早春賦歌唱における平均律と量子音階移動このページでは、まず実際の歌唱において現れる量子音階移動として早春賦の例を示します。早春賦は、中田章作曲で吉丸一昌作詞の唱歌として知られています。歌唱音域の広い曲で1.5オクターブに渡る曲で、量子律として分析するには最適な曲のひとつです。西洋音階の理論によれば、音階は連続関数である2のn乗のべき(乗数)の分割としてあらわされますが、音階はそもそも有限数で、それを連続関数(=音階は連続で無限の仮定)の分割で無理数を使ってまで”無限音階の分割”で表わすこと自体が無理筋というものです。わかりやすく言えば、音階はそもそも不連続有限であるにも関わらずわざわざ連続で無限の分割で表すことがおかしいのです。このことは、絶対音階(無限の音階位置(周波数)と相対音階(有限の音階間移動=ソルフェージュ)とが混同されていることを意味し、だから音階を無数の音階として連続関数で表すことになるわけです。この西洋音階理論では、フーリエ級数による倍数波の理論と関係づける場合、音響空間が連続無限大のフラットな帯域と無限大のダンピング(無反射)を持つ線形伝達関数を持つ非共鳴空間が前提でありますが、実際には自然の音響空間は有限のサイズの有限の音速と有限のダンピング(残響がある)とそれらの揺らぎを持つ多数の空間の集合で成り立っており周波数特性(伝達関数)が複雑となり、このような空間の個別単位で生じる共鳴という現象、すなわち音階関数の不連続化、と非線形化が起こり、揺らぎと量子化というモデルで扱うほうが合理的と考えられます。音階の周波数位置によって共鳴の影響が異なることによる絶対音階の発生があります。ドとレの音階移動やドードのオクターブ移動における伝達関数が同じとは限りません(音階位置ごとに違う)。音階は、そもそもオクターブ当たり6-12階であり、空間の共鳴の揺らぎを勘案すると、無限連続関数の分割で表す絶対的意味はなく、むしろ音階移動を量子的関係をもって個別に簡潔な有理数(整数)、たとえば倍数波の位置関係で定義して表せばいい話になります。量子化の結果である倍数波の相対関係を定義した上で、共鳴体の集合の個性、すなわち絶対位置を周波数で与えればいいこと(絶対音階)になるわけです。*動画の反転選択領域の上端はAb4(ド)、中心はC4(ミ)、下端はEb3(ソ)の位置を表します。ここに量子音階移動として早春賦の例を示します。ソードーミーソードに対して:ソードは、�@の黒枠で示したように出だしの4倍波が次の音階(ド)の3倍波に一致します(これを4→3と表します)。同様に”ドーミ”は�Aのおように”5→4”、”ミ-ソ”は�Bのように”6→5、�Cのように”ソード”は”4→3”となります。下のドから上のドまでは一オクターブで�Dの影付の線で示したように"2→1”です。同様に”ドーミ”は”5→4”、”ミ-ソ”は”6→5、”ソード”は”4→3”となります。下のドから上のドまでは一オクターブで”2→1”です。図の左の周波数軸の3000Hz付近に右青矢印で示したのが、喉の共鳴周波数位置です。右端には喉の共鳴とともに、胸の共鳴0(2分の1共鳴:500Hz)と共鳴1(1波長共鳴:1000Hz)の位置を記しました。<32>この早春賦での解析と同様に、滝廉太郎作曲の歌曲、花の1-3番全部の歌唱での歌声の量子数と倍数波マッチングおよび絶対音階位置との関係がどうなっているか、1-3番まで非対称な音階移動を含む曲においてどのように全体の絶対音階をコントロールして調を一定に保つことができるのかを解析した結果は次のページにあります。倍数波マッチングとの関係では、ドレミファソラシドはどうなるでしょうか。そこで、平均律の音階にできるだけ近い発声で音階を移動してみました。母音や子音などの言語要因を均一にするため、母音”あ”のみで音階の上下を奏でてみました。SPL)で、かつ息継ぎの影響を回避するため2回ひと息30秒で奏でています。倍音(倍数波》の周波数解析では、2回の上下連続で基本波は正確な値になっています。発声全区間30秒間の平均スペクトルを下に示しました。3倍波はE9(10,000Hz)付近で、15,000Hz付近まで共鳴によるとみられるフォルマントが確認できます。音階移動の分析結果は、添付の周波数ピーク比較にボックス囲ったように:ドーレは”9→8”、ドーミは”5→4”、ドーソは”3→2”、ドードは”2→1”となっています。ここで、ドーレやソーラのような他の全1音階移動(上昇)は9→8(下降:8→9)であることがわかります。倍数波をたどるとなんと17倍波と次の16倍波の一致で、これは声道共鳴のF7あたりでの倍音の一致ということになります。それが男性独特の半音階の響きなんですよ。倍音によるマッチングによる位置なので半音上がって《17→16》から今度は下がって(16→17)も音の高さは同じところに戻ります。いうことで、楽器がなくても声を自律的に調音できます。最初の音合わせは必要である場合もありますが、それほどずれません。胸や喉などの人体の骨に囲まれた固定空洞の共鳴が体温一定のもとで(音速一定のもとで)音叉のような物理学的な標準を与えるからです。今回の実験の30秒間の全体平均スペクトルでもはっきりと胸と喉の倍数波による共鳴点が確認できます。女性では、共鳴による調律点が胸の共鳴だけである上に声に含まれる倍音数と範囲が狭く、男性がもつ喉の共鳴標準がないので、自然に相対音階での音階移動のほうが容易になります。このことは、男性と女性に対するボイトレや男女間における音楽表現はおのずと別物であることを意味しているわけで、この生物学的な決定的違いは意外と知られていないようで、不思議です。この男女の声の違いは、暗闇でも声で性成熟した男女を間違いなく判別できるとか女性のほうが自分の相手(夫)を高い確率で区別できるとかいうことが本来の生物学的機能ではありますが。カラオケで採点したり歌唱指導するソフトなどで、こういったことがどれほど反映されているのか疑問です。3.量子律の音階構成と周波数の関係これまでに説明してきたように倍数波を種々の音階移動において見つけるには、図-6に示したような最小公倍数を求める計算式を用いることができます。最小公倍数による倍数波マッチングの計算方法この倍数波マッチングにおいては、開始点側の数値が移動先の数値より小さいときは、音階上昇を意味し、逆に移動先のほうが大きい場合は音階の下降を表します。倍数波マッチングによる量子音階と平均律音階の対照表を作っていて、当たり前といえば当たり前だけども次のような規則性があることがわかりました。量子律で9倍波と8倍波の一致は、比率では1.125(12.5%増)で割り切れる数であることに注目ください。平均律では割り切れない無理数になるので、小数点以下の数字を並べることになり、それを自然倍音と合わせようとすると、これまた割り切れない(無理数)係数を使うという2重の問題を持っていて、理論や信号処理上もルールが複雑になります。同様に量子律の半音は17-16ですが、一見割り切れなさそうですがこれも割り切れる数で、1.0625になります。増分を倍にすると0.125となりますのですなわち全音のちょうど半分(中間)になります。量子律は音階移動の量子数比を整数で規定するものです。平均律的分割にこだわって積み上げていく(8倍ー>9倍波マッチングでの全音を6回掛ける)とオクターブ当たり1.36%の誤差(一音階当たり0.125%)がでますが、本来、量子律と平均律は異なる体系なので、矛盾がどっかで生じることは当然です。修正するならば”自然音階”による音階ごとに異なる補正係数の概念ではなく、ディジタル誤差か全音階にわたり均等に揺らぎで吸収することが適切でしょう。式で表すと:量子音階N=Q+-d、Qは倍数波音階で量子的揺らぎをdとするわけです。自然音源ではビブラートもありますから。量子律はマジックナンバーのような、自然の理にかなった循環しない有理数である特別の自然数列のようなものです。<次に滝廉太郎作曲の花をピアノ伴奏なしで倍数波マッチングと身体共鳴を聴覚認識(体感)することによって絶対音階上で歌ったリアルタイムスペクトル動画を示します。5/3などの倍数波関係に乗って最後まで歌っていることがわかると思います。この場合、1番出だしがG3で3番終了がC4で、途中ポイントを見てもリアルタイムの調律が自然に行われることによってこのような倍数波マッチングだけでハ長調の絶対音階になっていますから楽器の誘導は不要であることがわかります。マッチング法を、とりあえず音階移動の数学的形式として論じてきましたが、物理学的にみると、振動の量子数を5から4とか、9から8とかいうように不連続に切り変えることです。これはある共振数をもつ物体の振動数が整数のポジションすなわち量子化の位置をもつということです。その位置には揺らぎが存在します。計算したらたまたまそうなったという”偶然の計算の結果”ではなく、特定の部屋のサイズ(共鳴周波数)では椅子の大きさ(基本波)を決めればいれることのできる椅子の個数(倍数波の数)は、少しは動く(揺らぎがある)が、自然に決められることが原因でそういう結果(倍数波移動)になったということに根本的意義があります。わけで、この倍数波マッチングによる音階移動は極めて自然な位置移動の実践の形態であるといえます。それが、専門的な音楽理論にあるような2のべき乗であらわすような無理数からなる音階理論との決定的違いでもあるわけです。このような無理数からなる音階理論では、実際の自然現象とはかけ離れた単なる数学の遊びになってしまうのです。次に、任意の平均律音階間の量子移動数比を、図-6に示したように最小公倍数を求めて計算する方法で計算すると、例えば音階Xから音階Yに移動する場合を検討しますと次の図のような結果を得ることができます。この表に見つからなければ、いくつかに分解したり、オクターブ上からの減算などを図-6の式を用いて計算します。図‐7の音階周波数の単位はHzです。長音階のほうは、ド(C)を基準に積み上げていった場合で、短音階のほうは、ラ(A)を基準にして、鍵盤楽器の音階の相対移動量を使って計算したもので、半音移動を使わない分、シンプルな比率になっています。長音階のほうは、平均律に近似した場合、基本的には、C-D-E-F#-G#-A#-C”の移動列ですと半音移動はありません。半音移動を入れても、オクターブに誤差がでますので、オクターブを合わせる結果、全体的に1.36%ほどせまくなっています。45倍波とのマッチングなどもでてきて不規則性が強いので平均律との比較はあまり意味がないようです。ラを基準として鍵盤の相対移動量に半音移動を包含してしまいますと、計算が単純になりますし、突拍子もない不規則な数はでてきませんで、9倍波までで収まっていますので、合わせ易いはずです。短音階とは言っても、主音をド(C)ととらえれば長音階として使えます。組み立て方の基準が違うだけです。ここで、この倍数波基準による縦軸の周波数を対数目盛にしたリアルタイムスぺクトルのパターン移動を西洋音階の楽譜にト音記号で重ねると結構うまく重ねることができ、楽譜を作ることができます。平均律と量子音階の対照では、”ド(C)”を起点にすると、”ソ(G)”まで量子数は単純(9から1)となるが、ラとシは大きい数がでてきて関数的に不連続性が高くなる。2.同上対照において、”ラ(A)”を起点とすると、すべて、8から1の整数比となり、関数的に連続性が高い。Hzだけで自然律の絶対音階を構成できる。いうわけで、西洋音階の周波数と比較してもあまり意味はないが、一応、次の図にまとめておきます。おける短音階と長音階の実験データ以上のようなことを一覧表にまとめると次のようになります。量子律においては、短調、長調ともにいくつかのバリエーションが可能であることを示しています(量子律における短音階と長音階の実験データ)。このうちの一つのケースが大全音や小全音の概念を使う純正律と呼ばれる音階になりますが、量子律においては、倍数波のマッチングのみが合理的である音階すべてが、量子律音階となります。量子律においては、西洋音階群との整合性はそれほど重要でないということです。基本的には、ドーミーソードが聴覚的に容易に感知できる基本音階になり、ドーレとか、レーミとか、ミーファとか、シードとかは、基本音階を倍数波マッチングにより合理的に分割するだけの話なので、ドーレは9/8でレーミが10/9という大小2つの全音がある(純正律)とかどうでもいい話といえば言い過ぎでしょうか。量子律では、これを逆にしてもかまわないし、倍数波さえ合えば別の分割をやっても構わないわけです。ドーファ(4/3)の分割として、7/6と8/7(7/6x8/7=8/6=4/3)とかあるいは、半音(ミ—ファ、シード)をやめるとかでもいいわけです。これに似た現象として”四七ぬき”というものが歌い次ぐ過程で起こることも知られています。オクターブが半音広い民族音階にみられる音階をも合理化できる柔軟性がありますし、歌唱練習に楽器はそれほど必要ないというか邪魔になるということになります。して楽器が邪魔かというと、楽器のような多音源の和音を奏でる道具は、人間の声の倍数波とそれらのハーモニーに正確に合わせることが容易ではない(ほぼ不可能)からです。皮肉を言えば、今の音楽は人間の声のほうを特定の楽器に合わせさせている=>人間の自由を認めない非人道的音楽といってもいいかもしれません。次の下の図は、量子律における、いくつかのバリエーションを示しています。表—3最後に、実用性の検証のひとつとして、量子律による滝廉太郎作曲の花のピアノ伴奏なしでの倍数波マッチングと身体共鳴を聴覚認識(体感)することによって絶対音階上で歌ったリアルタイムスペクトル動画をもう一度ご覧ください。5/3などの倍数波関係に乗って最後まで歌っていることが、よりよくわかると思います。この場合、1番出だしがG3で3番終了がC4で、途中ポイントを見てもリアルタイムの調律が自然に行われることによってこのような倍数波マッチングだけでハ長調の絶対音階になっていますから楽器の誘導は不要であることがわかります。男声の特質シリーズ(資料室)。