受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。2009年度第二問の解説なんか落とし物を届けたに行ったら、おっさんに唾かけられた気分や。名古屋大学文系2009年度第二問の解説[問題]放物線y=ax^2(a>0)と円(x-b)^2+(y-1)^2=1(b>0)が点P(p,q)で接しているとする。この円の中心Qからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をRとしたとき、∠PQR=120°であるとする。ここで、放物線と円が点Pで接するとはPが放物線と円の共有点であり、かつ点Pにおける放物線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。(1)a,bの値を求めよ。(2)点Pと点Rを結ぶ短い方の弧とx軸および放物線で囲まれた部分の面積を求めよ。[解答と解説]えっと放物線と円が点P(p,q)で接すると言うことは、点Pが共有点で点Pにおける接線の傾きが等しいことだから点Pが共有点よりq=ap^2(p-b)^2+(q-1)^2=1接線の傾きはy=ax^2の微分(ax^2)'=2axから点Pにおける傾きは2ap円の(p,q)における接線は(p-b)(x-b)+(q-1)(x-1)=1から傾きは-(p-b)/(q-1)やから2ap=-(p-b)/(q-1)これらを解いてまずq=ap^2(p-b)^2+(q-1)^2=1からq消去してa^2p^4+(1-2a)p^2-2bp+b^2=0...ってやってるとだら~ん血吐いて倒れます。血吐いてから倒れるんじゃなくて、倒れてから血吐きます。いう円が絡む問題は計算だけでやるんじゃなくて、図形的に解くのがポイントなことが非常に多いねんな。この問題はそういう図形的にやるやつの典型やと思うええ問題やと思うわ。図を書いてみると、ちょうど円はx軸と放物線の両方に接してることがわかります。それでまずは点Pが共有点になることは、PQ=1であればええねんけど∠PQR=120°やったからこのことも併せて図のような直角三角形を考えてP(p,ap^2),Q(b,1)やからb-p=cos30°ap^2-1=sin30°って式が立ちます。これでPQ=1と∠PQR=120°の両方の条件を表せてるねんな。それで次は接線の傾きが等しいって条件を式にせなあかんねんけど、これも図形的に言うと円において円の性質から直線PQと点Pにおける接線は垂直に交わりますやん。PQの傾き=tan150°=-1/√3やから円の点Pにおける接線の傾きmとすると(-1/√3)・m=-1⇔m=√3って点Pにおける接線の傾きが図形的に求まって、今度は放物線の点P(p,ap^2)における傾きは微分したらええから(ax^2)'=2axより2apでこの二つの傾きが等しくないとあかんから2ap=√3になります。b-p=cos30°ap^2-1=sin30°2ap=√3の三式からp=√3,a=1,b=3(√3)/2だからこういう風に円が出てくると、計算式だけでやるより図形的にやると格段に計算量が減って上手いこといくことが多いねんな。この問題で、こういう考え方とか勉強したってください。(2)面積はこれも図形的にパズルみたいに処理をするのがポイントで図のように求める面積のとこを斜線部を引くと斜線部=(四角形OPQR)-(QPRの扇型)でさらに四角形OPQRの方は三角形と台形にわけると計算出来るから斜線部=(四角形OPQR)-(QPRの扇型)=(図の三角形)+(図の台形)-(QPRの扇型)=1/2・√2・3/2+1/2・(3/2+1)・(√3)/2-π/3=9(√3)/8-π/3こういう説明をごちゃごちゃ書くより図を描くと言う解答の書き方とかも真似して身につけたってください。ちなみにこの問題はセンター試験数学IIB2002年度の第二問とほとんど同じやったりします。2009年度第一問の解説やさしいお兄さんたちと遊ぶ会に参加した時の話あるけど聞く?名古屋大学文系2009年度第一問の解説[問題]空間のベクトルOA→=(1,0,0),OB→=(a,b,0),OC→が、条件|OB→|=|OC→|=1,OA→・OB→=1/3,OA→・OC→=1/2,OB→・OC→=5/6をみたしているとする。a,bは正の数とする。(1)a,bの値を求めよ。(2)三角形OABの面積Sを求めよ。(3)四面体OABCの体積Vを求めよ。[解答と解説](1)この問題は内積とかベクトルの計算が出来るか?って言うようなことを聞いてきてます。a→=(x,y,z)とb→=(x',y',z')があると内積はa→・b→=xx'+yy'+zz'と計算してa→の長さ|a→|って言うのは|a→|^2=a→・a→と二乗して内積として解釈されてました。|OB→|^2=1⇔OB→・OB→=1⇔(a,b,0)・(a,b,0)=1⇔a^2+b^2+0^2=1⇔a^2+b^2=1またOA→・OB→=1/3⇔(1,0,0)・(a,b,0)=1/3⇔a=1/3でa=1/3をa^2+b^2=1に代入してbは正だからb^2=1-(1/3)^1=8/9よりb=(2√2)/3(2)OA→とOB→がわかってて、△OABの面積を求めろ言うたらS=1/2√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)=1/2√(1^2・1^2-(1/3)^2)=(√2)/3って求めてください。こんなマニアックな公式覚えてへんわ!って言う厳しい意見もありますが、これは意外にもよく出ててセンター試験でも結構使いこともありますが覚えてなくても普通に三角形の面積を求めようとしたら自然とこうなります。なんでか言うとOA→とOB→のなす角度をθとすると、OA→=a→,OB→=b→とおいて1/2|a→||b→|sinθが面積やけど、まずsinθがいるからこれは内積からcosθをまずは求めてcosθ=(a→・b→)/|a→||b→|それで0≦θ≦180°だからsinθ=√(1-(cosθ)^2)=√(1-((a→・b→)/|a→||b→|)^2)この値を計算してから1/2|a→||b→|sinθを計算したらええねんけど、これcosθをだすときに(a→・b→)/|a→||b→|と言うように|a→||b→|で割ってから、1/2|a→||b→|sinθでまた|a→||b→|をかけてるから微妙に二度手間なってますやん。数字を入れるのは最後にして、まずは文字のまま計算進めてみると1/2|a→||b→|sinθ=1/2|a→||b→|√(1-(a→・b→)^2/|a→|^2|b→|^2)=1/2√(|a→|^2|b→|^2-(a→・b→)^2)でここまで計算して|a→|と|b→|とa→・b→の値をいれたら計算がちょっと早いから自然とこの形になるわけやねんな。やって導きながら使ったらええねんけど、やっぱり覚えてしまったら便利で早いと思います。(3)まずOC→を求めて点Cの座標を求めたらええってことはわかります。そこから三角形OABの面積を(2)で求めさせられたからには体積Vを求める時に△OABを底面と考えて点Cの高さを求めるんちゃうかってとこまではゴルゴンゾーラやろ。高さを求めるには点Cから平面OABに垂線CHを降ろして○点は平面OAB上よりOH→=αOA→+βOB→(α,βは定数)○直線CH⊥平面OABよりCH→・OA→=0CH→・OB→=0と言うように式をたてて解くのがお決まりでした。図を描いてみたらそんなややこしいことせんでも平面OABはxy平面やから高さはCのz座標なだけってことに気づきます。なんか知らんけど図をかいてみるってことが大切やねん。大切と言うか、もう基本やな。考える前になんか知らんけど図をかいてみる。したらわかってくるねん。OC→=(X,Y,Z)とおくとOA→・OC→=1/2⇔X=1/2OB→・OC→=5/6⇔X/3+2(√2)Y/3=5/6|OC→|=1⇔X^2+Y^2+Z^2=1これらを解いて(X,Y,Z)=(1/2,(√2)/2,±1/2)Zは二つ出て来るけど、どっちでも高さ1/2になるから体積は同じです。2009年度第4問の(B)の解説そうか、君たちはパポられた子供たちか。名古屋大学理系2009年度第4問の(B)の解説[問題]x,yを正の正数とする。(1)2/x+1/y=1/4をみたす組(x,y)をすべて求めよ。(2)pを3以上の素数とする。2/x+1/y=1/pをみたす組(x,y)のうち、2x+3yを最小にする(x,y)を求めよ。[解答と解説]これは(因数分解された文字式)=(整数)と言う形にして整数の約数を考えて解く典型的な整数問題です。この整数問題...因数分解をする解法の記事を参照してやってくれ。この問題でやると2/x+1/y=1/4で4xyをかけて分数を無くしてxy-8y-4x=0これでまずはxかyかで整理します。次数が低い方で整理するのが基本ですが、これはどっちも同じやからどっちでもええねんけど、何となくxでやってみます。(y-4)x-8y=0これでxの係数がy-4yから-8yのとこを-8(y-4)にしたら因数分解出来そうです。すると32大きくなるから32を引いて帳尻をあわせます。(y-4)x-8(y-4)-32=0⇔(y-4)(x-8)=32これで(因数分解された文字式)=(整数)になりました。後は(x-8,y-4)の組は32の約数になって(x-8,y-4)=(1,32),(2,16),(4,8),(8,4),(16,2),(32,1),(-1,-32),(-2,-16),(-4,-8),(-8,-4),(-16,-2),(-32,-1)ってなるけどxとyは正の整数だからマイナスの方は不適です。やって全部調べて書いてしまったらええんけど、負の方はないって示すとしたらx-8<0とするとx-8とy-4は同符号やからy-4<0でx-8≧1-8=-7y-4≧1-4=-3で(x-8)(y-4)≦21となって32にはならないことがわかります。後は(x-8,y-4)=(1,32),(2,16),(4,8),(8,4),(16,2),(32,1)から(x,y)=(9,36),(10,20),(12,12),(16,8),(24,6),(40,5)(2)2/x+1/y=1/pさっきと同じように因数分解したらよくて、まずpxyをかけて分数をなくしてしまってxy-2py-px=0xについて整理して(y-p)x-2py=0次に-2pyでy-pをつくり出したらええから(y-p)x-2p(y-p)-2p^2=0⇔(y-p)(x-2p)=2p^2それで2p^2の約数はpが素数やから{1,2,p,2p,p^2,2p^2}の6つで(x-2p,y-p)=(1,2p^2),(p,2p),(p^2,2),(2,p^2),(2p,p),(2p^2,1),(-1,-2p^2),(-p,-2p),(-p^2,-2),(-2,-p^2),(-2p,-p),(-2p^2,-1)でx,yは正の整数だからマイナスの方は不適と書いたらええねんけど、さっきと同じで負の方はないって示すとしたらx-2p<0とするとy-p<0でx-2p≧1-2p,y-p≧1-pだから(x-2p)(y-p)≦(1-2p)(1-p)<2p^2より負の方はないことが示せるねんな。(x-2p,y-p)=(1,2p^2),(p,2p),(p^2,2),(2,p^2),(2p,p),(2p^2,1)で(x,y)を求めたら(x,y)=(1+2p,2p^2+p),(3p,3p),(p^2+2p,2+p),(2+2p,p^2+p),(4p,2p),(2p^2+2p,p+1)この問題はここで終わりじゃなくて、このうち2x+3yが最小になるやつを求めろってややこしいことを聞いてきてます。こっちは疲れてるのにな。家帰って、ママに膝枕してもらって寝たいわ。それぞれの組に対して2x+3yの値を求めると順に6p^2+7p+2,15p,2p^2+7p+6,3p^2+7p+4,14p,4p^2+7p+3このうち最小のものを求めろ...オイッチニオイッチニってなりそうやけど、まだこうなるには早いねん。一般的に男性が持つような欲求が自分にあるのは認識しているが、これくらいは通常の常識の範囲内なわけや。そこで処理の仕方とかコツを学んでいって欲しいねんな。6p^2+7p+2,15p,2p^2+7p+6,3p^2+7p+4,14p,4p^2+7p+3を見比べると、明らかなのが15p>14pや。それでp≧3やったからp^2≧3pですやん。これを使えばpの2次式でも14pと比べられそうやろ。いうダイナミックな評価は大学の解析の問題とかでもよく使うから、こんなやり方あったなって覚えといてくれ。こんなん思いつかんわじゃなくてこういう処理の仕方をすればいいのか、覚えておこうって感じや。6p^2+7p+2≧6・3p+7p+2=25p+2>25p3p^2+7p+4≧3・3p+7p+4=16p+4>16p4p^2+7p+3≧4・3p+7p+3=19p+3>19pでこれらは14pより大きいことがわかるようになりました。2p^2+7p+6は同じようやると2p^2+7p+6≧2・3p+7p+6=13p+6>13pと言うように14pより大きいと示されへんねん。これだけ別個に調べる必要があって2p^2+7p+6-14p=2(p-7/4)^2-1/8だからpは素数やけど実数の範囲で考えてみるとy=2(x-7/4)^2-1/8(x≧3)の二次関数はグラフを書くと定義域が軸より右側だから単調増加でx=3で最小値3をとるから素数の範囲でもp≧3より2p^2+7p+6-14p=2(p-7/4)^2-1/8≧3>0で2p^2+7p+6>14pがわかりました。最小値は14pで対応してる(x,y)は(4p,2p)です。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。