(ただし、a、bは実数。iは虚数単位)の形で表される数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。b=0のとき、すなわちa+0・i=aで、実数aを表す。b‡0のとき、すなわち実数でない複素数を虚数という。以上が、虚数と複素数に関する定義です。これ以上は噛み砕ける内容ではないので、1行1行噛みしめて意味を理解してください。全て定義ですので、「なぜ?」という質問は存在するはずがありません。その定義を受け入れるだけです。これから始まる話は、全てこの定義を前提としますよ、というルールのようなものです。こんなルールは受け入れられない、自分は違うルールでやっていく、というわけにはいかないのです。これまで、数の集合は実数の輪を最大のものとして閉じていました。ベン図にするとわかりやすいです。自然数の集合がありました。1、2、3、・・・・といった正の整数です。それを含んで、その外側に、整数の集合がありました。負の整数や0が自然数の外側に加わったひと回り大きな輪ですね。それを含んで有理数の集合がありました。整数で表すことができない小数や分数が外側に加わったひと回り大きな輪です。その外側に実数の輪があります。実数の輪の内側で、有理数の輪の外側に位置するのが無理数です。無理数は、有理数ではない数。分数で現すことができない数です。円周率や√2などが無理数でした。有理数と無理数とをあわせて、実数と呼びました。実数の大きな集合の輪。今、その周りに複素数の大きな輪が描かれました。実数は、複素数の一部です。ベン図でイメージすると上のようになることを、複素数平面で考えると、実数は1本の数直線上に全て存在し、虚部が0ではない数、すなわち虚数は、その直線以外の平面上に存在しているのです。ここまで理解できれば、あとは計算です。あとは実数のルール、特に文字式・方程式のルールに似ていますので、大きな抵抗はないと思います。実部は実部同士、虚部は虚部同士で足し算できます。実部×虚部は可能です。虚部×虚部も可能です。(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)iただし、a、b、c、dは実数。=21+6i-35i-10i2=21-29i-10・(-1)=21-29i+10=31-29i慣れてくれば計算過程は適宜省略し、与式の次は答えでも構いません。符号ミスを起こしやすい人は、最初は丁寧に解いていったほうが無難でしょう。これは、様ざまな単元の計算問題で繰り返し出てきた、対称式に関する問題です。代入しても答えは出るのですが、面倒で時間がかかります。xとyの和と積を求めるのが定石でした。x+y=(-1+√5i-1-√5i)/2=-2/2=-1xy=(-1+√5i)(-1-√5i)/4=(1-5i2)/4=(1+5)/4=6/4=3/2よって、x3+y3+x2y+xy2=(x+y)3-3xy(x+y)+x2y+xy2=(x+y)3-3xy(x+y)+xy(x+y)=(x+y)3-2xy(x+y)=(-1)3-2・(-1)・3/2=-1+3=2これは、対称式の計算のときによく使う、x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)という公式を利用した解き方です。先に、x2+y2=(x+y)2-2xy=(-1)2-2・/32=1-3=-2を求めているのなら、x3+y3+x2y+xy2=(x+y)(x2-xy+y2)+x2y+xy2=(x+y)(x2-xy+y2)+xy(x+y)=(x+y)(x2-xy+y2+xy)=(x+y)(x2+y2)=-1・(-2)=2という求め方も可能です。これも公式を利用しています。x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)という公式です。新しい単元に入っても、既習の公式を覚えていないと実際の問題は解けません。解答・解説を読んでも、何でそういう変形をしているのか、意味がわかりません。公式は全部頭に入れておきましょう。和や積で虚数部分が消えて、その後の計算が随分楽になりましたね。虚部が異符号なのが良かったですね。いう数を「互いに共役な複素数」と言います。互いに共役な複素数という」というのが定義です。-27の平方根を求めよ。=±√27i=±3√3i2乗して負の数になる数の中にも、正の虚数と負の虚数がある・・・。そのことで混乱する人もいるようです。つながるべきではないところがつながって、頭の中がメビウスの輪になっていないでしょうか?虚数にも正負があって、別に構わないです。・・・うん?i2がある限り、その数は負の数になりますよ。落ち着いて、落ち着いて。√-24・√-18=√-24・(-18)=√24・18=12√2としてはいけないのです。それは、実数のときだけのルールです。虚数ではそれはできません。使って書き直してから計算していきます。なってしまい、矛盾します。これは背理法で証明できることだと推測できますね。絵に描いたような失敗。13:10)高校数II「式と証明」。2次方程式の解の正負。11:28)新指導要領に思う。13:32)つるかめ算と連立方程式。13:47)中1の壁。