受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。(n=1,2,3,...)によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。(1)各n=1,2,3,...に対しb_n=1/a_nとおく。n>1のとき、b_n>2nとなることを示せ。(2)lim(n→∞)(a_1+a_2+...+a_n)/nを求めよ。(3)limn(n→∞)na_nを求めよ。[解答と解説](1)具体的にb_nが求められないこういう類の問題はたいがい数学的帰納法やな。n>1ということはn≧2やからnが2以上でb_n>2nが成り立つことを数学的帰納法によって示したらよくて(i)n=2の時b_2=1/a_2=(1+a_1)^2/a_1=9/2>4よってn=2の時、成立。(ii)n=kの時、b_k>2kと仮定するとb_(k+1)=1/a_(k+1)=(1+a_k)^2/a_k=b_k+2+1/b_k>b_k+2>2k+2=2(k+1)よってn=k+1の時も成立(i)(ii)よりn>1のすべての自然数についてb_n>2nが成立(2)きっと(1)を使うんやろな。(log(n))/n→0(n→∞)ってことに注意すると、挟みうちで0と言えそうだから、1/b_k>0にも注意して0<1/n・Σ(k=1~n)1/b_k≦1/(2n)・Σ(k=1~n)1/k≦1/(2n)・(Σ(k=2~n)∫(k-1,k)(1/x)dx+1)=1/(2n)・(∫(1,n)(1/x)dx+1)=1/(2n)・([log(x)](1,n)+1)=1/(2n)・(log(n)+1)→0(n→∞)だからlim(n→∞)Σ(k=1~n)a_k/n=lim(n→∞)1/n・Σ(k=1~n)1/b_k=0この1/(2n)・Σ(k=1~n)1/k≦1/(2n)・(Σ(k=2~n)∫(k-1,k)(1/x)dx+1)のとこは何回かやったことあるかもしれんけど1/(2n)・Σ(k=1~n)1/k≦1/(2n)・(Σ(k=1~n)∫(k-1,k)(1/x)dx)=1/(2n)・(∫(0,n)(1/x)dx)とやってしまうと、積分できなくなるから、k=1だけ別に足すのがコツやねんな。(3)(2)まではやったことあるような感じやけど、(3)はちょっと難しい。(1),(2)はおそらく利用するはずやからな。(2)の極限が(3)とまったく関係無いことはあまり無いと思う。考えられるのはΣ(k=1~n)a_kが変形出来るんではないか?ってことやな。(1)でb_nを導入したからにはb_nを使って表せるかもしれん。いや、ここで使わないとb_nを導入した意味が余りないから、きっと使うはず。Σ(k=1~n)a_k=Σ(k=1~n)1/b_k確かb_(n+1)=b_n+2+1/b_nと言う式やったから,1/b_nが出てきてるからΣ(k=1~n)1/b_k=Σ(k=1~n)(b_(k+1)-b_k-2)これは階差数列の和になってるから計算出来てΣ(k=1~n)(b_(k+1)-b_k-2)=b_(n+1)-b_1-2nと言うことはΣ(k=1~n)a_k=b_(n+1)-b_1-2nと見事に和がb_nで表せてlim(n→∞)1/n・Σ(k=1~n)a_k=0⇔lim(n→∞)1/n・(b_(n+1)-b_1-2n)=0⇔lim(n→∞)b_(n+1)/n=2と言うことは、b_n/n=1/(na_n)だから、もうこれで形が出来てるからlim(n→∞)na_n=lim(n→∞)n/b_n=lim(n→∞)1/(((n-1)/n)・(b_n/(n-1)))=1/2ちょっと思いつきにくいけどな。(1),(2)の誘導を使おうとすると、思いつきやすいと思う。解説ちょっとハイパフォーマンススヌーピー持ってきて。東京大学2006年度理系第4問の解説[問題]次の条件を満たす組(x,y,z)を考える。条件(A):x,y,zは正の整数でx^2+y^2+z^2=xyzおよびx≦y≦zを満たす以下の問いに答えよ。(1)条件(A)を、満たす組(x,y,z)で,y≦3となるものをすべて求めよ。(2)組(a,b,c)が条件(A)を満たすとする。このとき、組(b,c,z)が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。(3)条件(A)を見たす組(x,y,z)は無数に存在することを示せ。[解答と解説](1)y≦3やから(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)しかないから全部代入してzが整数になるのを調べても全然ええしすぐに出来るんですが、一応定石的には必要条件によって絞るのがコツでx^2+y^2+z^2=xyz⇔z^2+xyz+x^2+y^2=0でzの二次方程式とみて判別式Dが0以上であることが当然必要でD=x^2y^2-4(x^2+y^2)≧0⇔x^2y^2≧4(x^2+y^2)またx≦yからx^2+y^2≧2x^2だからx^2y^2≧4(x^2+y^2)≧8x^2⇒x^2y^2≧8x^2⇔y^2≧8でyは正の整数だからy≧3でy≦3とあわせてy=3ときまります。y=3を再び判別式に代入してD=9x^2-4(x^2+9)≧0⇔5x^2≧36xは正の整数だからx≧3でx≦y=3とあわせてx=3ときまります。(x,y)=(3,3)で代入してz^2-9z+18=0⇔(z-3)(z-6)=よりz=3,6よって(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)(2)a^2+b^2+c^2=abc(a≦b≦c)...1が成り立っててb^2+c^2+z^2=bcz(b≦c≦z)...2が成り立っているとすると1-2から(z-a)(z+a-bc)=0よってz=-a+bcとしたら、a^2+b^2+c^2=abcとb^2+c^2+z^2=bczは成り立つから後はb≦c≦zが成り立てばオッケーでz-c=-a+bc-c=c(b-1)-ab≧3からz-c=c(b-1)-a≧2c-a≧2a-a=a>0よってb≦c≦zも成り立ってるから2も成り立ってることがわかります。(z-a)(z+a-bc)=0でz=aはどないなるん?思いますが、z=aとすれば上手くいかないみたいで(z-a)(z+a-bc)=0の式が成り立つようにzの値を決めたらええわけやからz=-a+bcとすればこの式は成り立つし2も満たすからオッケーなことになります。(3)色々示し方あると思いますが、背理法でやってみました。(A)を満たす(x,y,z)が存在することを示します。これは(1)から(A)を満たす(x,y,z)は存在すると言えてます。(A)を満たす(x,y,z)の組が有限個だと仮定すると、さっき書いたように(A)を満たす(x,y,z)は1個以上は存在してるからそのうちzが最大なものを(d,e,f)とでもして、(2)からg=-d+efとすればg>fで(e,f,g)は(A)を満たしてfが(A)を満たす(x,y,z)のうちzが最大であることに矛盾します。なんか大学の数学でこんな感じの証明が多いような気がします。TRACKBACK(0)▲ページトップへ座標平面の問題、東京大学2006年理系前期の第三問の解説みんなでバスの中でゆで卵だけ食べよか。東京大学2006年度理系第三問の解説[問題]Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点P(0,p)と、直線m:y=(tanθ)xが与えられている。ここで,p>1,0<θ<π/2とする。いま、傾きがαの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線y=1上の、第一象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第一象限の点Rに移った。(1)このとき、tanθをαとpで表せ。(2)次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。条件:どのようなθ(0<θ<π/2)に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線はy=(tanθ/3)xとなる。直線nの⊥直線ABの二つを式にしたら良かったと言うことは、それも今は良い思い出な式ですね。点Rは直線m上で第一象限やから(r,(tanθ)r)(r>0)とおけて、(1+0)/2=α(q+0)/2+b...1α・(1-0)/(q-0)=-1...2(p+tanθr)/2=α(0+r)/2+b...3(tanθr-p)/(r-0)・α=-1...4この四つの式がたって、後は普通に文字を消去していったらええわけですわ。その東大のやらしい連立方程式が好っきーだからオレが言いたいんは、そんなん言うてる暇があったらはよ計算せいってことやねん。3-1でb消去した式に2からq=-α3よりr=αp/(αtanθ+1)を代入して整理したらtanθ={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)になるねん。書いてるけど、ここの計算が難しいねんな。(2)直線lとy=(tan(θ/3))xが垂直とするとαtan(θ/3)=-1になればええから、α=-1/tan(θ/3)をtanθ={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)に代入してcos(θ/3),sin(θ/3)とか整理すれば...やってるとチーンってなります。いう意味やねん!まあめちゃくちゃな式になるやろな。考えたら、tanにも三倍角の公式みたいなんが成り立ってtanθってtan(θ/3)で表せるんちゃうんって思えなくもないやろ。実際やってみると、普通に表せるねんな。tanθ=(-(tan(θ/3))^3+3tan(θ/3))/(1-(tan(θ/3))^2)だからチーンってなる必要ないねん。後はtanθ={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)つまり(-(tan(θ/3))^3+3tan(θ/3))/(1-(tan(θ/3))^2)={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)にα=-1/tan(θ/3)を代入してtan(θ/3)について整理したら、(p-2)tan(θ/3)((tan(θ/3))^2+1)^2=0になるねん。タンジェントチーンを乗り切ってもここの計算でチーンなるんちゃうかって話やけどな。これで0<θ<π/2つまり0<tan(θ/3)<1/√3で常になりたてばええから、要するに係数が0、つまりp-2=0⇔p=2であれば0<θ<π/2のどんなθでも成り立っているから条件を満たすpは存在していてその値は2です。ちなみに図形的に考えればこんな複雑な計算なしで解けるようです。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。