Mises分布との関係を探ることにしました。母関数のTaylor展開とりあえず展開。以下この記事では、(第1種)変形Bessel関数を単に「変形Bessel関数」と書くことにします。$k$を整数として、$k$次の変形Bessel関数の関数列$I_k(x)$の母関数$G(x;w)$は(\ref{eq:besselgenerate})式で表されます。最初は「母関数」が「母艦数」とか変換されてしまった上にそれが辞書に学習されてしまって、なかなか変換できませんでした。\label{eq:firstform}\end{align}と展開します。(\ref{eq:firstform})式右辺の項の総和の計算の順序(イメージ)を図にしてみました。いう手順で計算を行うことを(\ref{eq:firstform})式の右辺は示しています。次に、(\ref{eq:firstform})式の右辺の$w$の各項の係数を調べるため、$n-m=k$とおいて(\ref{eq:firstform})式の右辺に代入し、$m$を消去します。\max(k,0)$となることに注意が必要です。\Gamma(n+k+1)$であるので、これも代入します。\label{eq:secondform}\end{align}(\ref{eq:secondform})式の右辺の計算の順序(イメージ)を図にしてみました↓まず、$k$を固定して$n$の値を上図の(a)のように移動させ、対応する各項の計算を行います。m+k$の直線状の格子点に対応する$(m,n)=(n-k,n)$の値に対応する項の計算を行い、その総和を計算します。m+k$が上図の(b)の向きに移動するので、移動した先の直線上にある格子点についても同様の計算を行うと(\ref{eq:secondform})式の右辺の値を求めることができるという寸法です。(\ref{eq:secondform})式の右辺に変形Bessel関数のようなものが登場しますが、総和の計算の範囲が微妙に異なります。$n$の範囲が$k$の値に依存している部分についてはなんとかできないか考えます。スポンサーリンク具体的には前節の図の白抜きの青丸の格子点(以下、この節では単に「白抜きの青丸の格子点」と書きます。0$の整数にできますので、ゴールに近づくことができそうです。\label{eq:gammam}\end{align}となります。白抜きの青丸の格子点においては、(\ref{eq:gammamzero})式が成り立つことがわかります。0$の場合も$n$についての総和の計算に含めても計算の結果は変わりませんので、計算の対象に追加してしまうことにします。w^k\label{eq:thirdform}\end{align}となります。ここまでの計算で、$G(x;w)$が$k$次の変形Bessel関数の関数列$I_k(x)$の母関数であることを示すことができました。e^{i\theta}$と置きます。\label{eq:eitheta}\end{align}となります。\label{eq:cosktheta}\end{align}となります。したがって(\ref{eq:eitheta})式及び(\ref{eq:cosktheta})式をまとめると(\ref{eq:coscos})式の関係が成り立つことがわかります。\label{eq:coscosmu}\end{align}が成り立つことも導けます。Mises分布(確率変数は$\theta$になります。\label{eq:vonMises}\end{align}の分子と一致しますので、(\ref{eq:vonMises})式は(\ref{eq:vonMisessecond})式のように書くこともできます。\label{eq:vonMisessecond}\end{align}(\ref{eq:vonMisessecond})式は不定積分が計算できて、積分定数以外の項については(\ref{eq:vonMisesint})式のように計算できます。\label{eq:vonMisesint}\end{align}スポンサーリンクまとめ(\ref{eq:secondform})式から(\ref{eq:thirdform})式への議論については回りくどいものになっている可能性がありますが、本Webサイトの管理人たるpandaが理解したところをそのまま書いてみました。Mises-Fisher分布についてはいまいち理解できていないので、理解できたところでまた書きます。今読むべき記事n選ディガンマ関数とガンマ関数の商が負の整数に近づくときの極限値を計算してみた。1/(x^3+a^3)の不定積分を求めてみた。Legendre多項式の直交性を最高次の項の係数だけを計算することにより証明してみた。整数次数の第2種変形Bessel関数の級数表現を計算してみた。相鉄・JR直通線開業の日にいただくシェラトンの「木の花」のランチコース。Contentプラグインで目次を入れてみた。このウィジェットの背景が黒くなってしまうことがある理由についてはこちらをクリック。AviUtlgimp-2.10.sikuliGIMP-2.10を使ってスクリーンショットを取得するためのSikuliXのスクリプト。SikuliX-2.0.1+GIMP-2.10.10の組み合わせでのみ動作確認を行っています。SolrのDataImportHandlerで7-zipで圧縮されたファイルのインポートをサポートするためのJARファイル。struts2ajaxtestStruts2でAjaxを使用するWebアプリケーションのサンプル。LANを発行するためのスクリプトのサンプル(Fedora用)。8用のNEologd入りkuromojiをビルドするためのパッチ。GROWIの設定とHTTPS経由で接続するための各種の設定。GROWI等のインストール。PCからの音声をBOSEのスピーカーに飛ばしたら臨場感が増した件。httpdをnginxに取り換えてみた。YouTube↓のボタンを押していただくとチャンネルを登録できます。見解等とは一切関係ありません。