無理数であることの証明いくつか紹介します。有理数であると仮定する。(\(m\)と\(n\)は互いに素な自然数。......1\(m^2\)が2の倍数となる。「\(m^2\)が2の倍数となる。→\(m\)が2の倍数となる。(\(k\)は自然数)とおける。となり同様の議論で\(n\)も2の倍数。証明で、\(m\)と\(n\)がともに2で割れる(有理数仮定ならば)と分かったが、さらにこれを続けていくと、\(m\)、\(n\)ともに無限に2で割り切れ続けるということになってしますが、このような自然数は存在せず矛盾。なることが分かっていた。ここから素因数分解の一意性(素因数分解は順番考えなければ1通りしかない。上の式の左辺は2で偶数回割れる、一方右辺は奇数回2で割れる。