受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。センター試験数学1の2010年度第4問の数と式の問題の解説リクエストに答えてセンター試験の数学1Aじゃなくて数学1の方の解説しますわ。数学1は初めてやけど、結構面白いもんやな。センター試験数学1Aの2010年度題4問の数と式の問題の解説[問題]m,nを自然数とし、1<m<nとする。α=√m-√(m-1),β=√n-√(n-1)とおく。S=αβ+α/β+β/α+1/(αβ)とおく。(1)m=3,n=6のときα+1/α=[ア]√[イ],β+1/β=[ウ]√[エ]であり、S=[オカ]√[キ]である。(2)S=8√3ならば,mn=[クケ]である。このときm=[コ],n=[サ]またはm=[シ],n=[ス]である。[コ]<[シ]とする。α^2β^2+α^2/β^2+β^2/α^2+1/α^2β^2=500が成り立つのは、m=[セ],n=[ソタ]のときである。[解答と解説](1)まずは普通に分母を有理化して計算してみα+1/α=√3-√2+1/(√3-√2)=√3-√2+(√3+√2)/(3-2)=2√3β+1/β=√6-√5+1/(√6-√5)=√6-√5+(√6+√5)/(6-5)=2√6α+1/αとβ+1/βを求めさせておいて、Sを計算させるってことはSはこういう形にたぶんなるんやろな。因数分解の基本として次数の低い文字で整理してみるってことやけど、αもβも次数は同じやからαで整理してみるとS=(β+1/β)α+(β+1/β)1/α=(β+1/β)(α+1/α)これでS=(2√3)(2√6)=12√2(2)これ(1)からα+1/α=2√m,β+1/β=2√nなんちゃうかって思うやんな。思わんかったら、まあ提灯振り回して廊下を歩いて下さいって感じやねんけど。実際にα+1/α=√m-√(m-1)+1/(√m-√(m-1))=√m-√(m-1)+(√m+√(m-1))/(m-(m-1))=2√mβ+1/β=2√nそれでS=(α+1/α)(β+1/β)やったから8√3=(2√m)(2√n)⇔2√3=√(mn)⇔mn=1212の約数は{1,2,3,4,6,12}で1<m<nやから(m,n)=(2,6),(3,4)の場合だけです。(1)の解き方をヒントにしていくのがコツやねんな。後はmn=12とか言う式の場合、mとnが整数なら12の約数しか入らないから取り合る値は限られてくるねんな。いう整数問題の解き方を覚えておいてください、(3)α^2β^2+α^2/β^2+β^2/α^2+1/α^2β^2=500の左辺の式はαβ+α/β+β/α+1/αβに似てるから、とりあえず同じような因数分解すると(α^2+1/α^2)(β^2+1/β^2)=500それでこれにα=√m-√(m-1)とか代入していってもええねんけど、もう少し前の結果が使えてα^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2β^2+1/β^2=(β+1/β)^2-2だからα^2+1/α^2=(2√m)^2-2=2(2m-1)β^2+1/β-2=(2√n)^2-2=2(2n-1)こうやってαと1/αの積は1だからそれを使ってα^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2みたいな変形はよくやります。これで(α^2+1/α^2)(β^2+1/β^2)=500⇔2(2m-1)2(2n-1)=500⇔(2m-1)(2n-1)=125125の約数は{1,5,25,125}の4つだけで1<m<nより1<2m-1<2n-1だから(2m-1,2n-1)=(5,25)⇔(m,n)(3,13)しかあり得ないことになります。数学1も新鮮でええな。小箱を見てたらキレそうになるな。センター試験数学2B、2010年度の第4問のベクトルの問題の解説[問題]二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、∠EAB=∠DAB=π/2,∠EAD=π/3である。AB→=p→,AD→=q→,AE→=r→とおく。0<a<1,0<b<1とする。辺ABを辺a:(1-a)の比に内分する点をX,辺BFをb:(1-b)の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をαとする。(1)p→・q→=p→・r→=[ア],q→・r→=[イ]/[ウ]である。ベクトルXY→は,a,b,p→,r→を用いてXY→=(1-[エ])p→+[オ]r→と表される。EC→・XZ→=[カ]である。(2)直線ECと平面αが垂直に交わるとし、交点をKとする。EC→が三角形XYZの2辺と垂直であることから、[キ]a+b=[ク]が成り立つ。以下では、b=1/2とする。このときa=[ケ]/[コ]である。EK→を実数cを用いてEK→=cEC→と表すと、AK→=AE→+cEC→である。点Kは平面α上にあるから、AK→は実数s,tを用いてAK→=AX→+xXY→+tXZ→=(1/[サ]・s+[ケ]/[コ])p→+tq→+(1/[シ]・s+t)r→と表される。これらより,C=[ス]/[セ]である。よって、点Eと平面αとの距離|EK→|は([ソ]√[タ])/[チ]となる。[解答と解説]わかりやすく言うと、サイコロを一組の対面してる面をくり抜いて人差し指でぐにゅにゅ!ってこれ以上はもうおかしくなるってとこまで押した感じの図形です。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点がZよりXZ→=AH→=q→+r→よってEC→・XZ→=(p→+q→-r→)(q→+r→)=p→(q→+r→)+(q→-r→)(q→+r→)=0これは直交してたみたいやな。いう直交するあれやったってことか。(2)、(1)の流れを考えて平面αはXZ→とXY→であらわせて直線ECがこの二つのベクトルが等しければ平面α⊥直線ECでした。EC→とXZ→の内積は0やったからこれはすでに垂直です。後はEC→・XY→=0が成り立てばええねん。EC→・XY→=0⇔(p→+q→-r→)・((1-a)p→+br→)=0⇔(1-a)+b/2-b=0⇔2a+b=2b=1/2とすればa=3/4です。これは、鼻水垂らしながらお茶漬け食べててもわかります。⇔AK→=AX→+sXY→+tXZ→=ap→+s{(1-a)p→+br→}+t(q→+r→)=(s/4+3/4)p+tq→+(s/2+t)r→これでさっきの式とp→,q→,r→は一次独立だから定数比較してc=s/4+3/4c=t1-c=s/2+tこれを解いてc=5/8だからEK→=(5/8)EC→で|EK→|=(5/8)|p→+q→-r→|=(5/8)√(1+1+1+2・0-2・1/2-2・0)=(5√2)/8ベクトルの問題としてかなりよくある問題で、解き方が身に付いてたら全然考えることなくぶーわーやってたらなんか知らんけど出来ると思います。これくらいの解法は暗記したってください。今からドラえもんとしばきあいしてもらいます。センター試験2010年度数学2Bの第3問の数列の問題の解説をします。[問題]自然数の列1,2,3,4,...を,次のように群に分ける。第3群ここで,一般に第n群は(3n-2)個の項からなるものとする。第n群の最後の項をa_nで表す。(1)a_1=1,a_2=5,a_3=12,a_4=[アイ]である。(n=1,2,3,...)である。よって,600は,第[コサ]群の小さい方から[シス]番目の項である。(2)n=1,2,3,...に対し,第(n+1)群の小さい方から2n番目の項をb_nで表すとb_n=[セ]/[ソ]・n^[タ]+[チ]/[ツ]・nであり1/b_n=[テ]/[ト]・(1/n-1/(n+[ナ]))が成り立つ。(n=1,2,3,...)となる。[解答と解説]群数列ネタとかベタベタなんが出てきたな。群数列はだいたい第n群の1番目は全体で何項目なのかを出すと上手くいくねんけど、この問題では第n群の最後の項をa_nとしてこれを求めさせてるみたいやです。(1)a_3=12より3群目の最後の項のは全体で12項目で4群は(3・4-2)=10項あるから4群目の最後の項は全体で12+10=22項目だからa_4=22です。同様にして第n群は(3n-2)項あって第n-1群の最後の項は全体でa_(n-1)項目だから第n群の最後の項は全体でa_(n-1)+(3n-2)項目よってa_n=a_(n-1)+(3n-2)⇔aa_n-a_(n-1)=3n-2よって階差数列だからn≧2の時a_n=a_1+Σ(k=2~n)(3k-2)=Σ(k=1~n)(3k-2)=1/2・n・(1+(3n-2))=3n^2/2-n/2等差数列の和は1/2×(項数)×(初項+末項)で出すのが若干早いかもな。これでn=1を代入すえるとa_1=1よりn≧1でも成立。600は第n群の小さい方から何番目かってことですが、これもよくあるパターンでまず何群目かを出してから、その群の中で何番目かを計算してます。600が第n群であるとするとa_(n-1)<600≦a_n⇔3(n-1)^2/2-(n-1)/2<600≦3n^2/2-n/2これを実際にはどうやって解くかと言うと、厳密にやろうとしてどるああー!!って脳を損傷するくらい計算しまくるんじゃなくて3n^2/2-n/2は3n^2/2の方がn/2より次数が大きいから3n^2/2の方が数字がはるかに大きいわけで、だいたい3n^2/2の値に近いはずです。3n^2/2=600としてみるとn^2=400⇔n=20で、だいたいn=20辺りを調べてみるとええと検討をつけるのがコツやねん。するとa_20=3・20^2/2-20/2=600-10=590これは600より小さい。a_21=3・21^2/2-21/2=651これは600より大きい。a_20<600≦a_21で600は第21群目にあることがわかります。それで600は小さい方から何番目かは、第n群で小さい方からm番目はa_(n-1)+mって表せるからa_20+m=600⇔m=600-590=10(2)b_nは第(n+1)群の小さい方から2n番目ってことやからb_n=a_n+2n=3n^2/2-n/2+2n=3n^2/2+3n/2これの逆数をとって1/b_n=1/(3n^2/2+3n/2)=2/{3n(n+1)}=2/3(1/n-1/(n+1))と言うように部分分数分解してくれってことみたいやな。後は和を求めたらよくて部分分数で階差数列の和になってるから足すと最初と最後の項が残ってΣ(k=1~n)1/b_k=Σ(k=1~n)2/3(1/k-1/(k+1))=2/3・(1-1/(n+1))=2n/(3n+3)まあよくある問題のパターンそのまんまなので、ちゃんと勉強した人なら余裕やと思います。解けない人は単に、解き方を知らないだけで覚えたら終わりです。群数列を知らない子供たちって言うんかな。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。