以下では多粒子系の問題について考える。[#w3265732]古典的なハミルトニアンは系のエネルギーを位置と運動量で表したものであった。}_{ポテンシャル});などとなる。r_2,t));を得る。r_2,t));と書ける。波動関数を大文字にしたのは教科書に合わせるためで、表記上の問題しかない。表すことになっている。用いて次のように与えられる。r_2);これらが1粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっていることを確認せよ。r_n,t)\rule[-16.5pt]{0pt}{10pt}}_{ポテンシャルエネルギー});これを用いてシュレーディンガー方程式はやはり次の形に書ける。これまで学んだとおり、1粒子のシュレーディンガー方程式でも解析的に閉じた解が得られるのは非常に単純な問題に限られており、そのような例外的な場合に限ってさえ、解を得るには高度な数学を要するのであった。様々な近似を用いて1体の問題に直し、さらに近似を用いて複雑な1体問題を解くことにより、ようやく実験結果と比較できるような理論的予測が得られる。以下に見るように対称性に関する要請も満たすよう、解を構築する必要がある。[#q8a2e6f8]多粒子系の量子力学では%%%シュレーディンガー方程式に加えて%%%、同種の粒子の間に不可弁別性が成り立つことが求められる。存在する状態とは物理的に区別されない、同一の状態である、というのが同種粒子の不可弁別性である。量子力学では観測するまで粒子の位置は決まっていない。観測した結果、2カ所に電子が見つかったとして、それらのどちらがどちらの電子かを判別する方法はない。したがって、そもそもそれら2つの状態は区別できないものとして扱うべきだ、とするのが不可弁別性であり、これに基づき構築した理論が現実をよく再現する。すべての粒子に「個別の軌道」が存在することをよりどころとする古典論とは大きく異なる考え方であることに注意せよ。この要請はシュレーディンガー方程式とは独立に与えられることにも注意せよ。粒子2の運動量などの物理量は、「観測可能量」とはならない。上向きスピンを持つ粒子の数のように「ある条件を満たす粒子数」など、~「個々の粒子を区別せずに定義できるもの」のみとなる。r_a,\dots,t)\big|^2\\&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k);でなければならない。波動関数の絶対値は変化せず、位相のみが変化することになる。」を導入して解説する。r_2)\big]\\);したがって、その「固有状態」を考えることができる。限られることが分かる。が時間的にも定数となることを多粒子ハミルトニアンの対称性から以下のように導ける。入れ替えに対して対称性を持っている(値が変わらない)ことに注意せよ。r_2));したがって、ハミルトニアンも入れ替えに対して対称になる。2粒子に限らず一般に、ハミルトニアンは同種粒子の入れ替えに対して対称な形をしている。学んだ)が結論される。&math(-1);)の固有状態のままであることが分かる。固有状態となるような波動関数が存在しうる。対する固有関数になっているという条件も満たさねばならないことが知られている。P_{34}\Psi=\Psi);を満たさなければならないことになる。フォノンやプラズモンなど、集団励起状態を表す準粒子すべての量子力学的粒子はこのどちらかに属する。多粒子系の波動関数を求める際には、それがシュレーディンガー方程式を満たすことに加えて、これらの対称性を備えていることも確認しなければならない。以下では主に電子を想定して、フェルミオンについて主に学ぶ。ボゾンについては付録的に述べる。対称性を指定して始めて波動関数が1つに定まるのである(位相因子を除いて)。[#ze677499]フェルミオンに関する著しい性質として、2つのフェルミオンが同じ座標を取る確率は常にゼロになる。r_a,s_a,\dots,t)=0\\);となり、波動関数の値がゼロであることが導かれるためだ。これはパウリの排他律の一例となっている。「同じ空間座標かつ同じスピン」という意味に捉えて欲しい。同じ座標に複数の粒子が存在できる。