2010年度理系第5問文系,第4問共通問題の解説やっぱり女は恐いな。東京大学2010年度理系第5問、文系第4問の解説します。[問題]Cを半径1の円周とし,AをC上の1点とする。3点P,Q,RがAを時刻t=0に出発し,C上を各々一定の速さで,P,Qは反時計回りに,Rは時計回りに,時刻T=2πまで動く。P,Q,Rの速さは,それぞれm,1,2であるとする。(したがって,QはCをちょうど一周する)ただし,mは1≦m≦10をみたす整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。[解答と解説]円の中心をO(0,0),A(1,0)として座標を置いていって条件を数式化したら良さそうやな。P(cos(mt),sin(mt)),Q(cost,sint),R(cos(-2t),sin(-2t))△PQRがPRを斜辺とする直角三角形ってことはPR^2=PQ^2+RQ^2かつPQ=RQかつP≠Q,Q≠R,R≠Pそれで式を整理していってと。PR^2=PQ^2+RQ^2⇔(cos(-2t)-cos(mt))^2+(sin(-2t)-sin(mt))^2=(cos(mt)-cost)^2+(sin(mt)-sint)^2+(cost-cos(-2t))^2+(sint-sin(-2t))^2⇔2-2cos(mt+2t)=2-2cos(mt-t)+2-2cos3t...とりあえずPQ=RQも整理してみると2-2cos(mt-t)=2-2cos3t⇔cos(mt-t)=cos3t⇔(m-1)t=±2t+2nπ...ってこんなことをやってると希望ある未来を見ることが出来ずこういう間違った方向に向かいます。オレも一時期、数学が出来るようにするために瞑想してたら、親に「これがあかんのか!」ってネットが出来ないようにパソコン捨てられそうになりました。瞑想で出来るようになるわけもなく、数年後、もっと戦略的で現実的な勉強してたら大学の数学も東大と京大の大学院と、数理解析研究所って言う東大や京大で数学が出来る人の10人ぐらいしか採らないところの筆記試験に合格しました。その経験をまとめたのがわんこら式なんで、また良かったら試してください。話は戻って、東大の問題はこうやって数式化していくことで解けたかと言うと、そうでないことがほとんどでした。言うよりも、もっと図形的に考えて式を簡単にしていくパターンが多いわけや。中学生的な図形的知識を使って簡単にすることが多くて中学生的に解くって言うイメージやな。そもそもは計算ミスを無くす方法に書いてるように、計算が難しくならないようにもっていくのがコツやしな。この問題の解き方で、その考え方のパターンを覚えて欲しいねん。図を書く以外にはじまらへんねん。するとPRが斜辺となる直角三角形は○PRが直径になる○PQ=QRであれば良いってことがわかるねん。PRが直径ってことは∠PORがπって言うような話にもっていけそうやんな。言うことは三角関数とか難しいことをやるんじゃなくて、単に角度だけの話に持って入ったらええんちゃうかって思うと、PQ=QRって言う条件は角度の条件になおせば∠QOR=π/2であればよいってなりますやん。これで角度だけ考えればええことになりました。やって、中学生的に解くんがコツやねん。自分の計算能力に頼ろうとするんじゃなくて、計算が簡単になるようにもっていくわけや。∠QOR=π/2であればええねん。⇔6t=(2l-1)π...2かなり式が簡単になりました。後は整数問題になってくるわけやな。それで解き方やけど、単純にtを消去して6(2k-1)=(m+2)(2l-1)とやってm,k.lは全部自然数やから、2l-1と2k-1は奇数やからm+2は偶数で...って言うように整数問題のテクニックを駆使しまくっても解けます。さっきと同じ考えやけど自分の腕に頼るんじゃなくて、簡単になるように持っていって欲しいねん。整数問題で範囲を絞って、後はシラミ潰しって言うパターンがあったやん。やって簡単になるように持っていって欲しいねん。⇔1≦2l≦13⇔l=1,2,3,4,5,6ってlの値が6個しかないことがわかるやん。これで一つ一つ入れて調べていったら終わりなだけですやん。(i)l=1の時2からt=π/6これを1に代入してm+2=6(2k-1)⇔k=(m+8)/12これでkが自然数になるには、mに1から10まで全部入れて考えてみるとm=4だけですわ。明らかに見ただけでm=4か8やからこの二つ調べたらええねんけど。(ii)l=2の時2よりt=π/21からm+2=2(2k-1)⇔k=(m+4)/4kは自然数よりm=4,8ほんま単純作業ですわ。やったら、頭痛めなくて簡単やろ。(iii)l=3の時2よりt=5π/61から5(m+2)=6(2k-1)⇔k=(5m+16)/12kは自然数やからm=4って決まり(iv)l=4の時2よりt=7π/61から7(m+2)=6(2k-1)⇔k=(7m+20)/12kは自然数やからm=4に決まりました。(v)l=5の時2よりt=3π/21から3(m+2)=2(2k-1)⇔k=(3m+8)/4kは自然数よりm=4,8(vi)l=6の時2よりt=11π/61から11(m+2)=6(2k-1)⇔k=(11m+28)/12kは自然数やからm=4だけ後は全部まとめて(i)~(vi)より(m,t)=(4,π/6),(4,π/2),(8,π/2),(4,5π/6),(4,7π/6),(4,3π/2),(8,3π/2),(4,11π/6)ふにゅふにゅ。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/419-457c6197この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。