受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。確率の問題、大阪大学2008年度理系の第五問の解説ちょっとドモホルンリンクルの無料お試しセットでも頼むか。大阪大学2008年度理系第5問の解説[問題]1枚の硬貨を繰り返し投げる反復思考を行い、表が500回続けて出たときに終わるものとする。nを500以上の自然数とするとき、この反復思考がn回目で終わる確率をp(n)とする。(1)501≦n≦1000のとき、p(n)はnに関係なく一定の値になることを示し、またその値を求めよ。(2)p(1002)-p(1001)の値を求めよ。(3)1002≦n≦1500のとき,p(n+1)-p(n)の値を求めよ。[解答と解説](1)p(n)はnに関係なく一定の値になることを示し、またその値を求めよ...これを読むと一定の値になることを示す→その値を求めるってことを示さなあかんようやけど、こういうのはたいがい値が求まったら一定の値やったって論理をすり替えて答えます。501≦n≦1000のときp(n)の値を求めたらええねんけど、500回表が続いたら終わるってことやから、n回目で終わるのはどんな目の出方をしたのか考える時、後ろの方から考えなあかんわけやな。やって表か裏か決まっていくのは1回目からやけど、確率や場合の数を求める時はその順番じゃなくて条件の厳しい回の方から計算したり数え上げるのがコツやねん。何回もやってることかもしれんけど。それで○を表、×を裏とすると後ろの方は×○○○...○って×の後に○が500個続くねん。終わるのは必ず最後はこういう並びになってるわけや。この確率は(1/2)^501そしたら、最初のn-501回はどうなってるか考えると、501≦n≦1000やから0≦n-501≦499で500回目が裏なわけやから○と×どんな並びでもええわけやねんな。表または裏を△とすると△△...△×○○...○って形で△はn-501回、○は500回続いてて、確率は△は1だからp(n)=1^(n-501)・(1/2)^(501)=(1/2)^501でp(n)の値はnに関係なく一定の値(1/2)^501って求まりました。(2)p(1002)-p(1001)を求めろってことやけど、まず後ろから501回は×○○○...○ってならないとあかんかって、この部分の確率は(1/2)^501でした。この前の500個はどうなってるか考えると終わったらあかんねんな。ここで終わったらあかんねん。「ここで終わったらあかんのですわ」って言うキーワードが来たら余事象やったわけやな。そんな癖のあるキーワードじゃなかったような。この図はどういう意味やねん。~でない確率とか言うキーワードがきたら余事象を考えて欲しいねんな。そもそも、余事象を考えることは非常に有効な場合が多いので余事象を考えてみるは優先度の高い選択肢として扱ってあげてください。言うことでn=1001では[500回で終わらない並び]×○○...○やから500回で終わる確率は全部○の(1/2)^500やからp(1001)=(1-(1/2)^500)(1/2)^501次にn=1002では後ろの501回は×○○...○と言う並びで最初の501回は終わったらあかんわけやから、500回で終わらない、かつ、501で終わらない並びやから、その部分の確率は1-(1/2)^500-(1/2)^501だから求める確率はp(1002)=(1-(1/2)^500-(1/2)^501)(1/2)^501よってp(1002)-p(1001)=-(1/2)^1002(3)数学は前の問題が誘導になってて、それを強く意識してやらなあかんことが多いねんけど、まあ時には意識しない方が解ける場合もあります。この場合も、本来は(2)で具体的な数字でやってみて、それを参考に(3)で一般的なnでやってみようと言う意図やねんけど、もしかするとこれは(2)は無い方が最初から一般的に考えるから解きやすいんかもしれません。最後の501回の並びは×○○...○で最初のn-501回は終わらなければいいから[k回で終わらない並び(k=1,2,...,n-501)]×○○...○って言う並びで確率はp(n)=(1-p(500)-p(501)-...-p(n-501))(1/2)^501またp(n+1)=(1-p(500)-p(501)-...-p(n-501)-p(n-500))(1/2)^501だからp(n+1)-p(n)=-p(n-500)(1/2)^501p(n-500)の値は、1002≦n≦1500から502≦n-500≦1000だから(1)よりp(n-500)=(1/2)^501って決まっててp(n+1)-p(n)=-(1/2)^1002って求まりました。TRACKBACK(0)▲ページトップへ回転体の体積の問題、大阪大学2008年度理系第四問の解説ちょっと北海道の無人島に静養いしに行ってくるわ。大阪大学2008年度理系の第四問の解説します。[問題]tを負の実数とし、xy平面上で曲線y=2^(2x+2t)と曲線y=2^(x+3t)およびy軸で囲まれる部分をDとする。(1)Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積V(t)を求めよ、(2)tが負の実数の範囲を動くとき、V(t)の最大値を求めよ。[解答と解説]特になんとも無いごく普通の数学3Cの問題です。一つ言うなら、回転体の体積の求めかたと2^xの積分が出来るかってことぐらいです。どんな難関大学でさえ、普通の数学3Cの問題が出されることがよくあるから絶対に数学3Cはマスターしておいてください。やり方さえちゃんと覚えれば、数学1Aや2Bと違って簡単に解けるし非常にコストパフォーマンスは高いです。それでも入試本番で数学3Cやってへんわ、うへ~って白目むいてあほみたいな顔してるやつがおるわけやねんな。大学からしても数学3Cがままならんようじゃ困るわけやねん。(1)まずはグラフを書かなあかんねんけど回転体の体積を求めるだけやから、微分して詳しく書く必要はなくて大小関係や交点などがわかれば十分です。差を計算するとわかりやすいかな。2^(2x+2t)-2^(x+3t)=2^(x+2t)(2^x-2^t)でこの正負で大小関係はかわるねんけど、2^(x+2t)の部分は正やから2^x-2^tだけ考えたらよくてx<tの時、2^(2x+2t)<2^(x+3t)x=tの時、2^(2x+2t)=2^(x+3t)x>tの時、2^(2x+2t)>2^(x+3t)それでグラフを書いて、Dを図示しときます。図からDをx軸でまわりの回転体は、Dの上側の境界のグラフy=2^(2x+2t)による回転体から下側のy=2^(x+3t)による回転体を引いたらよくてV(t)=π∫(t,0)(2^(2x+2t))^2dx-π∫(t,0)(2^(x+3t))^2dx=π∫(t,0)(2^(4x+4t)-2^(2x+6t))dx後は2^xの積分やな。e^xしか積分せえへんから、忘れやすいけど∫2^xdx=2^x/log2+C(Cは∫定数)まあe^xの積分はe^xがわかってれば∫2^xdx=∫e^(xlog2)x=e^(xlog2)/log2+C=2^x/log2+Cって言うように導けるねんけど。それで計算していってV(t)=π[e^(4x+4t)/4log2-2^(2x+6t)/2log2](t,0)=π/4log2・(2^8t-2・2^6t+2^4t)=π/4log2・2^4t(2^2t-1)^2(2)単純にxで微分して増減を調べても全然問題ないねんけど、一応X二次関数で出来てX=2^tとおくとt<0から0<X<1でV(t)=π/4log2・X^2(X-1)^2=π/4log2・(X(1-X))^20<X<1だからX(1-X)>0でX(1-X)=-(X-1/2)^2+1/4より0<X(1-X)≦1/4⇔0<{X(1-x)}^2≦1/16だから{X(1-X)}^2はX=1/2つまりt=-1/2の時、最大値16をとるから、V(t)はこの時最大で最大値はπ/64log2になります。TRACKBACK(0)▲ページトップへ微分と数列の問題、大阪大学2008年度理系の第三問の解説なんか汗臭いおっさんとすれ違った時のテンションやわ。