受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。最近セイロガンを鼻に詰めないでって感じです。それでは今回も行列の典型的な一次変換の問題です。練習問題に使ってやってください。電気通信大学2009年度昼間コース前期第四問の解説。cos(π/4)です。回転行列ってやつやな。rcosθsinα+rsinθcosα)=(rcos(θ+α),rsin(θ+α))で加法定理から確かにα回転してます。(ii)円上にあると極座標であらわすと円上である情報が直接的にあらわれるから、最大値とか考えるときに使いやすいです。sin(θ+π/4))だからf=4(x')^2+2(y')^2=4(cos(θ+π/4))^2+2(sin(θ+π/4))^2=2+2(cos(θ+π/4))^2だから(cos(θ+π/4))^2=1つまりθ=3π/4,7π/4の時つまりP(x,y)=(-1/√2,1/√2),(1/√2,-1/√2)の時、最大値4をとる。何回つまり言うとんねん。(iii)ただ単に計算するだけやな。(x+y)/√2)でf=4(x')^2+2(y')^2=3x^2-2xy+3y^2だからax^2+2bxy+cy^2=3x^2-2xy+3y^2が恒等的に成り立たなあかんねん。y)これ計算してg=10k+3-2(6k+1)xyこれがC上のどんな(x,y)に対しても定数にならなあかんってことやねんけど、まあもうちょっと言うならg=10k+3-2(6k+1)cosθsinθ=10k+3-(6k+1)sin2θがどんなθに対しても定数になるってことやから、明らかに6k+1=0じゃないとあかんことはわかります。それをどう説明するかやけど、さっきの恒等式の発想から言うと-1≦t≦1に対してdを定数として-(6k+1)t+10k+3=dが恒等的に成りたつから-(6k+1)=010k+3=dよりk=-1/6d=4/3か、-1≦t≦1って範囲があっても恒等式の性質を使って係数を比べていいと言うのはtの次数は1次で2個以上の値で成り立つからと言うことを言う必要があるのか自明とするべきかちょっと迷うとこやな。書いても減点されることはないが、書いてなかったら減点される可能性はあるから書いてたら安全やねんけど。それか数値代入法を使ってt=0の時,g=10k+3、t=1の時4k+2、常に定数ならばこれらが等しいことが必要だから10k+3=4k+2よりk=-1/6でg=4/3で実際に定数となっているからオッケーと言うことになります。数値代入で出てきた条件は必要条件やから、もっかい代入して恒等的に成り立ってると書かなあかんのがちょっと注意かな。確率と漸化式の融合問題と言えば、何か切なくなって胸が苦しくなる人がいるけど何も言わずにただ抱擁してやってください。コース前期2009年度の第三問の解説[問題]右の図で、P-Q-RはじめQにいて、さいころを投げるごとに,次の2つの規則に従って移動するものとする。\1Qにいるとき,さいころの偶数の目が出たらPに,奇数の目が出たらRに移動する。2PあるいはRにいるとき,さいころの3または6の目が出たらQに移動し,それ以外の数の目が出たらその場にとどまる.n回さいころを投げて移動した後にP,Qにいる確率を,それぞれp_n,q_nとする.以下の問いに答えよ.(配点50)\\(i)p_1,q_1,p_2,q_2を求めよ.(ii)q_(n+1)をq_nを用いて表せ.(iii)p_nをq_nを用いて表せ.(iv)p_n,q_nを求めよ.(v)極限値lim(n→∞)p_n,lim(n→∞)q_nを求めよ.[解答と解説](i)p_1を求めるには最初Qにいて、Pに移動する確率やから目が偶数の2,4,6が出たいいから確率はp_1=1/2q_1は最初Qにいて、さいころを投げてQのままの時やけど絶対次はPかRに動くからQにおいてたら横のおっさんに「あぅくとったら、しゃあったろか!」って意味わからんこと言われてしばかれます。q_1=0p_2を求めるには2回目にPにいる時であって、そうなるのは1回目Q→2回目P1回目P→2回目Pの二つの場合があるけど1回目Qは確率0やったからこの流れは無くて、1回目Pの時に3と6以外の目つまり1,2,4,5の目が出たら2回目もPのままやからp_2=p_1×4/6=1/3q_2を求めるには2回目にQにいる時であって、そうなるのは1回目P→2回目Q1回目R→2回目Qの二つの場合があるけど1回目Pで2回目Qに移動するには3か6の目やから確率2/6で移動します。この流れはp_1×2/6=1/61回目Qから2回目Qのままは起こらなかったから考えなくてよくて、1回目Rで2回目Qに移動するには3か6の目やから確率2/6で移動します。1回目Rにいるのは余事象考えてQでもPでもない1-q_1-p_1でこの流れは(1-p_1-q_1)×2/6=1/6だから結局q_2=1/6+1/6=1/3で求まりました。最初にn回目にRにいる確率をr_nとおいてp_n+q_n+r_n=1と書いた方が解答を書きやすいと思います。(ii)いよいよ漸化式を立てろって問題やな。(i)で具体的にn=1,2でやってみて、それをヒントに一般的なnやってみるってことです。コツはn回目とn+1回目の関係を図で書いて考えることかな。n+1回目にQにいるのはn回目P(p_n)→n+1回目Qn回目R(r_n)→n+1回目Qでどちらも確率1/3で移動します。q_(n+1)=p_n×1/3+r_n×1/3=p_n/3+(1-p_n-q_n)/3=(1-q_n)/3こういう図の書き方と、それを見て式を立てる方法を身につけて欲しいとこやな。(iii)q_nとq_(n+1)の関係は求まっていてp_n+q_n+r_n=1やって後はr_nはPとRの対称性から確率は一緒やからp_n=r_nなのでp_n+q_n+p_n=1⇔p_n=(1-q_n)/2こうやって、余事象とか対称性で確率が同じになるのをよく考えます。(iv)漸化式を解いたらオッケーです。これは数列の範囲やな。鼻水が出るとのが寂しいことのように感じるこの頃ですね。今回は微積分のよくある標準的なグラフの問題です。2009年度2月1日実施[問題]f(x)=1/(1+e^(2x-1))(-∞<x<∞)とおく。]をうめ、設問(2),(3)に答えよ。(1)f(x)の導関数f'(x)はf'(x)=[1]であり、f(x)の2次導関数f''(x)はf''(x)[3]/(1+e^(2x-1))^2である。曲線y=f(x)には、変曲点が1つある。変曲点の座標は[3]である。曲線y=f(x)には、漸近線が2本ある。そのうちの1つは,y=0である。一方の漸近線の方程式は[4]である。(2)曲線y=f(x)の増減表を記述蘭にかき、変曲点と漸近線が分かるように、y=f(x)のグラフの概形を解答用紙の[5]にかけ。(3)[4]で求めた漸近線,y軸,直線x=1と曲線y=f(x)によって囲まれてできる領域の面積を求めよ(解答は記述蘭にかけ)。[解答と解説](1)まずf(x)の微分です。1+e^(2x-1)で微分してから、1+e^(2x-1)をxで微分です。f''(x)を求めるのはこういうf'(x)=-2e^(2x-1)/(1+e^(2x-1))^2のような分数関数の微分は結構大変なとこでよく計算間違いしますが、こういう答えしか受け付けませんって言わんばかりの問題は逆に恐いとこです。分数関数f(x)/g(x)の微分(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2にあてはめて計算したってください。変曲点はあるとすればf''(x)が0になるとこでf''(x)=0になるのはe^(2x-1)のとこが0の時だけ、つまり2x-1=0⇔x=1/2の時だけだからこれがf(1/2)=1/2で(1/2,1/2)が答えです。穴埋めやからこれでええねんけど、記述式ならこれは不十分でした。変曲点はf''(x)の符号が切り替わる点であって,0だからと言って変曲点とは限りません。f''(x)=(x-2)^2やったら、f''(2)=0やけどf''(x)=(x-2)^2≧0やからずっと上に凸な関数で凹凸がx=2で切り替わってません。本当は増減表を書いてもて、変曲点はx=1/2のとこって言うのが一番明確やねんけど簡易的に書くとしたらf''(x)=0⇔x=1/2f''(x)>0⇔x>1/2f''(x)<0⇔x<1/2でx=1/2のとこでf''(x)の符号が切り替わってることを書いておけばええかな。漸近線はy=0の方はx→∞の方の極限やから、もう一つはx→-∞の方を考えたらよくてe^(2x-1)→0やからlim(x→-∞)f(x)=1/(1+0)=1でy=1がもう一つの漸近線です。(2)増減表を書いてグラフを描いたってください漸近線と変曲点も書き入れといてな。(3)求める面積は0≦x≦1のとこでy=1とy=f(x)にはさまれた部分でS=1-∫(0→1)1/(1+e^(2x-1))dxを求めたらオッケーです。来たら、だいたいe^xの関数やったらt=e^(2x-1)とか置換したらだいたい上手く行くかな。t=e^(2x-1)からdt=2e^(2x-1)dx⇔dt/(2e^(2x-1))=dxやけど左辺はtの関数にしたいとこやからe^(2x-1)をもっかいtに書き換えるのがコツでdt/(2t)=dxそれでx|0|...|1|t|1/e|...|e|後は計算してS=1-∫(1/e→e)1/(2t(1+t))dtこの積分は1/(t(t+1))=1/t-1/(t+1)と言うように部分分数にしたらよかったですね。こんなことオレが言うまでもなかったか。答えは1/2になります。きれい過ぎて不安になる値やな。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。