受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。積分の問題...東京大学2011年度文系第1問の解説さて、今からどてらすけど覚悟してくれ。それどういう意味やねん。東京大学2011年度文系第1問の解説[問題]xの3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dが,3つの条件f(1)=1,f(-1)=-1,∫(-1,1)(bx^2+cx+d)dx=1を全て満たしているとする。このようなf(x)の中で定積分I=∫(-1.1/2){f''(x)}^2dxを最小にするものを求め,そのときのIの値を求めよ。f''(x)はf'(x)の導関数を表す。[解答と解説]東大文系で積分の問題が出たら「普通に解く!」がパターンです。ほんまこれは毎年のように出るな。他の大学と違って何かテクニックを使うとかじゃないねん。やって普通に解くと思うだけで、だいぶん解きやすくなるから過去問やりまくって覚えて下さい。したら...やっていきますか。条件を全部式に表します。∫(-t,t)偶関数dx=2∫(0,t)偶関数dxと∫(-t,t)奇関数dx=0を使って2b/3+2d=1またf'(x)=3ax^2+2bx+cf''(x)=6ax+2bI=∫(-1,1/2)(6ax+2b)^2dxこの最小値を考えるわけですね。言うことでまず条件を全部書き下してみました。3次関数ってことはa≠0の条件があるのは忘れないでください。2次関数ax^2+bx+cと言われるとa≠0関数ax^2+bx+cと言われるとa=0の場合もありだから○次関数とかに反応するように基本的例題を繰り返して癖をつけてくださいね、a≠0の条件があると言うことは、aは消去するとややこしいねん。aを残した方がやりやすいと個人的には思います。a+b+c+d=1...1-a+b-c+d=-1...22b/3+2d=1...3の三つの式を使ってb,c,dをaであらわしてI=∫(-1,1/2)(6ax+2b)^2dxに代入したら一つのパラメーターであらわせそうやな。1と2は特殊な形をしてるので和と差を求めると簡単です。(1+2)/2b+d=0(1-2)/2a+c=1和と差をとればこれは同値なので、これで1と2は使いきりました。(1+2=3,1-2=4とすると1=(3+4)/2,2=(3-4)/2だから1かつ2が成立⇔3かつ4が成立)これでb+d=0と3からb,dが求まります。b=-3/4,d=3/4だからb=-3/4,c=1-a,d=3/4これで全部aであらわせた感じやからIに代入して計算ですよね?ですです。I=∫(-1,1/2)(6ax-3/2)^2dx塊で積分してもいいですが、たぶんあんまり意味ないので普通に展開して積分しました。=∫(-1,1/2)(36a^2x^2-18ax+9/4)dx=[12a^2x^3-9ax^2+9/4](-1,1/2)=27a^2/2+27a/4+27/8=27/2(a+1/4)^2+81/32よってa=-1/4でc=5/4つまりf(x)=-1/4x^3-3/4x^2+5/4x+3/4のときIは最小値81/32をとる。TRACKBACK(0)▲ページトップへ体積を求める積分の問題...東京大学2011年度理系第6問の解説ちょっと、まさるを割礼してくるわ。言うことで東京大学2011年度理系第6問の解説いっときます。[問題]x,yを実数とし,x>0とする。tを変数とする2次関数f(t)=xt^2+ytの0≦t≦1における最大値と最小値の差を求めよ。(2)次の条件を満たす点(x,y)全体からなる座標平面内の領域をSとする。x>0かつ,実数zで0≦t≦1の範囲の全ての実数tに対して0≦xt^2+yt+z≦1を満たすようなものが存在する。(3)次の条件を満たす点(x,y,z)全体からなる座標空間の領域をVとする。0≦x≦1かつ,0≦t≦1の範囲の全ての実数tに対して0≦xt^2+yt+z≦1が成り立つ。[解答と解説](1)今日はもう疲れたから適当にいこか。こんなんパっと出るようにしてくださいね。(2)0≦f(t)+z≦1と言うことですね。(3)計算してください。今どつきまわされそうになった。右端≦軸とかパっと一瞬で図とセットで出るようにしてくださいね。白チャートとかわんこら式のノリで繰り返して1題5秒が目標です。平方完成してf(t)=x(t+y/2x)^2-y^2/4xx>0やから処理はしやすいですね。最大値f(0)=0最小値f(1)=x+yこれでいいと思いますが、まとめておいたら(2),(3)で使いやすいかもな。(y≦-2x)不等式のどっちに=いを入れるかとかは、好きなようにしてください。面倒くさいなら、間違いじゃないからもう両方入れてください。両方入ってないなら間違いです。(2)これはちょっと問題の意味が難しいな。0≦f(t)+z≦1ですが、もう本番は直感的にf(t)が動く幅が1やったら後は+z、平行移動したらええから最大値-最小値≦1って感じでパっとやってください。一応、解説と言うことで、ちゃんと説明します。条件をわかりやすくするために以下のよくある読みかえをします。全ての実数xに対してt≦f(x)となる実数tの範囲は?って言われると要するにt≧max{f(x)}となる実数tの範囲を求めたらよかったわけです。(max{f(x)}はf(x)の最大値って言う意味)全部の実数を考えなくても最大値だけ考えれば良かったですよね。この問題では0≦f(t)+z≦1⇔-f(t)≦z≦1-f(t)だから0≦t≦1の全てのtに対して-f(t)≦z≦1-f(t)を満たすzが存在と言うことは0≦t≦1における左辺の最大値以上で右辺の最小値以下であればいいからmax(0≦t≦1){-f(t)}≦z≦min(0≦t≦1){1-f(t)}ここでmax(0≦t≦1){-f(t)}=-min(0≦t≦1){f(t)}min(0≦t≦1){1-f(t)}=1-max(0≦t≦1){f(t)}やから-min(0≦t≦1){f(t)}≦z≦1-max(0≦t≦1){f(t)}を満たすzが存在と考えたらええわけや。それは左辺≦右辺であれば良いから1-max(0≦t≦1){f(t)}-(-min(0≦t≦1){f(t)})≦0⇔max(0≦t≦1){f(t)}-min(0≦t≦1){f(t)}-1≦0言葉で言うと最大値-最小値-1≦0ですね。したら後は(1)で求めたのを入れていって整理やな。(i)y>0の時x+y-0≦1⇔y≦1-xy>0とあわせて0<y≦1-x(ii)-x<y≦0の時x+y-(-y^2/4x)≦1⇔y^2+4xy+4x^2-4x≦0⇔-2x-2√x≦y≦-2x+2√x解の公式を使って整理しても、まあまあ簡単になるねんな。それで-x<y≦0との共通範囲を考えてx>0から-2x-2√x<-xなので下側は-x<yってすぐにわかりますが上側は0と-2x+2√xの小さい方やから-x<y≦min{0,-2x+2√x}後はグラフ描くときに調べますわ。(iii)-2x<y≦-xの時0-(-y^2/4x)≦1⇔-2√x≦y≦2√xこれで-2x<y≦-xとの共通範囲を考えて上側は-x<2√xやからy≦-xですが下側は-2xと-2√xの大きい方なのでmax{-2x,-2√x}≦y≦-x(iv)y≦-2xの時0-(x+y)≦1⇔-x-1≦yでy≦-2xとの共通範囲をとって-x-1≦y≦-2x(i)~(iv)よりSの概形は写真を見て下さい。y=-2x+2√xは微分してもいいねんけどy=-2√x^2+2√xと考えると√xの二次関数やから、増減は平方完成したら簡単にわかります。y=-2(√x-1/2)^2+1/2後は交点求めたりしてください。(3)なるほど(2)で0≦x≦1の部分だけなら平行四辺形やな。面積は1×1=1後はzで積分して∫1dz...ってやってるとチーンってなります。こんなん意味わかりませんよね。これ(2)描いたのはzが存在する範囲やからSの断面図じゃなくてVを真上から見た図です。断面図は、色々なところが欠けるから平行四辺形じゃないねんな。(2)が誘導になってるはずですよね。これは確かに非常に普通な誘導をしています。x^2≦x+y≦2であらわされる領域の面積は?と言う問題があったとすると、これって2-x=x^2-xを解いてx=±√2で∫(-√2,√2){2-x-(x^2-x)}dxって解きますよね。これは何をやってるのかと言うと2-x=x^2-xを解いてx=±√2の操作でyが存在するのは-√2≦x≦√2の範囲って求めてyをxで積分したってことやんな。この問題でも(2)でzが存在するx,yを求めたと言うことはzをx,yで積分する誘導ってことやねん。言うことでxかyどっちか固定して積分していく感じやな。本当は面積や体積を求めるときは、存在するような範囲を求めて、その範囲で積分するって言う操作をするもんやねんな。なんでこんな超基礎的なことがわからないのか?、教科書を繰り返せばわかるようになるのか?って言うと、そもそも基礎ってほんまにわかったんか言うたら、実はわかってないもんやねん。わかるのレベルが違うねん。オレなら測度論も勉強してたから、積分見るだけで他の人と全然違う観点で物が見えててわかった言うてるわけや。バームクーヘン積分とか、こんなん積分の構成を考えるとどう判断されるかわからんし、円柱座標をとってヤコビアン計算してわかることやしなとか色々頭に思い浮かんで使わない方がええやろなとか思うわけですね。それで某予備校の有名講師は「積分で大切なのは、軸に垂直だ」と言ってるらしい話を聞くと、オレも同じこと言うわ、さすがよくわかってるなとか感じるわけですね。体積=∫断面積d(垂直な軸)が大切やねん。これわかってないと、ほんまに間違えるからな。2009年度第4問の解説だからな最初基礎を習っても、その基礎を深く理解するだけの経験や知識が足りないんですわ。理解出来たり覚えられるところからやっていくことで、あれとこれは関連性があるんじゃないか?って本当にわかってくるわけやねんな。やって東大の過去問とか通して基礎がわかればええねん。体積=∫断面積d(垂直な軸)やからxかyどっちかを固定してVを切って断面積を考えたいとこです。y固定して平面y=kで切ると、xの範囲が結構場合わけ生じそうやろ。今度はx固定して平面x=kで切ると0≦k≦1のどこでも-1-k≦y≦1-kやから、こっちが簡単そうです。-min(0≦t≦1){f(t)}≦z≦1-max(0≦t≦1){f(t)}でしたが、これでx=kで切って断面図を求めたいとこです。x+y-(x+y)≦a≦1x=kを代入して考えて図を書くとわかりやすいです。この断面積のS(k)とでも置いとこか。最後は積分するだけです。上の関数の積分-下の関数の積分で直線は台形になるから台形の面積でも利用して解いてください、すると17/18になります。人が食べるソーセージを横から握られたらどんな気分になるか考えたことないんやろな。したら、東京大学2011年度理系第5問文系第3問の解説をします。[問題]p,qを2つの正の整数とする。整数a,b,cで条件-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦aを満たすものを考えて,このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ。各(p,q)パターン[a,b;c]に対してw([a,b;c])=p-q-(a+b)とおく。(1)(p,q)パターンのうちw([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ。w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ。以下p=qの場合を考える(2)sを整数とする。(p,p)パターンでw([a,b;c])=-p+sとなるものの個数を求めよ。(3)(p,p)パターンの総数を求めよ。(文系は(2)まで)[解答と解説]なるほどw([a,b;c])=-qよりp-q-(a+b)=-qやからa=p-bで-q≦b≦0≦p-b≦pって言うやつがあるから、これに代入してみたらええんちゃうか。したらp≦bって言うことはp=1,2,3,...,b-1これオレ...もしかしたらいけてるかもしれんのちゃうん。b≦c≦aにも代入してb≦c≦p-bだから...えっとこれは...ってやってると夜中にコンコンってドアがなるから、開けたら...こんなスヌーピーが無理やり入ってきます。ドアを閉めようとしても、ガ!って間に足を入れてきます。こんなスヌーピーが入ってきたら、お引取り願うのが大変です。「君、その考え方はやめた方がいいと思うよ」とかずっと言うてきて、気が狂いそうになります。絶対帰ってくれません。いう風に、東大の問題は何が難しいのかと言うと問題の意味が難しい問題も多いねん。この問題なんか解くんは簡単やからな。ややこしいスヌーピーが訪ねて来なくするためにはどうしたらいいのかと言うと過去問を問題と解答をセットで覚えるくらい繰り返して「数学語」を覚えるねん。問題を読み間違えたら国語力が足りないとか言うけど、じゃあ国語の勉強したら伸びるのか言うたら普通に考えてそんなわけがないやろ。だいたい国語出来るやつは数学が苦手で、数学が得意な人は国語苦手やしな。それは単に国語と数学どっちに時間をかけてきたかって言う話なだけやねん。測度0の集合を除いてって言う意味やからな。測度って言うもんは、集合から体積を定義する関数な。日本語の「ほとんど全て」と違うねん。国語をいくら勉強しても、これは測度0の集合やなってわかるようにはならへんねん。ルベーグ積分とか測度論を数学の専門書で勉強したりしないと、わからへんねん。数学語やと思って、過去問とかで問題の言い回しとその意味を覚えたらええねん。この問題では(p,q)パターンのうちw([a,b;c])=-qとなるものの個数と書いてるけど、問題文の意味からもっと噛み砕くと-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦aを満たす整数a,b,cのうちp-q-(a+b)=-qとなるものの個数を求めろって意味ですね。したら、これはa,b,cの組み合わせを求めろって意味ですよね。p,qが定数の扱いa,b,cが変数の扱いで(a,b,c)の解の個数を求めろ言うてるねん。したら解答を書いていきます。参考→同値変形による式や条件の処理の仕方(東大対策)勉強のために間違えにくく完ぺきに解ける、くどいネチネチした解答を書きます。別にオレがおっさんになってきたから、サラっとキスして抱きしめてたらいいのに、膝に指を置いてツー...って奥に移動させると見せかけて、また膝に戻してくるのを五時間ぐらい繰り返すと言うネチネチした責めをするようになってきたと言うわけではありません。w([a,b;c])=-qよりp-q-(a+b)=-qってことでa=p-b○全部条件を書き下す-q≦b≦0≦a≦pb≦c≦aa=p-bこれでaを消去したらええねん。そのためには全部aをp-bにしたらよくて-q≦b≦0≦p-b≦pb≦c≦p-ba=p-bこれで-q≦b≦0≦p-b≦pb≦c≦p-bさえ満たせば、b,cによってaはa=p-bで勝手に一つ決まるので,b,cのことだけ考えたら済むようになります。これが文字消去ってやつなんですね。-q≦b≦0≦p-b≦pはbについて整理すると0≦p-b≦pの部分は0≦b≦pやから-q≦b≦00≦b≦pこれを両方満たすのはb=0だけになります。b≦c≦p-b⇔0≦c≦pこのcはc=0,1,2,...,pで個数は(最後)-(最初)+1やから何も考えずにパっとだしてください。p-0+1=p+1個です。これが解の個数でもあるからp+1個ですね。w([a,b;c])=pはq≦b≦0≦a≦pb≦c≦ap-q-(a+b)=pと言う意味で、a消去して整理するとa=-q-b-q≦b≦0-q-p≦b≦-qb≦c≦-q-bこれでb=-qって決まって-q≦c≦0だからこの個数は0-(-q)+1=q+1(2)同じようにやるだけなんですが、整理していってみるとw([a,b;c])=-p+s⇔-p≦b≦0≦a≦pb≦c≦ap-p-(a+b)=-p+s⇔a=p-s-b-p≦b≦0-s≦b≦p-sb≦c≦p-s-bとなって-p≦b≦0-s≦b≦p-sを満たすbって言うのが、sによって変わります。この場合わけがちょっとややこしいねん。絶対値はずすときの場合分けみたいにsの切り替わりポイントを計算して数直線で場合わけしたらええかな。大小関係の詳細まで一気に考えるんじゃなくて、まず切り替わりポイントだけ考えとくとやりやすいかなってとこやな。-p≦b≦0-s≦b≦p-sbの範囲が切り替わるのは端点が一致するときです。-s=0⇔s=0-s=-p⇔s=pp-s=0⇔s=pp-s=-p⇔s=2pの四つで数直線で考えるとs<0と0≦s≦pとp<s≦2pと2p<sの四つやな。sが小さい方から始まって進んできてここでは0<-s-p<-s0<p-s-p<p-sやねんけど、s=0の切り替わりポイントを越えると0<-sだけ大小関係が切り替わり、-s<0-p<-s0<p-s-p<p-sさらに進めてs=pを越えると二つ切り替わって-s<0-s<-pp-s<0-p<p-sさらに進めてs=2pを越えると最後だけ切り替わって-s<0-s<-pp-s<0p-s<-pやな。(i)s<0の時0<-sやから-p≦b≦0-s≦b≦p-sを同時満たすbはないから0個です。(ii)0≦s≦pの時-s≦0-p≦-s0≦p-sより-p≦b≦0-s≦b≦p-sは-s≦b≦0と決まります。後はb≦c≦p-s-bとあわせて、b-c図を書いて格子点の数を数えてもいいしb=k(k=-s,-s+1,...,0)ってbを固定するとcの個数は(p-s-k)-k+1=p-s-2k+1個です。Σ(k=-s~0)(p-s-2k+1)を計算したらえええん。これはもう等差数列の和でぱっと計算した方が早いな。1/2(初項+末項)×(項数)な。等差数列は並べると台形と同じやから台形の面積を考えて1/2(上底+下底)×(高さ)と同じ構想って言うように関連付けて覚えてくれてもいいし、1/2(初項+末項)は平均をあらわしてると考えて(平均)×(項数)って覚えてもいいです。1/2{(p-s+2s+1)+(p-s+1)}{0-(-s)+1}=(p+1)(s+1)個(iii)p<s≦2pの時-s<-pp-s<0-p≦p-sより-p≦b≦0-s≦b≦p-sは-p≦b≦p-s同様にb=k(k=-p,-p+1,...,p-s)ってbを固定するとcの個数は(p-s-k)-k+1=p-s-2k+1個だからΣ(k=-p~p-s)(p-s-2k+1)1/2{(p-s+2p+1)+(p-s-2p+2s+1)}{p-s-(-p)+1}=(p+1)(2p-s+1)個(iv)2p<sの時p-s<-pより-p≦b≦0-s≦b≦p-sを満たすbはなくて0個よってs<0の時、0個0≦s≦pの時,(p+1)(s+1)個p<s≦2pの時,(p+1)(2p-s+1)個2p<sの時,0個(3)(p,p)パターンを全部数えろってことはw([a,b;c])=kとなる個数f(k)を数えてΣ(k=-∞~∞)f(k)を計算しろってことですが、すでに(2)で求まっています。絶対に前の問題が誘導になってるから、(2)を使うんちゃうかなって思うとこがここのポイントです。-p+sはsを動かせば全ての整数を表せますよね。sはs<0.2p<sでは(p,p)パターンは0個でした。0≦s≦pの時,(p+1)(s+1)個p<s≦2pの時,(p+1)(2p-s+1)個の部分だけ考えればよくてΣ(s=0~p)(p+1)(s+1)+Σ(s=p+1~2p)(p+1)(2p-s+1)これもsの等差数列やから1/2(初+末)×(項数)でパッパ計算してください。後はもう疲れたから写真見てください。(p+1)^3個です。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。