現れることを思い出そう。含んでもよいとしているのは、強制振動のように系外から力がかかりポテンシャルが変化する場合を表せるようにするためである。依存する形にすることでローレンツ力のような「保存力ではない力」を取り扱うことができるようになる。ない場合には特に断ることにする。$$を最小にするようなものとなる。いうのが最小作用の原理である。何を言っているかというと、各座標の最初と最後の値が決まってもその間で座標が時間と共にどのように変化するかはいろんな可能性が考えられる。最小とするものになる、ということだ。言い換えると、一般に運動方程式は時間に対する2階の微分方程式であるから、その一般解は1つの座標につき2つの自由パラメータを持つ。そこで、始点と終点という2つのパラメータを指定すると運動は1つに定まるのだ(初期座標と初期速度の2つを与えるのと同じ)。最小にするものになる、というのだ。え、そんな話は聞いたことがないんだけど、と思うだろうけど実際こういう原理が存在するのだから仕方がない。最小作用の原理がこれまで学んできたニュートン方程式と矛盾しないことを以下で見る。いうか、ニュートン力学のみならず、電磁気学や特殊・一般相対論も「最小作用の原理」の枠組みで記述可能であり、また初等量子力学から最新の量子力学にいたるまでラグランジアンや以下で出てくるハミルトニアンを用いて記述されるなど、大学以降の物理学において「最小作用の原理」は中心的な役割を果たす。その理解には偏微分や全微分などの大学で習う数学が必須であるために高校までは触れられてこなかったのである。「作用を最小化する」という条件を微分方程式の形に直したものをラグランジュの運動方程式と呼ぶ。1つ決めると1つ値が決まるという意味で「汎関数」と呼ばれる。汎関数であることを強調する際には$$S=S\big[q_k(t)\big]$$などと書く。元の値より増加する、ということと同義である。「微分」することを考えよう。$$として定義される。$$であるのと比べると、汎関数微分の定義になぜ積分が現れるのか疑問に思うかもしれない。$$であることと比べると解決するだろう。掛けて足したものが全体としての変化となるわけだ。時刻によって値を変える。q_k}=0$$が成り立つ必要がある。対する条件を求めよう。変化することを加味する必要がある。\end{aligned}$$を得る。ゼロと置く必要があり、次の方程式が得られる。対してこの式が成り立つことが「停留作用」の法則の微分形を与える。「独立の変数」とみなして偏微分したものであることに注意せよ。本来ラグランジュの運動方程式自体は作用が「最小」となることを保証しない。作用が「停留値」を取ることのみを与える。ラグランジュの運動方程式を解いて得られた軌道の近傍で小刻みに振動するような軌道を考えれば、ポテンシャルエネルギーをほとんど変えないまま運動エネルギーを増加させることがいつでも可能である。したがって、求まる停留値が極大値である可能性はない。「極小値」であったとしてもそれが真の「最小値」であるのか、についてはここまでの議論からは判然としない。