受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。鼻水が出るとのが寂しいことのように感じるこの頃ですね。今回は微積分のよくある標準的なグラフの問題です。2009年度2月1日実施[問題]f(x)=1/(1+e^(2x-1))(-∞<x<∞)とおく。]をうめ、設問(2),(3)に答えよ。(1)f(x)の導関数f'(x)はf'(x)=[1]であり、f(x)の2次導関数f''(x)はf''(x)[3]/(1+e^(2x-1))^2である。曲線y=f(x)には、変曲点が1つある。変曲点の座標は[3]である。曲線y=f(x)には、漸近線が2本ある。そのうちの1つは,y=0である。一方の漸近線の方程式は[4]である。(2)曲線y=f(x)の増減表を記述蘭にかき、変曲点と漸近線が分かるように、y=f(x)のグラフの概形を解答用紙の[5]にかけ。(3)[4]で求めた漸近線,y軸,直線x=1と曲線y=f(x)によって囲まれてできる領域の面積を求めよ(解答は記述蘭にかけ)。[解答と解説](1)まずf(x)の微分です。1+e^(2x-1)で微分してから、1+e^(2x-1)をxで微分です。f''(x)を求めるのはこういうf'(x)=-2e^(2x-1)/(1+e^(2x-1))^2のような分数関数の微分は結構大変なとこでよく計算間違いしますが、こういう答えしか受け付けませんって言わんばかりの問題は逆に恐いとこです。分数関数f(x)/g(x)の微分(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2にあてはめて計算したってください。変曲点はあるとすればf''(x)が0になるとこでf''(x)=0になるのはe^(2x-1)のとこが0の時だけ、つまり2x-1=0⇔x=1/2の時だけだからこれがf(1/2)=1/2で(1/2,1/2)が答えです。穴埋めやからこれでええねんけど、記述式ならこれは不十分でした。変曲点はf''(x)の符号が切り替わる点であって,0だからと言って変曲点とは限りません。f''(x)=(x-2)^2やったら、f''(2)=0やけどf''(x)=(x-2)^2≧0やからずっと上に凸な関数で凹凸がx=2で切り替わってません。本当は増減表を書いてもて、変曲点はx=1/2のとこって言うのが一番明確やねんけど簡易的に書くとしたらf''(x)=0⇔x=1/2f''(x)>0⇔x>1/2f''(x)<0⇔x<1/2でx=1/2のとこでf''(x)の符号が切り替わってることを書いておけばええかな。漸近線はy=0の方はx→∞の方の極限やから、もう一つはx→-∞の方を考えたらよくてe^(2x-1)→0やからlim(x→-∞)f(x)=1/(1+0)=1でy=1がもう一つの漸近線です。(2)増減表を書いてグラフを描いたってください漸近線と変曲点も書き入れといてな。(3)求める面積は0≦x≦1のとこでy=1とy=f(x)にはさまれた部分でS=1-∫(0→1)1/(1+e^(2x-1))dxを求めたらオッケーです。来たら、だいたいe^xの関数やったらt=e^(2x-1)とか置換したらだいたい上手く行くかな。t=e^(2x-1)からdt=2e^(2x-1)dx⇔dt/(2e^(2x-1))=dxやけど左辺はtの関数にしたいとこやからe^(2x-1)をもっかいtに書き換えるのがコツでdt/(2t)=dxそれでx|0|...|1|t|1/e|...|e|後は計算してS=1-∫(1/e→e)1/(2t(1+t))dtこの積分は1/(t(t+1))=1/t-1/(t+1)と言うように部分分数にしたらよかったですね。こんなことオレが言うまでもなかったか。答えは1/2になります。きれい過ぎて不安になる値やな。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/394-59a50587この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。