これらをシュミットの直交化法により直交させる。満たしていることが分かる。R^{-1}AR=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{bmatrix}の形に直交化される。2次形式とは、\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_jの形の、2次の同次多項式である。xと表せることに注意しよう。形に表せることになる。よってR^{-1}AR={}^t\!RAR=\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}のように対角化される。\end{cases}なる変数変換で、2次形式を平方完成できることが分かる。x=\lambda_1(r_{11}x_1^2+r_{12}x_1x_2+\dots)^2+\lambda_2(r_{21}x_2x_1+r_{22}x_2^2+\dots)^2+\dots+\lambda_n(r_{n1}x_nx_1+r_{n2}x_nx_2+)^2このように平方完成した右辺を「2次形式の標準形」と呼ぶ。固有値であることに注意せよ。3\end{bmatrix}により、R^{-1}AR=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{bmatrix}の形に対角化される。yなる変数変換により、標準形(与式)=y_1^2+y_2^2+4y_3^2を得る。このような2次形式を正値2次形式と呼ぶ。このような2次形式を負値2次形式と呼ぶ。係数行列の固有値を調べることにより、2次形式の正値性・負値性を判別できる。変換)は、正規直交座標系から正規直交座標系への座標変換に対応しており応用上重要な意味を持っています。直交行列(複素ベクトルの場合も含めるとユニタリ行列)で対角化可能な行列を正規行列と呼びますが、そのような行列が対角行列となるような正規直交座標系を考えるための準備として、ここでは対称行列を正規直交行列で対角化する練習をしています。21:48:03対称行列であっても、任意の固有ベクトルを並べるだけで対角化は可能ですのでその点は誤解の無いようにして下さい。対称行列では固有ベクトルだけからなる正規直交系を作れるので、そのおかげで直交行列で対角化が可能、という話の流れになっています。)二次形式の符号を求める問題です。x^2+ay^2+z^2+2xy+2ayz+2azxaは実定数です。固有ベクトルの求め方はいつ使えるのですか?sanduinjud@gmail.com下でも書きましたが、直交行列(ユニタリ行列)による対角化を行いたい場合に用います。一次独立なので、このままで問題ありません。直交行列(あるいはユニタリ行列)では各列ベクトルは正規直交系になっている必要があります。