受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。ベクトルの問題、大阪大学2009年度理系第4問の解説ベクトルの問題ってよう考えたら、棚なんやろな。わけわからんこと言いだしたでこれ。大阪大学2009年度理系第4問のベクトルの問題を解説します。[問題]平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。a→=OA→/|OA→|,b→=OB→/|OB→|とおき、点Pをa→・OP→=-b→・OP→>0であるようにとる。直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。(1)MQ→とb→は平行であることを示せ。(2)|MQ→|=(|OA→|+|OB→|)/2であることを示せ。[解答と解説]数学は考える前に図を書くのコツっていつも言ってますが、ベクトルの問題では考える前に式にしてみ?って感じが多いです。式にしてみ?って感じです。式にしてみ?ほら、式にしてみ?今はよ解説せい!ってしばかれそうになった。a→とb→を基本ベクトルにあらわしていきます。単位ベクトルやから|a|=1,|b|=1に注意しとったってください。MQ→=OQ→-OM→でOM→=(OA→+OB→)/2=(|OA→|a→+|OB→|b→)/2ですが、後はOQ→をa→,b→であらわすことを考えます。α+(α+β)a→・b→+β=0⇔(α+β)(1+a→・b→)=00<∠AOB<πだから-1=-|a→||b→|<a→・b→<|a→||b→|=1より1+a→・b→>0だからα+β=0よってOP→=αa→+βb→=β(b→-a→)点Qは直線OP上の条件からOQ=kOP→(kは実数)って置けますが、OP→=β(b→-a→)だからOQ=k(b→-a→)(kは実数)って置いたほうが便利です。AQ⊥OPの条件からAQ→・OP→=0⇔(OQ→-OA→)・(b→-a→)=0⇔(kb→-ka→-|OA|a→)・(b→-a→)=0⇔(kb→-(k+|OA→|)a→)・(b→-a→)=0⇔2k+|OA→|-(2k+|OA→|)a→・b→=0⇔(2k+|OA→|)(1-a→・b→)=0ここでも-1=-|a→||b→|<a→・b→<|a→||b→|=1より1-a→・b→>0だから2k+|OA→|=0k=-|OA→|/2これでOQ→=|OA→|(a→-b→)/2と表されて、MQ→=OQ→-OM→=|OA→|(a→-b→)/2-(OA→+OB→)/2=-(|OA→|+|OB→|)/2だからMQ→//b→で|MQ→|=(|OA→|+|OB→|)/2こうやって、ベクトルは考える前にまず条件をどんどん式に置き換えて機械的に計算するのがコツです。いうわけではなく図形的にやるべき問題もありますが、まずはこの機械的に計算できるようになっておくのがベクトルでは基本だと思います。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/254-11004b76この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。