(234)前のコメントを読み込むためにはJavaScriptを有効にしてください。10:15明治の近代化でお払い箱にされた幕府や藩のお抱え儒学者たちって、その後どこに行ったと思う?漢文の先生になって、子供相手に国語を教えてたんだよ。純粋数学の「超準解析」だって、国の科研費を圧迫するようなことせずに、高校数学の微分積分の教育手法にでもなれよ。研究なんかいらないから、次の世代の教育の礎になれ。10:27A={x|0<x}とする。<aとなりaがAの最小値であることに矛盾。したがって、0よし大きな実数の最小値は存在しない。12:16矛盾するから無いじゃないんだよ、探せよ、見つけろよ。数学者は、何のために、数学やってるんだ。人の業績を振りかざして、ドヤしてんじゃないよ。人が出来ないことをやれよ。12:26具体的な数が定義したいなら、そんな数が存在しうるような公理系でも構築してくれ。別に他の公理系を考えたらダメなんてルールはないんだし。12:52中途半端に知識を得るとこうなる典型的なパターンだね。13:53現実世界ではとりあえずクォークって最小単位があるから存在する。すくなくとも無限に分割はできない。数学の世界には存在しないぞ。14:43※148数学でも剰余環のようなやり方で新しい「数」を含む環を作ることがあるし、その際新しい数は言ってみれば「それまでは観測できなかった数」といえる。内部対称性は物理でも数学でも扱うから「観測」という語は数学でも使わないわけではない(代数学の一部以外で余り使わないだけ)。実数に対する虚数のようなもの。実数の世界までしか知らない人には虚数は「観測できない」。その観測出来ない数を認めないと例えば2次方程式の解の公式は欠陥モノになってしまうから「観測できない」けども実数でないその数の存在を認めなければならない。実数云々は言葉同様ただの概念でしかないからね。15:01>>1のこういう自発的な疑問こそ、数学に対する素直で真摯な姿勢だと思うわ。数学をかじっている者として、>>1のような疑問を持つ教え子を持ちたいものだ。18:15この手の話題はねぇ...。不毛なやり取りな気がするんだよなぁ。数学って難しいから、知ってる人が頑張って教えようとしても、テキストも時間もない中で門外漢に「厳密に」理解させるのは無理。みたいな数学的な思考様式を理解していない人に対して何を話しても伝わるはずがない。18:23もちろん、だから知らない人が馬鹿だと言いたいわけじゃないけど。数学の歴史の中で、数学がここまで厳密で論理性を重んじるようになったのはここ100年くらいの話だし。ニュートンやライプニッツが把握していた実数概念は現代的な実数概念とは大きく異なるものだろうし。数直線みたいな素朴な数学概念と切断や完備性みたいな現代的な数学概念のズレがこういうスレッドでの対立の原因なんだろうな。I』あたりを読めば現代数学の独特な思考様式が分かるはず。それから、ちょっと聞きかじった程度の人や、数学科の人でも成績の良くない人は、知ったかで適当なこと言わない方がいいと思いますよ。知らないことを誤魔化せないのが数学です。ガチ勢に読まれたら、鼻で笑われます。18:59ひとつ補足。※129や※146の発言が頓珍漢だと言ったけれど、それはあくまで「数学的な議論や理解をするうえで」という話であって、こういう視点が完全におかしいとは実は言い切れないとも思う。「実数に関する数学的議論をするためには実数の定義をする必要がある。「なぜ実数をそのように定義して構わないのか?」という問いなんじゃないだろうか。私たちは集合論を知るはるか昔から、実数を素朴に捉えていたわけだし、現代数学なんて知らなくても数的処理能力や数的認知能力を有している。いう素朴な実数概念と有理数体の完備化を同一視していいのか?つまり、「素朴な実数概念と現代数学的な実数概念はどんな関係にあるのか?」という問いを無視して、数学屋さんは現代数学的な実数を単に実数と呼んでいるわけだ。19:08数学者的にはそれで構わないし、「なんでそう定義しているんですか?」と聞かれれば、「そう定義すると便利だし問題が起こらないから、適切な定式化に思える」としか言いようがないと思う。「素朴な実数概念っぽいもの」で現代的な実数概念とは異なるものが出てきたら、別の名前を付けて新しい数学概念として定義してあげればいいだけだし、数学的にはこれで何の問題もない。少なくとも、こういう議論は数学の範疇ではない。それは哲学屋さんか認知科学屋さん(の一部)がする仕事。いうスレッドに居る人は、本当はこういうことが気になっているのかもしれない。それは数学的な議論ではないし、現代数学を知らないで数学を論じるのは馬鹿らしいと思うけれど、こういう問いも哲学的レベルでは全く無意味なものではないと思う。19:19数学の教科書なんかをよくよく読んでほしい「限りなく近づく」という表現はあっても「限りなく近い」という表現は無い。「○○に限りなく近い数」というものは無いから。0.9999...は「1に限りなく近い数」ではなく「1そのもの」1をイチと書いたりoneと書いたりするように、0.999...という表現もある、というだけ「近いから同じにしましょう」とかじゃなくて、完全に同じもの。19:23まぁとにかく、こういうことを論じるときは自分と相手が同じ言葉を同じ意味で用いているかを気にした方がいいですよ。上で野矢茂樹の『無限論の教室』を挙げてる人がいましたけど、あれは数学の本じゃなくて哲学の本だしああいう範疇の議論に対して数学屋さんが「分かってない。馬鹿だ馬鹿だ」と言ってても仕方がない。21:43なんでこうもいい加減な事を平然と言う人が多いんですかねぇ。※165何も明確な主張をしていないので明確な反論をすることもできませんし、何をもって「問題がない」と言っているのか不明ですが、例えばそれだと円周率みたいな重要な実数を扱えなくなりますよね。πから3.14を引くという操作すらできなくなりますが。そもそも乗法や除法といった代数構造と大小のような順序構造に直接の関係はないということは理解していますか?※169「αを特定の実数で表すことができない」ってそれ「αは実数ではない」や「αという実数は存在しない」とどう違うのか説明できるんですか?※170いちいち指摘するのも面倒なくらい突っ込みどころ満載です。あなたが数学に関わる人間ではないことは文章から明白ですので、「~だから、∞を数として扱う定義はあまり使われていない」などと断定されると不愉快です。12:050より大きい最小の実数をmとする。そのmより小さく0より大きい実数が有れば、それを新たにmとする。以上により、0より大きい最小の実数mは、常に存在する。お前さんにはmより小さい数が常にあるんだろ。試しに、mより小さい数字を上げてごらん。上げた瞬間、それがmだから、mより小さい数字はお前さんには一生、上げられないよ。時間や空間は無限に分割できるのか、最小単位は存在するのかプランク長は測定可能な最小単位であって、それ以下の長さがあるかどうかはわからんって話だが。15:50※182その証明のどこが一番まずいかというと、>0より大きい最小の実数をmとする。今は、最小だけど、それより小さい物が今より後に発見されれば、それが最小。今はそれより小さい物はないんだから。実は、今、それより小さい物があれば、それじゃなくて、その小さい物が最小。お前さんが、mより小さい物があるぞと言うのなら、それが、mだよ。mより小さい物は有ったとしてもmなんだから、mより小さい物は存在しないだろ。0より大きい最小の実数が存在すると仮定する。明らかなので、当初の仮定「0より大きい最小の実数が存在する」が間違っていることがわかる(背理法)。18:10※1850より大きい最小の実数をmと仮定する。...1mより小さい実数が見つかったとき、1の仮定は誤りだったと放棄するってのが論理的に正しい結論なのだが、お前はmより小さい実数が見つかったとき、それを新しくmと名付けると言っている。現時点ではmが最小だが、今より後にもしmより小さい実数が見つかれば、それを新しくmと名付けよう、と提唱することによって、お前は1の仮定を維持しようとしているわけだなここで、「今より後にもしmより小さい実数が見つかれば」という条件が致命的いかなるmを持ち出しても、常にそれより小さいmを与えることができれば、「今より後にもし見つかれば」ではなく「いつでも見つかる」すなわち「常にある」「今ある」ことが示されることになる今はないけど、今より後に見つかれば...ではなく、今ある。数学の先生じゃなくて研究者を目指すなら、先人の成果をひっくり返す気概が必要。mはあらかじめ与えてないんだよね。(もしじゃないけどね)正の数字には、必ず、それより小さい正の数字があるなら、その小さい方がmだよ。思い浮かべた時に、大きい方をmにしたら、そりゃ、だめじゃん。そのnが、新たにmになるからね。永久に背理法やっててください。20:06※1800より大きい最小の実数をm1とする。そのm1より小さく0より大きい実数が有れば、それをm2とする。そのm2より小さく0より大きい実数が有れば、それをm3とする。そのm3より小さく0より大きい実数が有れば、それをm4とする。...もし、mnより小さく0より大きい実数が有れば、それをm(n+1)とする。そのmよりさらに大きい数が有れば、それを新たにmとする。以上により、最大の数mは、常に存在する。20:08※191おまえ※180だよな?あんな馬鹿みたいな破綻した寝言書いておいて何威張ってんだ?どれだけ寝言なのか逐一説明してやるよ。0より大きい最小の実数をmとする。そんな実数あるかどうか決まってねーよ。それを言うなら「最小の実数が存在すると仮定して、それをmとする。そのmより小さく0より大きい実数が有れば、そういう実数がどうすれば存在するのか説明していない。ゆえに、そんな実数はあるかないか確定していない。以上により、0より大きい最小の実数mは、常に存在する。二行目が確定してないのに、なにが「以上より」だよ。23:43※192知ってるよ、知ってて書いてるよ。無限に続けばいいじゃない。何か不都合でも?※193今知ってる限りで一番小さい数字をmとするんだから、これは存在しているよ。仮定の話はしていないし、証明の話もしていない。単純に一番小さい数字がm、それより小さい数字があったら、それがm。※180は誤解を招く書き方だね、ゴメンね。23:50※194>無限に続けばいいじゃない。何か不都合でも?ある実数m(n)を想定して、それより小さいm(n+1)が常に必ずあることを認めた時点で、「最小」は存在しないことになるね。最小とは「もっとも小さい」を意味するから。「それより小さいものは存在しない」のが最小の意味だから。02:02順序の定義を変えてやると最小値が決まるというのは具体的にはこういうこと適当に実数をならべる。......この作業を続けるといつか全部並べ終えるそうしたら、0より大きい実数の最小値が決まる。09:14やっと出てきてくれたよ。※195さんほか各位の方、おそらく言ってることは同じだから(違うかな?)、※197さんに、噛みついてね。当方より、詳しいから。500くらいまで延びると議論としてはおもしろいだろうけど、これはいかないかな。09:30選択公理を仮定すれば整列可能定理が成立し、「順序をうまい具合に導入すれば、任意の集合が整列集合になる」ので、実数全体の集合も整列可能だ。実数を一つずつ並べていくやり方だと可算無限個が限界だから、非可算無限個ある実数をこのやり方で整列させるのは無理な話だ。10:54※197は順序の定義を変えることが前提であって普通の大小関係だと0より大きい最小の実数は存在しないただ、※200の発想は超実数まで拡張すると正当化されるらしい強ち悪いものでもない(もちろん間違ってはいる)。16:03※200あなたが書いたことは全部間違い。00:02言葉がわからんっていってんのにその言葉で説明すんな理系。00:09本スレの意図としては実数や有理数の稠密性の話だったのかな、すまんただ、稠密性っていうのは集合の濃度だけじゃなくて順序の構造にも依存するって認識は大事なんじゃないか。そのために整列集合になりうるのを知っておくと良いのではないか。ルート2などを含めた数(厳密には分母と分子が整数の分数を拡張して完備性を持たせたものだけど、この辺は分からなくて良い)0より大きい実数(正の実数という)で一番小さいものは存在しないなぜなら、一番小さい数があったとすると、それを2で割ったら、もっと小さい正の実数が出てきて矛盾するからただ自然数を実数にしたみたいに、実数に無限や無限小(どんな実数よりも小さい数)を付け加えることができてそれを超実数という。02:28※197まーた中途半端に勉強した知ったかが適当な書き込みをしてるよ。00:08※226間違いに近い説明だと思うけれど。「この作業を続けるといつか全部並び終える」って表現はおかしい。実数を一つ一つ選んで並べていけるってことは(普通に解釈すれば)実数が自然数と一対一対応するってことになるよね?それは実数全体が非可算濃度であることに矛盾するでしょ。整列可能定理は「任意の集合には整列順序が定まる」と言っているだけで、「実数を並べていける」なんて一言も言ってない。どんな集合にも「任意の空でない部分集合が最小元を持つ」ような順序が存在すると言っているだけ。それ以上でもそれ以下でもない。非可算濃度を持つ対象に対しては「順番に並べていく」みたいな操作が出来ないから「一挙に決める」ような超限的な操作が必要になり、選択公理が必要になる(選択公理と整列可能定理は同値ですね)。この辺りが整列可能定理に関する議論の核心になると思うんですけど...。00:23※225私は「いくら便所の落書きとはいえ、間違った知識や不正確な知識を流布するな」と言いたいんです。自分がきちんと理解できていないことをあたかも正しいことのように語ることは真摯な態度とは言えません。間違った内容のコメントよりも、間違っていることを指摘するコメントの方が公共的な価値はあると思います。間違っている部分などに対して詳細な指摘をする方がより価値は上がりますが、そこまで労力を割きたくないというのが本音です。10:39>だってその実数は永遠に文字に表せないからね。ブラタモリはタモリ(男)が喋りすぎ。