部分について水素様ポテンシャル内での電子の運動を考える。原子核は原点で静止していると考える。換算質量で置き換えればよい。このとき問題の本質は変わらない。書いていることに注意せよ。({\LARGE\varepsilon\leftrightarrow\epsilon})まず、長さを無次元化するため\rho=Z\frac{r}{a_0}と置く。ボーア半径と呼ばれる。水素の大きさ程度の長さである。書くと動径方向の方程式は、\frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}\chi+\eta\chi=0のように単純化できる。は系の基底状態のエネルギーとなる。整数)となるときのみ解が存在することを示せる。対する縮退はクーロンポテンシャルに特有の物である。大きくなれば運動エネルギーが大きくなる。持つ状態のエネルギーが縮退している。属する状態は異なるエネルギーを持つようになる。他の電子からのポテンシャルも感じながら運動する。純粋なクーロンポテンシャルよりも早く減衰することになる。異なる電子軌道は異なるエネルギーを持つ。ポテンシャルエネルギーが中心対称である限り、その具体的な形状によらず縮退している。中心対象)であることに対応する。グラフは下図左のようになる。値で、それ以外は最大値で規格化した。大きな値を取るが、上記の通り有限であり、発散するわけではない。体積あたりの電子の確率密度に比例する。体積あたりの確率密度は常に原点あるいは原点に一番近い山において最大値を取ることが分かる。ある(動径分布関数と呼ばれる)。&=|rR(r)|^2\,dr\\となることにより確認できる。あることに対応していたのである。個目の根の外側の部分で最大値を取ることが分かる。方が内側に寄っている。比較することに無理がある。方向の運動量が大きいことに対応する。大きくなるほど外側へシフトする、という期待通りの結果になっている。方向の「振幅」が大きくなるために軌道は原子核から遠ざかり、クーロンエネルギーも大きくなることが分かる。等しい順位が縮退しているのだ。ここで、量子数の付け方には任意性があることに注意せよ。量子数としても形式上は問題ないし、むしろ物理的には分かりやすい。これに慣れておく必要がある。混乱しないようにせよ。角運動量の増加による遠心力のために軌道が原点から遠くへ移動すると、クーロンポテンシャルによるエネルギー増加があったが、箱型ポテンシャルにおいては角運動量の増加は運動エネルギーの増加としてしか寄与しないためである。等しい状態が縮退することになる。