受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。定積分の不等式の問題、東京大学2010年度理系第2問の解説もうドラクエで数学どころじゃないわ。東京大学2010年度理系第二問の解説[問題](1)すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。1/{2(k+1)}<∫(0,1)(1-x)/(k+x)dx<1/(2k)(2)m>nであるようなすべての自然数mとnに対して、次の不等式を示せ。(m-n)/{2(m+1)(n+1)}<log(m/n)-Σ(k=n+1~m)1/k<(m-n)/(2mn)[解答と解説](1)どうやったら示せるんやろな。普通に積分できるからやってみよか。(1-x)/(k+x)=-1+(k+1)/(k+x)って分子の次数を定数に落として積分ですわ。∫(0,1)(1-x)/(k+x)dx=∫(0,1)(1+(k+1)/(k+x))dx=[-x+(k+1)log(k+x)](0,1)=-1+(k+1)log{(k+1)/k}と言うことは1/{2(k+1)}<-1+(k+1)log{(k+1)/k}<1/(2k)を示せばええわけな。...おえ~!?まあこんな方法で出来る問題出すわけがないからな。あるのは、全ての自然数kに対してやから、数学的帰納法かもしれん。それともグラフの面積を考えて曲線の凹凸とかで不等式を作るんかもしれん。∫(0,1)(1-x)/(1+x)dx=-1+2log2=log4/e1/4<log4/e<1/2を証明せなあかんことになるんか。言うことはloge^(1/4)<log4/e<log2^(1/2)って全部logの中に入れてe^(1/4)<4/e<e^1/2を証明したらええことになるな。{e^(1/2)}^2-(4/e)^2=(e^3-16)/e^2>0(4/e)^4-(e^(1/4))^4=(256-e^5)/e^4>0と苦労して計算したら示せました。次はk=lの時、1/{2(l+1)}<∫(0,1)(1-x)/(l+x)dx<1/(2l)を仮定して1/{2(l+2)}<∫(0,1)(1-x)/(l+1+x)dx<1/{2(l+1)}を示したらええわけか。...おえ~!?次はグラフの凹凸とかで面積の大小関係で不等式を作ってみよ。数学IIIではよくあるパターンやな。(1-x)/(k+x)=-1+(k+1)/(k+x)やから、x=-kとy=-1が漸近線でy=1/k,x=1でy軸、x軸と交わる分数関数やな。0<x<1の範囲やから、ちょうど第一象限の部分の面積です。(0,1/k)と(1,0)を結ぶんで出来る直角三角形の方が面積大きいな。これ面積は1/2×1×1/k=1/(2k)お、これで∫(1-x)/(k+x)dx<1/(2k)示せましたやん。数学IIIで定積分の不等式の問題で、よくあるパターンそのままやな。後は1/(2(k+1))<∫(1-x)/(k+x)dxか。同じように図形的にやるんやろな。同じようにやるとしたら、(0,1/(k+1))と(1,0)を結んで出来る直角三角形より∫(1-x)/(k+x)dxの部分が大きいければええはずです。(0,1/(k+1))と(1,0)を結んで出来る直角三角形の面積は1/2×1/(k+1)×1=1/(2(k+1))やしな。グラフのx=1における接線のy切片が1/(k+1)になれば良さそうやな。実際接線を求めてるみると微分は{(1-x)/(k+x)}'=-(k+1)/(k+x)^2やからx=1における接線はy=-(k+1)/(k+1)^2・(x-1)+0=-x/(k+1)+1/(k+1)お、大丈夫やな。これで1/(2(k+1))<∫(1-x)/(k+x)dxは示せたから解けた。解答を書いておけば2階微分して下に凸って書いておけばよりええかもしれんな。分数関数なんて下に凸なんわかってるから微妙なとこやけど。解答は文章じゃなくて絵で説明するって言うのを意識したってくれ。これは解答を添削する側もだらだら文章で書かれてもしんどいから絵でわかりやすくしてくれると助かるし数学的思考法がよく訓練されてると感じる。書いてる側も、絵書けば説明簡単やし思いつきやすくなるねん。(2)(1)が出来たら、特に問題ないとは思うねんな。これが出来ないのは数学IIIや数列で解法パターンの暗記が足りないと言ったとこやな。(1)も定積分の不等式の解法パターンが暗記出来てるかどうかやねんけど。絶対に(1)を使うわけや。問題はそうやって作られてるもんやねん。(1)から定積分の部分を計算したのを入れておいて1/{2(k+1)}<-1+(k+1)(log(k+1)-logk)<1/(2k)これと問題の(m-n)/{2(m+1)(n+1)}<log(m/n)-Σ(k=n+1~m)1/k<(m-n)/(2mn)が似てるから、近づけいったらええねん。logの係数を1にするために1/(k+1)で両辺割ったら少し近づくな。1/{2(k+1)}<-1+(k+1)(log(k+1)-logk)<1/(2k)⇔1/{2(k+1)^2}<-1/(k+1)+(log(k+1)-logk)<1/(2k(k+1))後は(m-n)/{2(m+1)(n+1)}<log(m/n)-Σ(k=n+1~m)1/k<(m-n)/(2mn)と比べると1/{2(k+1)^2}<-1/(k+1)+(log(k+1)-logk)<1/(2k(k+1))の-1/(k+1)をΣ(k=n+1~m)1/kと対応してるやろうから、Σでk=nからm+1まで足せば一致します。Σ(k=n~m-1)1/{2(k+1)^2}<Σ(k=n~m-1){-1/(k+1)+(log(k+1)-logk)}<Σ(k=n~m-1)1/(2k(k+1))真ん中を計算して整理するとlogの部分は階差数列になってるからΣ(k=n~m-1){-1/(k+1)+(log(k+1)-logk)}=Σ(k=n~m-1)(-1/(k+1))+Σ(k=n~m-1)(log(k+1)-logk)=Σ(k=n+1~m)(-1/k)+logm-logn=log(m/n)-Σ(k=n+1~m)1/kこれで、問題の式は出てきた。次に右辺は部分分数に分けて階差数列で足す形になってるからΣ(k=n~m-1)1/(2k(k+1))=Σ(k=n~m-1)1/2{1/(k-1)-1/k}=1/2(1/n-1/m)=(m-n)/(2mn)これで問題の式になったからlog(m/n)-Σ(k=n+1~m)1/k<(m-n)/(2mn)は示せた次は左辺のΣ(k=n~m-1)1/{2(k+1)^2}を計算せなあかんけど、こんなん出来へんやん。まあΣ(n=1~∞)1/n^2=π^2/6やけど、こんなん求めてるわけちゃうねん。東大やったら、こういうのを覚えてなあかんとか言うやつおるけど全然そんな問題ちゃうからな。Σ(n=1~∞)1/n^2が収束するって言う証明である値より大きくならないとこの部分が大切やねん。これはやることはチャートの例題に載ってるようなレベルの話であって、それをちゃんと覚えてるかどうかやねんな。それでΣ(n=1~∞)1/n^2の場合、ある値より大きくならないのをどうやって証明したかと言うとΣ(k=1~n)1/k^2=1+Σ(k=2~n)1/k^2<1+Σ(k=2~n)1/{k(k-1)}=1+Σ(k=2~n){1/(k-1)-1/k}=1+1-1/n<2でΣ(n=1~∞)1/n^2は2以下なことがわかります。やって1/n^2<1/{n(n-1)}って分母を少し小さくして階差数列を使える形にするねん。この問題では反対に分母を少し大きくしてΣ(k=n~m-1)1/{2(k+1)^2}>Σ(k=n~m-1)1/{2(k+1)(k+2)}=Σ(k=n~m-1)1/2(1/(k+1)-1/(k+2))=1/2(1/(n+1)-1/(m+1))=(m-n)/{2(m+1)(n+1)}これで問題の式が出てきたな。(m-n)/{2(m+1)(n+1)}<log(m/n)-Σ(k=n+1~m)1/kこの問題も結構典型的で数学IIIで色々な問題の解法をちゃんと覚えていれば特に問題はないやりやすい問題です。現役なら間に合わんことも多いけど、数学IIIは特にパターンがわかりやすくてやればやるほど点数に結びつきやすいから勉強しておいて欲しいとこやな。|プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。