解答:拡大係数行列に行に対する基本変形を適用する。同じ解を持つ連立方程式を表す行列であることを表す「同値関係」(これは専門用語なので余力があれば各自調べること)を表わす。形になれば解けたことになるこの方法は、任意の大きさの連立一次方程式に適用可能。これだけではうまく行かないケースがある。基本変形による計算途中で、以下のように軸に取るべき要素がゼロになってしまう場合がある。ゼロなので掃出しができない。ここでは、他の行と入れ替えることで掃出しが行える。入れ替えようとしてもできない場合がある。要素がゼロだし、それより下にも要素がない\begin{bmatrix}1&2&-2&-3\\0&0&2&2\\0&0&3&3\end{bmatrix}その場合には、仕方がないのでその列は飛ばして、次列以降の掃き出しを続ける。r_2\\\end{array}4列目も掃き出せないのでこれで終了。あってもなくても同じであるが、ここでは確認のため明示している。.とすれば全ての式を満たす。\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}が一般解となる。†\left\{\begin{array}{l}x+2y-z+3w=-3\\x+y+z+w=1\end{array}\right.に対して、1列目、2列目を掃き出した結果は次のようになる。\begin{bmatrix}1&0&3&-1&5\\0&1&-2&2&-4\end{bmatrix}3列目、4列目はこれ以上掃き出せない。.すなわち、\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}-3\\2\\1\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\-4\\0\\0\end{bmatrix}が一般解となる。r_2\end{array}ここまででおかしな事になっているのだけれど、形式的には4列目も掃き出せてしまう。「解無し」が結論になる。本来なら、係数部分がすべてゼロで、定数部分が非ゼロの行ベクトルが現れた時点で「解無し」を結論できる。「どんな連立方程式もこの方法で必ず解ける」という事実が後で重要になる。後のためにもガウスの消去法は完璧にマスターしておくように。