して次のものが与えられたとして、以下の問いに答えよ。核の基底を1組定め、核の次元を答えよ。求めた基底のベクトルと重なるベクトルをそれぞれ1つずつ求めよ。基底となることを確認せよ。行列の階数を求めるにはガウスの消去法(掃出し法)を適用して階段行列化した際の非ゼロな行数を数えれば良いのであった。\mathrm{rank}\,A=21年生では習っていない場合もあるかもしれないが、実は階数を求めるには行ではなく列方向に掃き出してゼロでない列数を数えてもよい(同じ値になる)ことを証明できる。ここでも念のため等しい値になることを確かめておく。\end{pmatrix}確かに非ゼロ列は2列になる。列ベクトルに含まれる一次独立なベクトルの本数に等しい。\end{pmatrix}を解けば良い。+t\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\1\end{pmatrix}この2つのベクトルは核を張り、しかも1次独立であるため、核の基底となる。\Bigg\}核の次元は基底を構成するベクトルの数であるから、\mathrm{dim}\,\big(\mathrm{Ker}\,f\big)=2上記より、以下のように次元定理を理解できる。\Bigg\}が像の基底となる。0よりこの行列は正則。w'\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}となる。(元の空間の次元)=(核の次元)+(像の次元)が成り立つことを再度理解せよ。