基底をいう[1][2][3]。標準基底は、ベクトルの点乗積を内積としての正規直交基底である。任意の正規直交基底はこの方法で得られる。上の正規化された直交座標系を定めるのに利用できる。場合を調べれば十分である。従って任意の有限次元内積空間は正規直交基底を持つが、実際にこれを得るには任意の基底にグラム・シュミットの正規直交化法を用いればよい。函数解析学では、正規直交基底の概念を一般の(必ずしも有限次元でない)内積空間(前ヒルベルト空間)に対しても定義することができる[4]。位相的に生成するものをいう。各ベクトルが、基底に属するベクトルの無限線型結合として一意に表される。ヒルベルト基底と呼ぶこともある。この意味での正規直交基底は、無限線型結合を用いることから、一般にはベクトル空間としての基底(ハメル基底)でないことに注意すべきである。一致するとは限らない。正規直交基底を成す(標準基底)。全体を張り、基底を成す。正規直交基底となることが示せる。このことはフーリエ級数論において基本的である。その各列ベクトルから成る集合が正規直交系を成す。^{2}}b}なる形に書ける。|^{2}}と書ける。なるので、和は意味を持つ。フーリエ級数展開とも呼び、上記ノルムの表示式は普通パーセヴァルの等式として知られる。一般化されたフーリエ級数(英語版)を参照。