problem)とは、未知関数のある点における値を初期条件として備えた常微分方程式のことを言う(コーシー問題とも呼ばれる)。物理学あるいは他の自然科学の分野において、あるシステムをモデル化することはある初期値問題を解くことと同義である場合が多い。そのような場合、微分方程式は与えられた初期条件に対してシステムがどのように時間発展するかを特徴付ける発展方程式と見なされる。}が付帯されたもののことを言う。ベクトルとするような高位の問題も含んでいる。要素としての新たな変数が導入される。バナッハ空間や超関数の空間などといった無限次元の空間上にも値を取りうる。解の存在と一意性[編集]広いクラスの初期値問題において、解の存在と一意性は計算機を用いることで示されることもある。含むある区間で一意に存在することを保証する。定理の証明は、与えられた初期値問題を同値な積分方程式に変換することにより行われる。その場合、積分はある関数を別の関数へ写す作用素として見なされ、その不動点が求める解となる。バナッハの不動点定理が適用されることにより、初期値問題の解であるような不動点の存在および一意性が示される。ピカール・リンデレフの定理の古い証明では、上述のような積分方程式に収束する関数列を構築することにより、その極限としての初期値問題の解を求めている。そのような証明手法はピカールの方法あるいは逐次近似法と呼ばれている。数学者の岡村博は、初期値問題の解が一意となるための必要十分条件を得た。この条件は、システムに対するリアプノフ関数が存在することを必要とする。C1級やリプシッツ連続ですらなく、解の局所的な一意存在性を保証するための一般的な結果が適用されないことがある。単なる連続関数であっても、解の時間に関する局所存在性が保証されることを示している。ここで問題となるのは、解の一意性の保証はされていない、ということである。2.6)[2]などで見られる。不連続である場合の解の存在を扱ったカラテオドリの存在定理が挙げられる。y(0)=19}からなる初期値問題の解を求める。{dy}{y}}=0.85dt}を得る。|y|=e^{B}e^{0.85t}}を得る。y=Ce^{0.85t}}を得る。y(t)=19e^{0.85t}}となる。これは「解が存在するとすれば上記の式で与えられる」ことの証明に過ぎない。実際に解になっていることが確かめられる。{y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}}と変形される。これに部分分数分解を行う。y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,}となる。{d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5\end{aligned}}}より、もとの微分方程式を満たす。,&(\#)\\y(0)=4&\end{array}}\right.}の解を逐次近似法によって求めよう。まで積分すると次の積分方程式を得る。_{0}^{x}2tdt\right)^{k}}となることが分かる。_{0}^{x}2tdt\right)\\&=4e^{x^{2}}\end{aligned}}}と求まる。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。