雨が最近よく降りますね。これは最近、よく雨が降るってことかもしれんな。2016年度第II問の確率のいっときます。[問題]n枚のカードの表(おもて)面に相異なる整数値が書かれている。どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない。はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている。ここから1枚ずつ好きなカードをめくっていき、書かれている数値がn枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる1人ゲームを考える。n枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合、次にめくるカードがないのでゲームは終了である。ゲームの勝敗は、最後にめくったカードに書かれていた数値がn枚のカードの中で最大であれば勝ち、そうでなければ負けとする。n未満の自然数kについて以下の戦略S_kを考える:はじめのk枚までは必ずめくり、そのk枚に書かれていた数値のうち最大のものをMとする。k+1枚目以降でMより大きな数が書かれたカードをめくったら、ただちにめくるのをやめる。戦略S_kにしたがって場合に、このゲームに勝つ確率をP_n,kとする。(1)P_3,1を求めよ。(2)iをk+1以上、n以下の整数とする。戦略S_kにしたがった場合に、ちょうどi枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ。(3)nが十分に大きいとき、戦略S_kを使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう。nに対してどのくらいのkを用いるかによって勝てる確率は変わる。簡単にするため、n=3pの場合を考える。このときk=pとして、極限値lim(p→∞)P_n,kを求めよ。[解答と解説](1)これはルールを把握するためにも、誘導がなくても具体的な値で考えてみたいとこやな。3つのカードなら並べ方が3!の6通りしかないから全部書いてもたらええわ。あかんやつこの6つが同様に確からしい(確率が全て等しい)から、(ええやつ通り)/(全通り)を求めたらええねん。ええやつは6つのうち3つより3/6=1/2やな。(2)i枚目にちょうどカードをめくって勝つにはあれですね。カードを小さい順に1,2,3,...,nとして最初のk枚a_1,a_2,...,a_kとして、最大のをmとするやろ。それでそのk枚の選び方はn_C_k通りやろk+1枚目から、i-1枚目までをa_(k+1),...,a_(i-1)として選び方は(n-k)_C_(i-k-1)やろ。a_m>a_(k+1),a_(k+2),...,a_(i-1)となるのは......って考えてると六つ子ふにゅ、イケメン化F6でお蔵入りになります。いうのはな、最初から一般化で考えるとわかりにくかったりするねん。具体的にやってみてから、一般化を掴でいくとええやろな。(1)で実際に、具体的にやらされてるしな。言うことでn=8,k=3,i=6で考えてみよか。あかんやつ最後が8のやつしかあかんやろ。□□1のうち□□□□□8のとこにしかないねん。そのうち1枚目から7枚目までで、最大のものが最初の3枚目までに出てこないとあかんな。□△8これで全部やな。やって全部描くと、どの並びも同様に確からしいに注目しやすくなるねん。したら(ええやつ通り)/(全通り)を求めればええことになるやろ。すると1/8の□□□□□8のうち△が最初の三つに入ってる割合3/5より1/8×3/5と求められるねん。言うことで後は一般的に書けばよくてi枚目がnなのは1/nそのうち1枚目からi-1枚目から最大の△が1枚目からk枚目になっているものはk/(i-1)なので1/n・k/(i-1)=k/(n(i-1))と求まります。やって図で全部書く感じで書いたら伝わりやすいやろな。言うとi枚並べると同様に確からしい(確率が等しい)と言うことはただの場合の数の問題になるから順番をかえて数えたらよくなるねん。条件が厳しい順に決めていってi枚目はnで確率1/n1枚目からk枚目までにlは場所がk通りの確率1/(n-1)他は単にl-1以下を並べていけばええから1/n・1/(n-1)・(l-1)/(n-2)・(l-2)/(n-3)・...・(l-(i-2))/(n-(i-1))これでlはi-1からn-1まで足せばええねん。ややこしく見えるけど、(l-1)(l-2)...(l-(i-2))は連続i-2整数の積やから、このΣは1/(i-1)・{l(l-1)(l-2)...(l-(i-2))-(l-1)(l-2)...(l-(i-2))(l-(i-1))}で階差数列にして簡単にΣ計算できるわけやな。これで普通に計算してくれたらええわ。これは説明がしやすくて満点がとりやすそうなのがええな。(3)これはただの区分求積やから余裕やな。写真見といてください。いやあ、それにしても横浜市立医学部の確率は毎回結構大変やな。|プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。