受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。センター試験2007年度数学2B第1問、三角関数と対数関数、領域の問題の解説コオロギが鳴くと、人が三人べふべふと言われてますがセンター試験の2007年数学2Bの第1問の三角関数と対数関数、領域の問題をいきます。[問題]第1問(1)不等式sin2x>√2cos(x+π/4)+1/2を満たすxの範囲を求めよう。a=sinx,b=cosxとおくと、与えられた不等式は(ア)ab+(イ)a-(ウ)b-1>0となる。((キ)/(ク))π<x<((ケ)/(コ))πである。(2)不等式2+log_√y(3)<log_y(81)+2log_y(1-x/2)で表す領域を求めよう。yと√yは対数の底であるからy>(サ),y≠(シ)である。真数は正であるあらx<(ス)である。対数log_a(b)に対して、aを底といい、bを真数と言う。log_3(1-x/2)/log3_yとなる。とき、log_3(y)>log_3{(ツ)(1-x/2)}となる。求める領域を図示すると、次の図(ト)の影をつけた部分となる。境界(境界線)は含まない。(ト)に当てはまるるものを、次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。[解答と解説](1)a=sinx,b=cosxだからsin2x>√2cos(x+π/4)+1/2をsinxとcosxにしなければなりません。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβとこれから2倍角はsin2α=2sinαcosαcos2α=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2です。sin2x=2sinxcosxcos(x+π/4)=cosxcosπ/4-sinxsinπ/4=1/√2×(cosx-sinx)って変型させて2sinxcosx>cosx-sinx+1/2整理してa,bに置き換えて4ab+2a-2b-1>0です。これはちょっと忘れがちな因数分解出来る形ですが因数分解はとりあえず一つの文字について整理(次数が低い方)するとだいたい出来て2(2b+1)a-(2b+1)>0⇔(2a-1)(2b+1)>0です。これは2sinx-1と2cosx+1が同符号ってことです。sinx>1/2かつcosx>-1/2またはsinx-<1/2かつcosx<-1/2で単位円を書くとsinx=1/2はx=π/6,5π/6cosx=-1/2はx=2π/3,4π/3だから図からπ/6<x<2π/35π/6<x<4π/3とわかりました。((キ)/(ク))π<x<((ケ)/(コ))πの解答欄の形からπ/6<x<2π/3、5π/6<x<4π/3としか入れようがありませんが。いう解答欄の形も大きなヒントになってるので落ち着いて先に解答欄の形を見てから計算するようにしてください。(2)底の条件ですが、これは余り問われることが無いので忘れがちですが1でない正の数です。1は何乗しようが1なので対数が定義できせん。yと√yが底だからy>0,y≠1です。真数条件は正であることだから(1-x/2)>0よりx<2です。次は解答欄を見ると底を3に揃えるようですが、底の変換はlog_a(b)の底をcにするにはlog_a(b)=log_c(b)/log_c(a)です。cを底にして分母を元の底のaを真数に、分子を元の真数bを同じように真数にします。これを使って底を3に揃えていくとlog_3(3)=1,log_3(√y)=1/2×log_3(y)だからlog_√y(3)=log_3(3)/log_3(√y)=1/(1/2×log_3(y))=2/log_3(y)log_3(81)=log_3(3^4)=4だからlog_y(81)=log_3(81)/log_3(y)=4/log_3(y)です。これを最初の不等式に入れると2+2/log_3(y)<4/log_3(y)+2log_y(1-x/2)で、log_y(1-x/2)が何故か無視されていることに気づくからlog_3(1-x/2)/log_3(y)と底3にして整理すると1<1/log_3(y)+log_3(1-x/2)/log_3(y)となります。解答欄の形log_3(y)<log_3{(ツ)(1-x/2)}からlog_3(y)を両辺にかけてるから、この正負で場合分けと予想されます。log_3(y)はyが1の時0だから1で正負がかわって底3は1より大きいから増加関数なのでy>1のときはlog_3(y)>0でlog_3(y)<1+log_3{(1-x/2)}=log_3(3)+log_3(1-x/2)=log_3{3(1-x/2)}0<y<1のときはlog_3(y)<0でlog_3(y)>log_3{3(1-x/2)}です。log_c(A)+log_c(B)=log_c(AB)を使ってます。最後にグラフですが底が3で1より大きいからlogをとっても大小関係はそのままです。y>1のときはlog_3(y)<log_3{3(1-x/2)}⇔y<3-3x/20<y<1のときはlog_3(y)>log_3{3(1-x/2)⇔y>3-3x/2それとx<2であったので、これをあわせるとy>1の領域でy=3-3x/2より下側が影になってるのは(1)か(3)で(3)はxが2をこえてるようなので(1)です。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/113-c40a12f7この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。