距離空間の有界近縁全体は粗構造を定める。これを距離から定まる有界粗構造という。同値な距離からはおなじ粗構造が得られるので、有界性など粗構造にのみよる概念は同値な距離に対して同じものを与える。一般の一様空間は距離函数の値が小さい時の距離の振る舞いの抽象化であり、また一般の粗空間は距離函数の値が大きい時の距離の振る舞いを抽象化するものである。距離空間の間の写像[編集]詳細は「距離空間の圏」を参照この節の加筆が望まれています。初等的な例[編集]離散距離構造[編集]距離空間のもっとも自明な例は任意の集合に対して定義できる離散距離構造と呼ばれるものである。この距離は議論において何の役にも立たず、距離の定義の緩やかさを示すに過ぎない。2つの距離関数を考える。次元ユークリッド空間という。次元ユークリッド距離になっていることが分かる。教育や自然科学における応用では、多くの場合ユークリッド距離がもちいられる。チェビシェフ距離と呼ばれる。このように、同じ集合に対して定めることのできる距離は一つではない。dmax(x,y)という関係があり、これら同値な距離はユークリッド空間上に同じ位相構造を定めている。つの距離はいずれも同じ開集合系を定めるのである。関する開球の和集合に表される。d1,d2のそれぞれによって定まる位相との関係についても同じことが言える。他の例としては球面距離がある。球面上の2点P1、P2の球面距離は、P1とP2を結ぶ大円弧の長さの事である。P1とP2を結ぶ大円弧は2つあるが、そのうち短い方の弧長を距離として採用する。直観的に言うと、P1、P2の球面距離は、巻尺をP1始点にしてP2へと球面に巻きつけたときに巻尺に書かれた長さの事である。球面上には直線距離という別の距離も考えられる。これはP1、P2を結ぶ弦の長さとしてあたえられる。