受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。原点対称な関数の積分の問題、京都大学2006年度理系第3問文系第4問の文理共通の解説うんこする前に解説しとこか。京都大学2006年度前期の理系第3問文系第4問の文理共通問題の解説です[問題]関数y=f(x)のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。このグラフのx≦0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときx=-1におけるこの関数の接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。[解答と解説]全然難しくはないですが、一つ言うなら原点対称がちょっと珍しいぐらいやと思う。後はもう積分の問題によくあるパターンやな。関数はx≦0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致していると言うことで軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とする放物線からf(x)=a(x+1/2)^2+1/4(a≠0)とおけます。これが原点を通から0=a/4+1/4⇔a=-1ってaの値が求まります。これでx≦0の部分はf(x)=-(x+1/2)^2+1/4=-x^2-xって求まりました。x≧0の部分はこれを原点について対称移動したグラフなわけやからxを-xへ、yを-yへ置き換えたらよくてf(x)=(-(-x)^2-(-x))=x^2-xと求まります。x=-1における接線を求めなあかんから、x≦0の部分を微分してf'(x)=-2x-1やからx=-1における接線はy=f'(-1)(x+1)+f(0)=x+1積分するためにf(x)のx≧0の部分との交点を求めておいてx+1=x^2-x⇔x^2-2x-1=0x≧0からx=1+√2グラフを書いて後は積分をするだけや。∫(-1,0)(x+1-f(x))dx+∫(0,1+√2)(x+1-f(x))dx=∫(-1,0)(x+1)^2dx+∫(0,1+√2)(-x^2+2x+1)dxで、なんやかんやで2+(4√2)/3になります。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/315-efbce295この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。