正規直交基底の存在編集ツォルンの補題とグラム・シュミットの正規直交化法を用いて(あるいはもっと単純に、整列順序と超限帰納法を用いて)、「任意の」ヒルベルト空間が基底を持つこと、従って正規直交基底を持つことが示される。一つの空間のどの二つの正規直交基底も同一の濃度を持つことが示せる(このことは、大きいほうの基底が可算濃度となりうるかどうかで場合分けして、通常の有限次元ベクトル空間の場合(ベクトル空間の次元定理(英語版))の証明とほぼ同じ方法で示せる)。ヒルベルト空間が可分となるのは、それが可算正規直交基底をもつときであり、かつそのときに限る(これは選択公理を用いなくとも言える)。成す空間は、直交群と似ているが、しかし基点が決まっていないという点で異なる。直交空間が与えられたとき、その正規直交基底の標準的な選び方というものは存在しないが、正規直交基底を一つ決めれば基底と直交群との間に一対一対応が存在する。具体的に、線型写像は基底の行き先を決めれば一つに決まるから、可逆な線型変換で任意の基底を別の任意の基底に写すことができるのと全く同様に、直交変換によって任意の直交基底を別の任意の直交基底に写せることが確かめられる。直交群の等質空間となるが、しかし主等質空間ではない。k-標構に写すことができるが、そのような直交変換は一意には決まらない。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。