受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。コース前期2009年度第二問の解説ちょっと珈琲飲みすぎて胃が悪くなった子連れてきて。コース2009年度第二問[問題]n=1,2,3,...に対してS_n=∫(0→1)x^(2n+1)e^(-x^2)dxとおく。eは自然対数のそこである。(i)I=∫(0→1)x^(-x^2)dxおよびS_1の値を求めよ.(ii)S_(n+1)をS_nを用いて表せ.(iii)T_n=S_n/n!とおいくとき,T_(n+1)をT_nを用いて表せ.(iv)S_nを求めよ.(必要ならば和の記号Σを用いてよい.)(v)nが1以上の整数のとき,次の不等式を証明せよ,1/(n+1)!<e-1-Σ(k=1~n)1/k!<e/(n+1)![解答と解説](i)まずは具体的な値で求めてみって問題やな。この後にこれをヒントにして一般的に解けって流れが多いねん。難しい問題ではそういう誘導がついてないから、自分でまず具体的な値で計算してみる思考が出来るようにならなあかんねんな。Iはn=0の時と言わんばかりですが(e^(-x^2))'=e^(-x^2)(-x^2)'=-2xe^(-x^2)より普通に積分できてI=∫(0→1)xe^(-x^2)dx=[-e^(-x^2)/2](0→1)=1/2-1/(2e)S_1はx^3e^(-x^2)をx^2・xe^(-x^2)と考えてxe^(-x^2)を積分,x^2を微分する部分積分したら求まります。基本はe^xとかsinxとか積分しても元に戻るのは積分、x^nの方を微分して次数を下げていくってやり方が上手くいくことが多いです。(ii)最初言ったように(i)がヒントになってて、具体的な値で考えてみて一般的なのを類推するのが数学でよく使う思考やねんけど実際(i)でもS_1は部分積分するとIの積分の形が出てきたから同じようにS_(n+1)も部分積分したらS_nの形が出ると思われてx^(2n+3)e^(-x^2)をx^(2n+2)・xe^(-x^2)と考えてxe^(-x^2)を積分、x^(2n+2)を微分する部分積分をやるとS_(n+1)=-1/(2e)+(n+1)S_nと求まります。(iii)単にS_n=n!T_nを(ii)の漸化式に代入したら機械的に求まるねんけど、S_(n+1)=-1/(2e)+(n+1)S_nの(n+1)!で両辺わればS_(n+1)/(n+1)!=-1/(2e(n+1)!)+S_n/n!でT_(n+1)=-1/(2e(n+1)!)+T_nと求まります。(iv)(必要ならば和の記号Σを用いてよい.)って書いてるからには、Σを使うと言わんばかりです。そんなんたかし君はスーパーに1個120円のりんごを3個,1個80円のみかんを2個買いました。たかし君は合計何円使ったでしょう?(必要ならば和の記号Σを用いてよい.)とか注意書きあったらおかしいからな。(iii)でT_(n+1)とT_nの関係を求めさせられたから、たぶんこっちを使って解くと思うねん。T_(n+1)=-1/(2e(n+1)!)+T_nはT_nの階差数列が-1/(2e(n+1)!)だからn≧2のときT_n=T_1+Σ(k=1~n-1)(-1/(2e(k+1)!))であとは整理したらええねんけど,Σのk+1をkにおきかえたらT_n=T_1+Σ(k=2~n)(-1/(2ek!))でk=1では-1/(2e)だからこれも含めて、足して帳尻あわせてT_n=T_1+Σ(k=1~n)(-1/(2ek!))+1/(2e)=1/2-1/(2e)-1/(2e)・Σ(k=1~n)1/k!こうすればn≧2で成り立つ式やったけどn=1を代入するとT_1=1/2-1/(2e)-1/(2e)=1/2-1/e=S_1/1!だからn=1の時も成立することになります。よってS_n=n!T_n=n!/(2e)・(e-1-Σ(k=1~n)1/k!)(v)e-1-Σ(k=1~n)1/k!はS_n=n!/(2e)・(e-1-Σ(k=1~n)1/k!)と同じ部分があるし、流れから言うてS_nを使って示すと思われます。1/(n+1)!<e-1-Σ(k=1~n)1/k!<e/(n+1)!⇔1/(n+1)!<2eS_n/n!<e/(n+1)!⇔1<2e(n+1)S_n<eだからこれを示したらええことになりますが、ぶるえー!!なります。ぶるえー!なるんじゃなくて、紳士としてぶるえー!!なります。これはちょっと難しいかもしれんけど、解析ではよく技があって0<x<1において1/e<e^(-x^2)<1だからx^(2n+1)/e<x^(2n+1)e^(-x^2)<x^(2n+1)これを0から1まで積分しても不等式の向きは同じで∫(0→1)x^(2n+1)/edx<∫(0→1)x^(2n+1)e^(-x^2)dx<∫(0→1)x^(2n+1)dx⇔2e(n+1)∫(0→1)x^(2n+1)/edx<2e(n+1)S_n<2e(n+1)∫(0→1)x^(2n+1)dxこれを計算したら示すことが出来るねん。やって0<x<1で1/e<e^(-x^2)<1だから...って積分の不等式を作ってダイナミックに評価すること解析学ではよくあるねんな。∫(a→b)f(x)dx≦∫(a→b)g(x)dxこれは習ったことはあるとは思うねんけど、実際に使うのは中々難しくて色々な例で勉強していかなあかんねんけど、まあ今回のやつも解き方を覚えておいて次に似たようなのがあれば使えるようにしておいてください。満たす整数bおよび0でない整数a_1,a_2,...,a_nが存在する。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/392-2aaba3acこの記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。