わかった!統計学に入門した方と共に学ぶ、統計学入門サイトです。シェアする0000「相関係数の数式、計算方法は理解した。そのような数式になるのか、どんな意味があるのかが、わからない」という方のために、この記事では、相関係数の数式で、なぜ偏差積和と偏差平方和を用いるのかなど、その意味を説明してきます。相関係数の数式についてよくわからない方は、下記の記事を読んでから、この記事を読んでいただくといいかと思います。最初に相関係数の数式を記載しておきます。-\bar{y})^2}}$$なぜ上に記載したような式で、2つのことの関係性を表す数値が出てくるのか。長くなりますが書いていきます。相関関係の意味と相関係数の計算方法の記事では、ペーパーテストの点数と仕事の実力の相関係数を計算しました。ある会社の経営者が、勉強によって知識を増やしてもらうのを狙いとして、従業員に対してペーパーテストを実施しました。各従業員のテストの結果と仕事の実力・評価を見て、それらに関係があれば、定期的にテストを実施して勉強するように促したり、新たな人材の採用試験でペーパーテストを実施するのもいいのでないかと経営者は考えました。テスト実施後に、得られたペーパーテストの結果と普段の仕事の実力・評価に関係があるのかを見てみました。テストを受けた従業員は、Aさん、Bさん・・・Jさんの10人がいます。テストの結果と仕事の実力を一覧にし、合わせてテストの点数を横軸、仕事の実力・評価を縦軸として散布図を書いてみました。散布図とは、2つの変数の関係を見るために、横軸・縦軸の目盛りをつくって打点をした図です。散布図は2つの変数関係性をパッと把握することができます。横軸がペーパーテストの点数、縦軸が仕事の実力です。打点が右肩上がりになっていて、ペーパーテストの点数が高い人ほど、仕事の実力も高い人が多いように見えます。テストの点数で80点以上の高得点をとっている人は仕事の実力も比較的良く、テストの点数が30点、40点と悪い人は仕事の実力もないようです。テストの点数は50点なのに、仕事の実力がずば抜けている人が1人いることがわかります。この散布図を見ながら説明をしていきます。横軸のペーパーテストの点数が低いと、縦軸の仕事の実力・評価も低くなっている。いう傾向があることを意味しています。散布図上の打点の位置によって相関係数のプラス・マイナスがわかるまず、散布図に平均の線を引いてみましょう。ペーパーテスト$x$の平均は、70仕事の実力$y$の平均は、6ですので、縦軸の実力6に横線を、横軸の70点に縦線を引きます。平均値の線によって4分割されたエリアをそれぞれ第1エリア第2エリア第3エリア第4エリアと呼ぶことにします。正の相関がある場合、テストの点数が高い人ほど、仕事の実力も高くなる傾向テストの点数が低い人ほど、仕事の実力も低くなる傾向があります。テストの点数が平均よりも高い人は、仕事の実力も平均より高くなるはずので、第1エリアに打点されるでしょう。テストの点数が平均よりも低い人は、仕事の実力も平均より低くなるはずなので、第3エリアに打点されるでしょう。いうことで、正の相関があるときには、第1エリアと第3エリアに多く打点されることになります。今度は逆に、負の相関があり、テストの点数が高い人ほど、仕事の実力は低くなる傾向テストの点数が低い人ほど、仕事の実力は高くなる傾向が見られるとしたらどうでしょうか。負の相関がありそうな、テストの点数と、仕事の実力のデータを意図的に作成してみました。テストの点数が平均よりも高い人は、仕事の実力が平均より低くなるはずなので、第4エリアに打点されるでしょう。テストの点数が平均よりも低い人は、仕事の実力が平均より高くなるはずなので、第2エリアに打点されるでしょう。負の相関がある場合は、打点に右肩下がりの傾向が見られ、第2エリアと第4エリアに多く打点がされることになります。正の相関が強いと、第1エリアと第3エリアにたくさん打点される負の相関が強いと、第2エリアと第4エリアにたくさん打点されるというわけです。これを数値としてあらわすのが、相関係数なのです。第1エリアに入るのは、$x$と$y$ともに平均よりも大きい第2エリアに入るのは、$x$は平均よりも小さく、$y$は平均よりも大きい第3エリアに入るのは、$x$と$y$ともに平均よりも小さい第4エリアに入るのは、$x$は平均よりも大きく、$y$は平均よりも小さいです。ここで、相関係数の計算式を思い出してみましょう。-\bar{y})^2}}$$$$r=\frac{xとyの偏差積和}{\sqrt{xの偏差平方和}\times\sqrt{yの偏差平方和}}$$でした。分母の偏差平方和は、偏差を二乗して足し合わせたものです。偏差がプラスであってもマイナスの値であっても、二乗をすれば必ずプラスの値になります。偏差平方和は必ずプラスの値です。分子の偏差積和は、$x$の偏差と$y$の偏差を掛け合わせて、それらを合計したものです。ある一組の$x$と$y$の偏差積($x$の偏差と$y$の偏差を掛け合わせたもの)がプラスの値になるか、マイナスの値になるかは、当たり前ですが次のとおりです。$x$の偏差がプラスで、$y$の偏差がプラスのときは、偏差積はプラス$x$の偏差がプラスで、$y$の偏差がマイナスのときは、偏差積はマイナス$x$の偏差がマイナスで、$y$の偏差がプラスのときは、偏差積はマイナス$x$の偏差がマイナスで、$y$の偏差がマイナスのときは、偏差積はプラスとなります。何人かの偏差積を計算してみましょう。点数$x$の偏差は、$100-70=30$仕事力$y$の偏差は、$8-6=2$$x$の偏差と$y$の偏差を掛け合わせて偏差積を求めると、$30\times2=60$となります。$x$の偏差はプラス、$y$の偏差もプラスですから、偏差積はプラスになります。点数$x$の偏差は$30-70=-40$仕事力$y$の偏差は$3-6=-3$偏差積は$-40\times-3=120$となります。$x$の偏差はマイナス、$y$の偏差もマイナスですから、偏差積はプラスになります。点数$x$の偏差は$50-70=-20$仕事力$y$の偏差は$10-6=4$偏差積は$-20\times4=-80$となります。$x$の偏差はマイナス、$y$の偏差はプラスですから、偏差積はマイナスになります。全員の偏差積を計算すると次のようになります。プラスの偏差積は、第1エリアと第3エリアに打点。マイナスの偏差積は、第2エリアと第4エリアに打点。第1エリアでは、プラス第2エリアでは、マイナス第3エリアでは、プラス第4エリアでは、マイナスとなります。プラスになったりマイナスになったりする、いろいろな偏差積の値を合計したものが、偏差積和です。これは、相関係数の数式の分子に位置していましたね。-\bar{y})^2}}$$$$r=\frac{xとyの偏差積和}{\sqrt{xの偏差平方和}\times\sqrt{yの偏差平方和}}$$散布図上で、第1エリア・第3エリアへたくさん打点されると、偏差の積を合計した数値(偏差積和)がプラスの値で、より大きくなる。⇒“正の相関”が強いと言える第2エリア・第4エリアへたくさん打点されると、偏差の積を合計した数値(偏差積和)がマイナスの値で、より小さくなる⇒“負の相関”が強いと言える偏差積和がプラスなのかマイナスなのかによって、相関係数のプラス・マイナスが決まる各データの偏差積をすべて足し合わせたものが、偏差積和です。偏差積にプラスの値が多いと、偏差積和はプラスになり、偏差積にマイナスの値が多いと偏差積和はマイナスになることはすでに書きました。偏差積を合計した数値(偏差積和)をみることで、どれだけ正の相関があるか、あるいはどれだけ負の相関があるか、はかることができそうですね。偏差積和がプラスで大きな値であるほど正の相関があり、偏差積和がマイナスで小さな値であるほど負の相関があります。偏差積和は、$x$と$y$の偏差積を合計すればいいですから、$$120+90+(-80)+10+0+(-10)+0+20+75+60=285$$偏差積和は、285となりました。偏差積和の値を基準化する偏差積和が、相関の程度をはかる数値のなるかもしれませんが、でもちょっと待ってください。データの数値の単位が変わるなどして数値が大きくなると、$x$と$y$のデータの関係性は変わっていないのに偏差積和が大きくなってしまいますよね。逆に小さくなることもありえます。身長と体重の関係を見るときに、身長単位をmにしていたものをcmにすると、関係性は変化無いはずなのに、各データの値は100倍になってしまいます。偏差積和の数値も大きくなってしまいます。ペーパーテストの点数と実力の関係でいえば、ペーパーテストの点数が100点満点ではなく、10点満点の採点だとしたらどうでしょう。100点満点のときと比較して、10分の1で表すことになっただけですから、ぺーパーテストと仕事の実力の関係は変わらないはずなのに、偏差積和の数値は小さくなってしまいます。※テストを10点満点であらわした。ペーパーテストの結果を10点満点にして、偏差積和を計算すると、28.5になってしまいました。このように偏差積和の数値が変わってしまうと、あるデータの偏差積和と、他のデータの偏差積和を、比較するといったことができませんよね。この問題を解決するには、偏差積和の基準化が必要になります。-\bar{y})^2}}$$$$r=\frac{xとyの偏差積和}{\sqrt{xの偏差平方和}\times\sqrt{yの偏差平方和}}$$分子が偏差積和、分母が「$x$の偏差平方和のルート」と「$y$の偏差平方和のルート」を掛け合わせた式、になっていますね。この分母によって、基準化がなされます。̠-1.00~0~1.00の範囲におさまるようになります。