1期生合格率100%、塾生の約45%が東大に進学する塾)立ち上げ初年度から、東大合格者を輩出。)まずはいつも通り問題をどうぞ。東大理系では昔から空間図形が頻出だと言われています。物凄い難問が含まれます。(一方で、易しい問題もありますが。)その点で、この問題は実に東大らしい問題だと思いますね。・空間図形ばかりでなく、別単元の考えも用いるなどなど、よく練られた問題だと思いました。入試で出題されたら、得点し辛いような気もしますが、これからの受験生にとって練習問題として非常におススメ。解いていない方は、ぜひチャレンジしてみて下さい。(1)切断=次元下がる、移動=次元上がるでは(1)から見ていこうと思いますが、(1)は図形が共通する条件。実は、この問題が一番重たかったりします。空間図形の超重要な定石の手段として「切断して平面図形にする」というのがありますが、ここでも非常に効果的です。ちなみに、座標を一つ固定するとか、z=tの平面で考えるとか、全て切断してるのと同じです。空間図形を切断すると平面図形になりますから、グッと解きやすくなるということです。ちなみに、切断すると次元が一つ下がり、移動すると次元が上がります。言い換えれば、切断は次元を一つ下げる行為で、移動は次元を一つ上げる行為なのです。この問題は、球が移動しているので4次元になるかと思いきや、4時限目の時間は固定されている(別に時間の前後を意識しなくて良い)ので、結局3次元の問題です。xyzどこの軸で切断する?次にどの軸で切断するかの判断なのですが、皆さんは何を基準に判断してますか?今回はV1とV3の共通部分の体積を求めるのですが、ポイントはどの軸に対して動いているか、を考えること。V1とV3の移動に関係ないy軸方向で切断するのが良いyのです。y軸で切断するということで、y=tを代入してみると、その切断面が円になります。球を切断したら、必ず円になりますから。最終的に求めるのはV1とV3の共通部分ですが、いきなりでは難しいので別々に書いて考えるのも良いでしょう。空間図形は紙に図示するのが難しいからと言って、頭の中で空間図形をイメージして取り組む人が多いですが、紙に描いた方が圧倒的に解きやすくなります。いうか、空間図形の問題の解答力は、紙に書く力とかなり相関があるような気がしますね。半径で場合分けさて、y=tの切断面には円が二つ登場するわけですが、同一平面上に書こうとすると半径の大きさが気になるはず。そこで、半径を場合分けして図を描けば、(1)が解けます。手書きの解答をどうぞ。(2)円が図形を含む条件=中心から遠いところを探す(2)は、(1)の延長の問題です。今度はV2が登場しますので、先ほどの図にV2を書き込もうとすれば、方針が立ちます。V2が、V1かつV3を含むということで、先ほどの共通部分の中で、中心から最も遠い場所を探せば答えが出ます。円は中心からの距離が等しい点の集合ですから、図形的な処理をする場合、中心からの距離を考えるのがセオリーです。常に+不等式=最大最小問題さて、ここでは2次不等式が出ますが、2次不等式が常に成り立つ条件ですね。これは最大最小問題にすり替えて解きます。「クラス全員が赤点ではない」条件は、「クラスの最低点が赤点ではない」と言い換えられます。これと同じで、「f(x)≧0が常に成り立つ」条件は、「f(x)の最小値≧0」と同値なのです。この言い換えは、かなり使えます。頻出ですので、ぜひ知っておきましょう。(1)よりは解きやすいような気がしますが、突然の2次不等式に驚かないように。次に(3)ですが、結論から言うとド・モルガンの法則を使います。この発想が中々出ない方も多いのではないでしょうか?空間図形と絡める問題は非常に珍しいですので、個人的にはとても興味深いと思いました。どこから連想するかと言えば、やはりSとTの定義からでしょうか。SはV1の体積で、TはV1かつV2の体積ですが、これだけで全体の体積を求めるということは、V2の体積とかV3の体積、それらの共通部分など、難しいところもSとTを使って求められるはず。この辺りから、集合を発想するのでしょうね。難しいなぁでは、手書きの解答です。(4)計算のみ!最後の(4)ですが、(3)まで解けてしまったら、(4)はもらったようなものでしょう。SとTを求めれば答えが出ます。興奮して手が止まらないのではないでしょうか?Sは簡単に求められます。TはV1とV2の共通部分ですが、これも慣れていれば簡単。言っても、Tを求めるだけでもそこそこ難しい問題なんですけどね。(1)と同じように、切断してから図を描けば解けるでしょう。最後に計算をして終わり。計算ミスが誘発されそうな雰囲気ですので、ご注意を。まとめさて、さいごに一言ですが、ここまで読んできて(1)や(2)が解けなくても、(3)と(4)が解けるのに気づいたでしょうか?東大は、小問構成の場合が多く、それらが誘導問題になっています。(1)が解けなくても(2)が解ける場合も見受けられます。いつも言っていますが、ペンを持つ前に問題文を最後まで読むこと!(1)から取り組んで0点だった人も、(3)と(4)で10点くらいもらえるかもしれません。(特に(4)のSを求めるところなら、カンタン!)こういう、作戦面も含めて練習に良い問題でした。1期生合格率100%、塾生の約45%が東大に進学する塾)立ち上げ初年度から、東大合格者を輩出。コメントはありません。date*日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。Reserved.このページの先頭へ。