セル・オートマトンがどのように時間発展していくかのルールは表として与えられる。次の時間ステップ(t+1)で、中心のセルが「黒」「白」いずれになるかは、現在の時間ステップ(t)でとり得る512個のパターンそれぞれについての一覧表によって決定される。2次元のセル・オートマトンで最も有名なものがライフゲームである。ライフゲームは以下のようなルールで記述される。死んでいるセル(「白」)の周囲に3つの生きているセル(「黒」)があれば次の時間ステップでは生きる(「黒」になる)。生きているセル(「黒」)の周囲に2つか3つの生きているセル(「黒」)があれば次の世代でも生き残る(「黒」のままである)。上以外の場合には次の世代では死ぬ(「白」になる)。このライフゲームのルールは細菌などの生物の繁殖のアナロジーである。孤独でも人口過密でも死んでしまう。快適な人口密度では子孫を残し繁栄するというものである。実際ライフゲームは生物の増殖のような複雑で多様な振舞いを示す。一般に、各セルは同じ状態から開始し、一部の有限個のセルだけがそれ以外の状態から開始する。これを「コンフィギュレーション」と呼ぶ。全体が周期的なパターンを形成していて、一部がそのパターンから外れた状態で開始するということもある。後者は1次元のセル・オートマトンでは一般的である。トーラスセル・オートマトンのシミュレーションには有限の格子を使うことが多い。2次元の場合、無限の平面ではなく、有限の四角形で表される。有限の格子での明らかな問題は端のセルをどう扱うかである。端をどう扱うかが格子全体のセルの状態に影響を与える。1つの手法は、端のセルを全て変化しない定数を状態として持つとするものである。別の手法は端のセルの近傍を一般のセルとは違う内容にするというものである。端のセルの近傍を通常より少なく定義することもできるが、その場合は規則も新たに定義しなければならない。別の手法として、2次元の場合に四角形の平面の端の上下と左右を繋げて、トーラス形にすることもある。これは、ある意味で無限の平面が同じ四角形で平面充填されていることになる。1次元であれば、線の端を繋いでループにすることになる。セル・オートマトンの歴史1940年代にロスアラモス国立研究所で働いていたスタニスワフ・ウラムは結晶の成長について研究していたとき、モデルとして単純な格子ネットワークを使用していた。同じころロスアラモスで一緒に働いていたジョン・フォン・ノイマンは自己複製機械を研究していた。フォン・ノイマンはまず、あるロボットの記述に基づいて別のロボットの記述を行うという設計を考えていた。model)と呼ばれている。設計を進めるに連れ、フォン・ノイマンは、複製を作るための「部品の海」をロボットに与えることのコストの膨大さやあるロボットが別のロボットを作るということを記述する大変さを徐々に理解していった。ウラムはフォン・ノイマンに数学的に抽象化した設計を示唆し、自身が結晶の成長で使ったモデルを紹介した。これが元となってセル・オートマトンが生まれた。ウラムの格子ネットワークのように、フォン・ノイマンのセル・オートマトンは2次元で、その中に自己複製機械がアルゴリズム的に埋め込まれた。Constructor(UCC)であり、近傍として隣接する4つのセルのみ(ノイマン近傍)を考慮し、1つのセルあたり29の内部状態を持っている。このモデルで彼は自己複製機械として動作するパターンをデザインし、それが無限に自己複製を繰り返すことを数学的に証明した。この設計は平面充填モデルとして知られている。状態で自己複製を繰り返すコッドのセル・オートマトンを考案した。1970年代、2状態で2次元のセル・オートマトンであるライフゲームが特にコンピュータコミュニティでよく知られるようになった。誌(日本では日経サイエンス誌)で紹介したことで有名となったのである。ライフゲームは単純だが、システムとして興味深い挙動を示し、ランダム性と規則性の間で変動する。ライフゲームの最も顕著な特徴として「グライダー」(格子を横断して移動していくセル群)が頻繁に発生することが挙げられる。グライダーをうまく配置すると一種の相互作用が生まれる。長年の研究により、ライフゲームがチューリングマシンをエミュレートできることが判明した。それが単なる趣味の話題と受け止められたためか、ライフゲームの特殊性の研究や関連する規則の研究が若干行われた以外、この発見を受けた研究はなされなかった。中で、宇宙の物理法則は本質的には離散的であり、宇宙全体が一種の巨大なセル・オートマトン上の決定的な計算の結果であると主張した。この著書が今日デジタル物理学と呼ばれている分野の基礎を築いた。automata)に関する研究論文を次々と発表し始めた。ウルフラムは、単純な規則で示される振る舞いの予期せぬ複雑さを見て、自然界の複雑さも同様の機構によって生まれているのではないかと考えた。ウルフラムはあらゆる1次元のセル・オートマトンの時間発展の仕方を調べ上げ、以下の4つのクラスに分類した。セル全体が同じ状態になり、変化しなくなる。セルの時間発展につれ、最終的に周期的な変化になる。セル全体がランダムな変化を続ける。規則的なパターンとランダムなパターンが共存し、複雑なパターンを形成する。秩序状態であるクラス1、クラス2は新しい変化を生み出さない、いわば死んだ世界である。カオス状態であるクラス3はランダムすぎて、意味のある情報を生み出すことができない。ウルフラムは秩序状態とカオス状態の間にあるクラス4の様な状態こそが、生命現象などの現実世界で見られる複雑な現象を引き起こす源だと考えた。この研究により、複雑系と呼ばれる新しい科学分野の基盤が確立した。