次のように線形結合として表せることである。正規直交基底であるとする。次のように線形結合として表せることである。おける正規直交完全系であるとする。x)として求められる。その係数はf_k=\int_a^bdx\,\psi_k^*(x)f(x)として求められる。e_k^\dagger=Eである。この式を正規直交基底の条件とする場合もある。\psi_k^*(x')\psi_k(x)=\delta(x'-x)である。この式を正規直交完全性の条件とする場合もある。|f_k|^2この関係は内積で書いたノルムの式に展開した形を代入し、正規直交条件を用いることで容易に導ける。和とスカラー倍について閉じている。和やスカラー倍で保存する何らかの制約を課した部分空間を考えることもよく行われる。b)を満たす時、これを線型変換という。Fg(x)を満たす時、これを線型演算子という。f(x+1)は線型演算子である。x)}_{x_j}と表せる。エルミート共役と呼ぶ。エルミート共役と呼ぶ。エルミート行列と呼ぶ。エルミート演算子と呼ぶ。Af(x)\big)^*g(x)が成り立つ。ユニタリー行列と呼ぶ。