よる偏微分と時間による全微分を入れ替えた。$$と置いて、この値をハミルトニアンと呼ぶ。ハミルトニアンは時間に対する保存量となる。書ける場合、ハミルトニアンは系の全エネルギーに相当する。が時間に依存する場合であり、この時、系外にポテンシャルを変化させている「誰か」が存在して、その誰かと系との間でエネルギーのやりとりが行われている場合に相当する。逆にポテンシャルが時間に依存しないことは系を孤立系と見做せることと同義であり、そのとき系のエネルギーが保存する、というのが上記の結果である。この「エネルギーの保存則」は多くの教科書で「ネーターの定理」の帰結として説明されているのだが、良い説明になっていないことも多いようだ。例:粘性抵抗のある場合についてまとめた。ネーターの定理は、ラグランジアンが何らかの座標変換に対して対称性を持つとき、それに対応する「保存則」が現れる、というものだ。並進対称性を持てば運動量保存則が、回転対称性を持てば角運動量保存則が現れる。これに対応して、時間に対する並進対称性がエネルギー保存則と深い関係を持つのであるが、その導出は他のネーターの定理とは少し趣が変ったものとなる。この保存則を正しく理解することで、外界との間でエネルギーのやりとりがある場合や、粘性抵抗が存在する場合のように、エネルギーが保存しない場合の「保存則」を導出ることが可能となる。ハミルトニアンが確かに系の全エネルギーに相当することを上の例で試しておこう。$$となり、期待通りハミルトニアンが運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和として表せる。一般に座標の関数であり質量そのものに限定しない。質点の質量としたものに等しいし、剛体系で物体の回転を表す回転角を座標に取った場合にも、その回転エネルギーは上記の形となる。なるから、もっと変った座標を取ったとしても、この値が運動エネルギーの2倍に等しいことは変らない。全エネルギーを計算するためには使えない、あくまで力を計算するために定義された便宜的なものとなる。