以下のように定義される。区別して考える必要がある。近い値が得られることが期待される。正しい推定値は以下の形で与えられる。式11から真値を、式14から確率分布の標準偏差を推定する事ができた。近い値であることが期待される。測定回数を増やしても誤差をゼロにする事はできない。x}^\ast}^2}\right\}の形に近づく。縦横に引き延ばしたり縮めたりずらしたりしただけのものなので恐れないように)。期待値も同じ値となる。n}\sigma_x^\astと表せる。できると覚えると良い。x)^2}と推定でき、測定結果を式3にならって次のように書ける。用いて表すとき、これを標準誤差と呼ぶ。T=2.728(1)\,\mathrm{[s]}という表し方もよく用いられる。†ここまで「誤差の推定値」という言葉を正確に定義せずに用いてきた。正規分布では期待値からどんなにかけ離れた値を取る確率もゼロではない。運が悪ければ極端に真値からかけ離れた値が得られることもある。「誤差の最大値」は存在しない。一方で、測定値の周りにある幅を持った領域を取れば、真値がその範囲に入る確率を予想する事ができる。確率で、実際の誤差はこれより大きくなる。範囲を考えれば、測定点が範囲に入る確率が高くなる。入る確率はそれぞれ約95.5%、約99.7%の確率である。このように、測定データに付けられた誤差範囲は、必ずその範囲に真の値があると主張するものではない。統計的に誤差の大きさを評価した物である事を覚えておく必要がある。推定値でしかないことなどを考慮する必要がある。詳しくは別途、区間推定や検定に関して学んで欲しい。長さや時間のように、直接測定できる物理量を直接測定量という。対して、直接測定量の関数として求められる量を間接測定量という。上の例では、振り子の長さ、重さ、10周期などが直接測定量であり、それらの値を使って計算で求める重力加速度や1周期が間接測定量である。後述の誤差伝播(でんぱ)の考え方を用いると、間接測定量の精度について検討することができる。ここでは、振り子の周期の誤差が重力加速度の測定精度にどの程度影響を与えるかを検討してみる。g=4\pi^2LT^{-2}と書ける。このとき、誤差伝播の式(付録の式E.4)から、最大誤差を次の形で書ける。どの程度の精度が必要であろうか。小さくする必要がある。この条件は、それぞれ以下の制限を与える。して計算する必要がある。程度の精度で測定しなければならない。あるから、上記の精度を満足している。なり、精度が足りない。測定で得られた数値は誤差を伴っているから、値をノートに書き留める際や、その値を用いて計算を行う場合には有効数字に注意を払う必要がある。加減算の場合は絶対誤差が問題になる。(マイクロメーターで計測)の物体を立てた時の合計の高さを求める場合を考える。表示されていない下位桁(小数点以下第2、第3位)は、ゼロが入っているのではなく、その桁の値は分からないのであるから、左側の様に計算しても意味がない。そこで、右側に示したように他の数値を四捨五入した上で小数点以下2桁まで取って計算を行い、最後に四捨五入して最も精度の低い値に合わせて小数点以下1桁にするのが正しい計算方法である。加減算では計算の前後で有効桁数が変化しうる。有効桁数は4から5へ増加する。有効桁数は4から2へ激減する。後者のように、絶対値のほとんど等しい2つの数値の加減算により、有効桁数が減少してしまうことを桁(けた)落(お)ちと呼ぶ。複雑な数値計算を行う際には、計算順序を工夫するなど桁落ちによる精度の低下を防ぐ手立てを講じなければならない場面が多く存在し、長年の研究によりノウハウが蓄積されている。数値計算で行列演算を行う場合には、線形代数の教科書にあるような手順をそのままプログラムにしたのでは桁落ちのために誤差の大きな結果が得られてしまう危険がある。実績のある数値演算ライブラリを、その特性を理解した上で用いることが必要となる。乗除算の場合は、次の誤差の伝播で詳しく述べるように、各測定値に対する測定精度の割合、つまり、相対誤差が問題になる。有効桁数は相対誤差の概算値を与えるため、簡単には最も小さな有効桁数に合わせて計算結果を四捨五入することで、正しい取り扱いができる。数値の有効数字はそれぞれ、6桁、4桁、5桁、3桁である(小数点以下の桁数と混同しないこと)。この場合、最も小さい有効数字は3桁であるから、有効数字が3桁より大きい数値については四捨五入して3桁より1桁多い4桁にして計算を行い、最後に四捨五入して有効数字3桁の密度を得る。