今回、理系の心を最もくすぐったであろう問題(笑)極限、微積分に関わる良問でした。学ぶべきポイントも多く、ぜひ皆さんに練習問題として解いてほしいですね。解説していきましょう。微分しても解を持つ条件がうまくいかないでは、(1)から見ていきましょう。ある「解を持つ条件」ですが、ややこしいのは「ただ一つの」という限定があるところですね。なければ、中間値の定理で、yが負になるxの値と、yが正になるxの値を求めれば終わりなのになぁ。「ただ一つの」と言われているので、仕方なく微分して増減表を描く路線に行きます。いつものように、(左辺)-(右辺)をf(x)とおいて、微分します。x≦0の様子がいまいちわからないのです。(x≧0では、単調増加になるのがすぐにわかります。)「あれ?どうしよう、x≦0の範囲をどうやって調べればよいかわからないぞ」ということで、もう一回微分しても、中々うまくいかない。ここで困ってストップした人が多かったでしょう。工夫をしてみようそんなときは、別の工夫が必要です。そこでご紹介するのが、元々のグラフのイメージをすること。y=cosxと、y=x^2n-1のグラフをイメージします。言いつつ、本当はグラフのイメージは、どんな問題でも必ず行うことなんですけどね。微分したり、差をとったりと、ちょっとでも変形したら必ずイメージをするのが標準です。この2つのグラフをイメージする(描いてみる)とこうなります。すると、確かに解(交点)は、0≦x≦1に1つしかないだろうというのが分かります。これを利用して、解の配置条件を絞っていきます。不等式で挟もうさて、グラフを利用しながら、上手く解の存在条件を考えていきます。今回は、皆さんでも理解しやすく、発想しやすいように、cosの値域から絞ってみました。・-1≦x≦0の時は逆符号になる・0≦xの時にはf(x)が単調増加という二つを利用して、解が一つしかないことを示しています。(2)は瞬殺!!サービス問題。「cosan>cos1を示せ」とありますが、0≦x≦π/2の範囲でcosは単調減少関数ですから、an<1を示すのと同値です。これって(1)で既に示しています。これは問題というより、(3)の誘導として設定された問題でしょう。(3)良問!!よく復習しよう!では、最後の(3)。これが極限の問題として、非常に良い問題です。このように、別種の関数の交点に関して、極限を求めさせる問題は良いですね。実力差が出る問題です。見たことがないという方は、勉強不足を恥じましょう。確かに教科書傍用の問題集には載ってないかもしれませんが、模試や入試としては頻出です。慣れていれば、ちょっと手を動かしていくだけで解けると思いますので、よく復習してください。anの極限は、いつも通りの流れで簡単♪では、解説です。anの極限ですが、そのまま極限値を求めようとしても求められません。このパターンの問題で、よくある解法としては、1元々与えられている方程式に代入して、anに関する関係式を得る2不等式で閉じて、ハサミウチの原理を利用するの2STEPでしょう。今回もこの流れに漏れず、そのまま計算できます。ほら、知ってれば簡単でしょう。いつもこの流れなので、よく覚えてくださいね。先ほど作った不等号の直前の式を、両辺n乗すれば終わりだからです。cの極限では、最後にcの極限です。aの値とbの値は求められているので、そのまま代入してしまいましょう。すると、分母と分子に差の形が現れましたね。ここでビビっと反応できなければ、東大受験生としてはNG。これまた典型的な形が登場しました。「平均値の定理」や「微分の定義」を利用して極限を求める形です。厳密にいえば、分母は差の形になっていなくても、分子が差の形になっていれば、反応しなければならないパターンですね。解き方としても、スタンダードです。分母がanー1となっていますから、分子も似たような形になってほしいところ。そこで、分子がg(an)-g(1)となるような関数g(x)を探します。bnの極限を求めるところを参考に、g(x)の正体を探せば、答えはもうすぐ。微分して1を代入したら答えです。いうことで、手書きの解答をどうぞ。それにしても、先生としては教え甲斐のある一問ですねぇ。授業でぜひとも扱いたい問題。生徒としても、ぜひ習得したい問題。コメントはありません。date*日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。Reserved.このページの先頭へ。