数学p進数の絶対値や距離が「非アルキメデス的」とよく言われます。これって何のことなのでしょうか。数学0でない任意の整数(実際には有理数でも成り立つ)xについて、xの絶対値とxの全てのp進絶対値(pはすべての素数にわたる)を掛け合わすと1になる、という美しい式が成り立ちます。p進距離と級数の収束の続き数学あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。前回の記事で、等比級数の無限和の公式が、比が素数の場合にもp進距離に基づく収束で成り立つことが数値計算で実感できました。証明はどのようにすれば良いのでしょうか。絶対値が定義できると、差の絶対値として距離を定義できます。その事情はp進の世界でも同じです。2つの有理数の差がpでよく割り切れれば、つまり差のp進絶対値が小さければ、この2つの数を「近い」とみなします。padicsパッケージ数学p進数、p進附値、p進絶対値、p進L関数、、、など数論の世界には実数とは違ったp進の世界があり、その数の理論を使って数学の様々な定理が証明されている、と書物には書いてあります。munetakaさんから頂いたコメントの中である5次方程式を解いてみてほしいとのご依頼がありました。やってみたところサクッと解けたので記事してみます。GaloisGroupSolverをGithubに公開しました数学3連休の間に1日かけてGithubにレポジトリを作り、関連するファイルをアップロードして公開しました。パッケージのダウンロード方法ですが、ここからダウンロードできます。数学ガロア群を使って多項式の根を求める計算をまとめると、与えられた多項式のガロア群が可解群の場合、ガロア群の縮小に対応して係数体を冪根拡大させることが出来ます。その際にVの最小多項式を拡大体で因数分解することできます。5次方程式を高速に解く。6次方程式も解けた!数学2引数のfactor()関数を使って各解を原子元Vで表す計算を行うgal_sol_V4()を組み込んだパッケージを作成しました。こちらからダウンロードできます。解くことができました。5次方程式を高速に解く。可解な多項式の根を求めるプログラムを提示してきましたが、このプログラムでの5次方程式の解の計算の計算時間的なボトルネックは、原子元Vで多項式の根を表す部分にありました。多項式のガロア群を、多項式を解くことなく求めたい、ということに端を発して、最終的には、次数には関係なく可解な多項式を解くプログラムを完成するところまで、辿り着くことができました(実際には5次方程式までしか解けていませんが)。続きを書くつもりだったのですが、少しだけ予定を変更して、SolveSolvable()関数での5次多項式のサポート状況を書きます。例題としては\(x^5-5\,x+12\)を使います。可解な方程式を冪根で解く-5次方程式に向けて-数学5次方程式をこのアルゴリズムで解く試みを始めています。-4次以下の多項式の根を求める汎用プログラムのリリース-数学2次以上4次以下の1変数多項式の根を求める汎用プログラムをリリースします。このプログラムは4つのファイルから構成されています。SolveSolvable2.macこのファイルを読み込むと、他の3つのファイルも読み込みます。-4次までの多項式用の汎用プログラムの実行例-数学ようやく、かなりマシなバージョンを作ることができたので、一度リリースすることにしました。今回はどんな感じで実行できるのか、お見せします。今回リリースするプログラムは4次までの多項式の根を方程式のガロア理論に従って計算します。\)の根を求めるための全ての準備が終わりました。4つの解はVの多項式solV[1](V)〜solV[4](V)としては求まっていました。今回、第3ステップと第4ステップを実行し、Vの最小多項式の最小分解体まで拡大します。体の拡大とはリストCに冪根(と1の冪根)を付け加えることでした。文献3の12「体の拡大とg(x)の次数低減」まで来ました。ここで、群の縮小、体の拡大、拡大体の原始元の最小多項式を求めることは、計算上は何を意味するのでしょうか。f(x)の分解体に属する元の表記と積・商の計算"の記載の意味を考えてみました。既約多項式による剰余環と拡大体の同型について復習しましょう。ガロア群に対して、正規部分群を計算し、それを繰り返して組成列を計算します。その準備として有限群をデータ構造(defstruct)として定義します。ここからGG6.macをダウンロードすることが出来ます。例題の多項式を変数p1に代入します。流れに従い、方程式を冪根で解く計算をMaximaで示していきます。これから数回にわたり、可解な多項式を冪根で解くアルゴリズムのMaximaでの実装について紹介します。C^{\times}\)を定義しました。一般的には有限群の上で指標を定義できます。群論では、抽象的な群の要素を群の演算を保つように数字(複素数)に写像することがあり、この写像を指標と呼びます。今度は、4n+1型素数を二つの平方数の和に分割するのに、互除法を使ってみます。お持ちの方はp281に記載されている定理13.10をご覧になってください。最近この本を買って読んでいました。使って、数学を楽しみましょう。Androidのサポート」などの記事を書いていきます。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。