で囲った部分というのはxの偏微分が出ているから邪魔だ。式変形してあげなければならない。シママrをxで偏微分しなきゃいけないということか・・・。rはxの関数だからもちろん偏微分可能・・・だけど、rの形のままじゃ計算できないから、rをxとyの式にしてあげないといけないわね。rsinθから、rは簡単にxとyの式にすることができるよな。ついでに、θもxとyの式にできるよな。ストークその上で、赤四角で囲った部分を計算してみるぞ。微分の基本的な計算だ。この計算の流れがちょっと理解しづらい場合は、高校数学の合成関数の微分のところを復習しよう。・・・2ストーク同様に青四角の部分もこんな感じに求められる。Tan-1θの微分は1/(1+θ2)だったな。・・・3ストークそしたら、さっきのチェイン・ルールで出てきた式1は以下のように変形される。・・・4シママあっ!xとyが完全に消えて、rとθだけの式になったね!ストークそうなんだ。いう作業を地道に続けていく。∂/∂yの極座標化ストークさっきと同じ手順で∂/∂yも極座標化するぞ。・・・5・・・6・・・75式に6、7式を代入して・・・8シママ次は簡単に計算できた!ストークまぁ、基本的にxとyが入れ替わって同じことをするだけだからな。∂2/∂x2の極座標化ストーク今回、俺らが求めなくちゃいけないのは、2階偏導関数だ。先ほど求めた1階偏導関数をもう一回偏微分する。カッコの中はさっき求めた∂/∂xで4式だ。・・・9ストーク今回、気を付けなくちゃいけないのは、カッコの中をxで偏微分する計算を行うことになる。ただの掛け算じゃなくて微分しているということを意識しないといけない。・・・10シママあ、これ合成関数の微分の形になっているのね。(fg)’=f’g+fg’の形。各項に∂/∂xを付けるわけじゃないんだ。ストークこの計算で、赤、青、緑、紫の四角で示した部分はxが入り混じってるな。xを消していくという作業をするぞ。・・・11・・・12ストーク青四角の部分だが∂/∂xが出てきているので、チェイン・ルール(1式)を使う。その時に∂r/∂xやら∂θ/∂xが出てきているが、これらは1階偏導関数を求めたときに既に計算しているよな。今回はその計算は省略するぜ・・・13・・・14ストークよし。これで∂2/∂x2を求める材料がそろったな。10式に11~14式を代入していくぞ。・・・15シママうあっ・・・ちょっと複雑になってきたね。ストーク単に赤、青、緑、紫の部分を式変形してrとθだけの式にして、代入しているだけだ。長い式だが、x,yは消え去って、r,θだけになっているのがわかるだろう?シママそうね。一応問題としてはこれでOKなのかしら?∂2/∂y2の極座標化ストークあと、∂2/∂y2を求めて足し合わせる。∂2/∂x2のときと同じ要領でやっていくぜ・・・16・・・17・・・18・・・19・・・・20・・・21シママこれで∂2/∂x2と∂2/∂y2がそろったのね!これらを足し合わせれば、終わりだね!シママ・・・でも足し合わせるのめんどくさそう・・。ストークこういう時は、偏微分演算子の種類ごとに分けて足し合わせていけばいいんじゃないか?∂2/∂x2にも∂2/∂y2にも同じ偏微分演算子があるわけだし。15式と21式を参照するぜ。・・・22シママ・・・あ、スゴイ!足し合わせたら1になったり、0になったりでかなり簡単になった!こういうの気持ちいいよね!!ストークこれで各偏微分演算子の項が分かるようになったな。これでラプラシアンの極座標表示は完了だ。・・・23まとめ今回は、ラプラシアンの極座標表示にするための式変形を詳細に解説しました。ポイントは以下の通り・高校生の時にやっていた極方程式をもとめるやり方を思い出す。・x,yを式から徹底的に追い出す。そのために、式変形を行う・偏微分とただの掛け算とを混同しないぜひ、この計算を何回かやってみて、慣れて解析学の単位を獲得してください!ラプラシアンの極座標変換を応用して、富士山の標高を求めるという問題についても解説しています。らい・ぶらり数検1級の過去問題に富士山が登場http://shimaphoto03.com/science/suuken-fuji/資料請求番号:TS38数検1級の富士山問題を検証してみた数検1級の過去問題にこのような面白い問題がありました。この問題を解くとともに、実際に富士川で撮った写真を使用して、George博士の理論について検証したいと思います。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。