正規分布の性質1確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ,σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b,a^2σ^2)\)に従う。確率密度関数を用いる。\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}$$である。ここから\(Y=aX+b\)によるYの確率密度関数\(g(y)\)を求める。\frac{1}{\sqrt{2πa^2σ^2}}\exp{[-\frac{(y-(aμ+b))^2}{2a^2σ^2}]}\end{eqnarray}となる。分散\(a^2σ^2\)に従う。よって、確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ,σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b,a^2σ^2)\)に従う。\frac{X-μ}{σ}\)と変換をほどこすと、\(Z\)は平均0、分散1の正規分布に従う。これを特別に標準正規分布という。この変換を正規分布の標準化と呼ぶ。正規分布の性質3確率変数\(X\)と\(Y\)が独立に正規分布\(N(μ_1,σ_1^2)\),\(N(μ_2,σ_2^2)\)にそれぞれ従うとき、\(X+Y\)も正規分布に従う。その分布は\(N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)\)となる。この性質を正規分布の再生性という。再生性は、正規分布の積率母関数を使って証明できる。互いに独立な確率変数\(X~N(μ_1,σ_1^2)\)と\(Y~N(μ_2,σ_2^2)\)をおく。t+\frac{{\sigma_2}^{2}t^2}{2}}$$となる。{\mathrm{e}}^{(\mu_1+\mu_2)t+\frac{({\sigma_1}^{2}+{\sigma_2}^{2})t^2}{2}}\end{eqnarray}と表せる。これは、\(N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)\)の積率母関数である。積率母関数は確率分布と1対1対応する(積率母関数の一意性)ので、\(X+Y\)の分布は\(N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)\)となる。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。