distribution)とは統計学において最もよく利用される平均値を中心にしてベル型の左右対称の連続型確率分布で、分布の形は2つのパラメータである平均値μと分散σ2によって決まります。ちなみにμは「ミュー」、σは「シグマ」と読みます。distribution)と呼ばれます。平均値μは分布のベル型の中心がどこになるかを決定し、分散σ2は分布が左右にどれだけ幅広く広がっていくかを決定します。確率変数Xが平均値μ、分散σ2の正規分布に従うことを又はなどと表します。正規分布の確率密度関数(pdf)、期待値、分散は以下の通りです。(-∞<x<∞)※eはネイピア数と呼ばれ約2.718のことです。※exp(x)はeのx乗の意味です。※上記2つの式は全く同じことを違う表記を用いて表しただけです。同質性の高い集団における各人の身長はおおよそ正規分布に従うと言われています。仮に、日本人成人男性をランダムに一人抽出した時のその人の身長を確率変数Xとすると、Xが平均μ=171cm、分散σ2=64の正規分布に従うとします。(これは筆者の肌感覚で大体正しいと思われるものです。正式なデータではありません。)なお分散がσ2=64なので、標準偏差はσ=8となりますね。E(X)=μ=171•分散Var(X)=σ2=64となります。正規分布の期待値と分散は、パラメータ(μ,σ2)そのものですね。正規分布では平均値μから左右に±1標準偏差(σ)内に68%、±2標準偏差(σ)内に95%、±3標準偏差(σ)内に99.7%の確率で事象が発生します。99.7%図で表すと以下のようになりますね。平均値±1標準偏差に68%平均値±2標準偏差に95%平均値±3標準偏差に99.7%例それでは68%,95%,99.7%の法則の例を見てみましょう。前述のように、日本人成人男性をランダムに一人選んだとき、その人の身長を確率変数Xとすると、確率変数Xが平均値μ=171,分散σ2=64(つまり標準偏差σ=8)の正規分布に従うと仮定します。平均値から前後1標準偏差は163から179ですから、日本人の成人男性全体の68%が163cm以上179cm以下の身長になるとわかります。この正規分布の曲線は、先ほどの例で求めたのグラフです。この確率密度関数を163から179で積分すると、となり、約68%となります。次に平均値から前後2標準偏差は155から187ですから、日本人の成人男性全体の95%が155cm以上187cm以下の身長になるとわかります。平均値から前後3標準偏差は147から195ですから、日本人の成人男性全体の99.7%が147cm以上195cm以下の身長になるとわかります。例と同じように、日本人成人男性の身長が平均値179、標準偏差8の正規分布に従うと仮定します。左右対称なので、68%,95%,99.7%の法則を用いて以下の図の色が付いている部分を求めることができます。身長171cm以上179cm以下は平均値171から、1標準偏差分大きい179までの範囲ですから34%と求めることができます。身長155cm以上187cm以下は平均値171から±2標準偏差分ですから、95%、そして正規分布は左右対称ですから、その範囲の外は左右各2.5%です。身長155cm以下または187cm以上の人は全体の5%と求められます。