立ち上げ初年度から、東大合格者を輩出。理系第4問では、今日は理系第4問です。(1)は東大らしく、ユークリッドの互除法(1)から早速、東大らしさが全開の問題です。大好物の「最大公約数」の問題。「ユークリッドの互除法」を使います。「当然」と書きましたが、「え?そうなの?」という人のために少し書いておくと、新課程になり「ユークリッドの互除法」が指導範囲内になった瞬間から、東大では超頻出問題になりました。過去問を参照すればわかります。キーワード「最大公約数」から連想しようまた、「最大公約数」というのも、超キーワード。最大公約数に関連する問題は、主に2パターンしかありません。一つ目は「ユークリッドの互除法」を利用するパターン。一つは、最大公約数をg、最小公倍数をlを置き、4式1条件を作るパターンです。(条件1)という、4式と1条件です。これを色々いじって求めるパターンもあります。東大で「最大公約数」が登場したら、まず「ユークリッドの互除法」を疑ってよいでしょう。それくらい偏って頻出です。(1)は瞬殺!では、(1)に互除法を利用してみましょう。すると、簡単にn^2+1と、4の最大公約数を考えればよいことが分かります。4には約数が1と2と4しかないので、ここで3択です。素因数が2だけですから、2の剰余類で場合分けするのも自然な発想。いうことで、偶数(2の倍数)と奇数(2の倍数でない)で場合分けをすると答えです。自然な流れで答えが出ました。次は(2)さっき、最大公約数を求めた2数が、掛け算されていますね。全体が整数の2乗にならないことを示せというもの。ここで登場した、「整数の2乗で表せる数」のことを「平方数」と言います。2つの数の積が平方数になためには、どのような条件が必要でしょうか。教科書や、参考書ではあまり類題を見たことがないでしょうから、受験生にとっては難しかったと思います。補題「互いに素なxとyについて、xyが平方数⇔xとyがともに平方数」という性質を使って解説しようと思います。偶数の場合(1)の結論として、偶数と奇数で場合分けをしたので、(2)でも場合分けをしましょう。(誘導に乗ります)nが偶数の場合、命題1により2数はともに平方数となりますから、n^2+1も、5n^2+9も平方数となるはずです。n^2+1は絶対に平方数になりません。手書きの解答では、ちょっと「ウマイ」方法で解説を書きました。これなら、2行くらいで証明できるので簡単です。「ヒラメキ」に頼った解法に見えてしまうかもしれないので、もう一つご紹介します。n^2+1=k^2(kは整数)とおいて、kが存在しないことを示す、という方針でも良いと思います。1というのは、1×1か、(-1)×(-1)しか、積の候補がありません。nーk(小さい数)と、n+k(大きい数)の積が1になることはありません。よって、このようなkは存在せず、n^2+1は平方数でないことが示せます。最大公約数だから、4式1条件を作ろうでは、難しそうな奇数の場合。言っても、実は基礎の積み重ねで解くことができます。先ほども書いた通り最大公約数と言われたら、1ユークリッドの互除法24式1条件を作るという2方針しかありません。ユークリッドの互除法は先ほど使ってしまったので、今度は4式1条件を作るのです。(手書きの解答では、結果として不要なので2式1条件しか載せていませんが、実際に解答を作る上では立てた方が良いです。)ここまでは定石の手段。そこで、2数の積を取ってみると、結局MとNがともに平方数でなければならなくなります。ここまでは、何も不思議なことは起こっていません。最大公約数と言われたから、最大公約数の条件式を立てただけです。発想力(難)5の剰余類で矛盾を示すここからは、解答が分岐するところ。正直なことを言えば、理Iや理IIであれば、これ以降は解けなくても良い気がしますが、解説は書きます。この時点で式をゴチャゴチャいじて、色々試すのでしょう。その中には、5n^2+9=2Nにn=2m-1を代入した式も登場すると思いますが、ここに注目してみました。すると、Nの右辺に係数の10が登場します。これに注目して、5を法とする合同式を取ってみると、Nが平方数でないことが証明できます。発想が難しいので、(2)の前半までしっかり解答を描ければOKでしょう。今回の数学の問題の中では、難しい問題になるのではないかと思います。それは満点を取る前提での話で、20点中10点を取るのは非常に簡単な問題。立ち上げ初年度から、東大合格者を輩出。コメントはありません。date*日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。Reserved.このページの先頭へ。