†ある位置に局在する、特定の運動量を持つ「波」があるとしたら、それはどのようなものだろうか。持つ波動関数となる(波動関数が幅を持たなければ波数を定義できないことに注意せよ)。このような局在した波動関数を「波束」と呼ぶ。して波束を作り、その運動を考えよう。(下のグラフ紫色)を掛けて「波束」(下のグラフ青色)にする。正規化されたガウス関数になるよう係数を設定した。ついては「実部」をプロットした。軸に対してプロットしたもの。奥行きが実軸、上下が虚軸になっている。大きくなり、また遠ざかると小さくなる。その間、位相は一定速度で回転するためこのような渦を巻くようなグラフになる。様々な波数を持つ平面波の重ね合わせとして表せる。得られる確率は係数の絶対値の二乗で与えられる。成分を含んでしまったことになる。この関数に対して、\sigma_{x}\cdot\sigma_{p}=\sigma_{x}\cdot\hbar\sigma_{k}=\hbar/2が成立し、この波束が不確定性原理で与えられる最小値を与えることが分かる。このような波束は「最小波束」と呼ばれる。軸上でのピーク幅が反比例の関係を持つという意味である。空間的に狭い範囲に局在した波束ほど、幅広い範囲の波数の重ね合わせになる。異なる波数を持つ平面波の重ね合わせで波束が作れることを理解しよう。3つの異なる波長を持つ正弦波のうなり(・・・)により波にくびれが生じる。付近を除いて振幅が小さくなる様子が分かる。整数倍の点ではそのすべてが強め合うが、そこから離れるに従って互いに打消し合うためである。連続的に変えながら加えればピークは原点以外に現れなくなる。してできたのが上記の波束である。関係を与えるのであった。k^2t/2m}のように回転する。\xi=\frac{\hbar}{2m\sigma_{x0}^2}。進みながら、徐々に幅が広がり、高さがつぶれていく。せまいほど速く広がることも注目に値する。後縁部に比べて前縁部の波数が大きい(波長が短い)ことである。v_\phi=\omega_k/kと表せる。k}{2m}となって、自由空間の平面波は「波数の大きなものほど早く進む」。これが波束の形状が変化する理由である。上で見たように波束は「異なる波数を持つ平面波の重ね合わせ」で構成される。前縁部がより大きな波数を持つ、幅の広がった波束に変化したのである。初期状態で鋭いパルスほど、速やかに幅が広がる。このように、異なる波数成分が異なる速度を持つ状況を「分散がある」という。逆に異なる波数成分がすべて同じ速度を持つ場合を「分散がない」という。*2プリズムに白色光を入射すると波長ごとに異なる角度で屈折し「分散」する。これは波長により屈折率、すなわちプリズム中での光速が異なることによる。関係を「分散関係」と呼ぶ理由がここにある。持つ波束の速度は位相速度とは異なり、群速度*3波束は異なる波長を持つ波の一群と見なせることを上で見た。その波の一群が全体として持つ速度が群速度である。k}{m}=\frac{p_k}{m}となる。結果が上記の計算と一致することを確認せよ)自由な粒子に対しては群速度が位相速度の2倍となるのである。k}=v_\phiとなり位相速度と群速度とは一致する。このとき、波束の概形が崩れないだけでなく、波束中の搬送波の位相も時間に対して変化しない。波束は時間と共に形が崩れる。パルス幅は物質中で徐々に広がることが知られている。それぞれの波の位相速度のほぼ2倍の速度の群速度で移動する様子をアニメーションにした。)一次元の箱に入った電子を考えます。最初、箱の左半分に波束として存在していたとします(初期条件)。この電子はその後どのように変化するのでしょうか。この問題はどのようにすれば解くことができるのでしょうか。)自由な波束の運動の項目の「この成分の位相は・・・」から始まるψk(x,t)についての最後の式で二つ目のexpの指数の分母でhが抜けているかもしれません。(hは換算プランク定数です)ご指摘ありがとうございます。間違っていた部分を修正いたしました。)自由な波束の運動の項目の標準偏差求めるところでξ代入するとき2乗が抜けてるかもしれませんご指摘ありがとうございます。間違っていた部分を修正いたしました。プリズムに白色光を入射すると波長ごとに異なる角度で屈折し「分散」する。これは波長により屈折率、すなわちプリズム中での光速が異なることによる。関係を「分散関係」と呼ぶ理由がここにある。波束は異なる波長を持つ波の一群と見なせることを上で見た。その波の一群が全体として持つ速度が群速度である。