受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。因数分解は最初は難しいです。覚えなければならいのが難しいとこです。言うことで、今日は僕と一緒に因数分解を覚えましょう。恐い言い方ですねこれ。あらゆる角度から見ると、覚えられる時があります。今日は因数分解の図形的な意味を解説したいと思います。したら、紙とエンピツとはさみを用意してください。そんなん書いてもみんな絶対用意せえへんのやろうけどな。(a+b)^2=a^2+2ab+b^2からです。(a+b)^2はこの図の一番大きい辺の長さa+bの正方形の面積になります。辺の長さaの正方形と辺の長さaとbの長方形二つと辺の長さbの正方形になります。これらの正方形や長方形を全て足すと、もとの辺の長さa+bの正方形になります。いう風に考えると(a+b)^2=a^2+2ab+b^2って式も何となく図形的に見えるような気がしてきます。次は(a-b)^2=a^2-2ab+b+2^bです。これも同じように考えるわけですが、ちょっとややこしいです。(a-b)^2は図の赤い斜線の正方形の面積です。これは元の大きな辺の長さaの正方向からブーメラン型のとこを引いた面積になりますが、そのブーメラン型が若干難しいです。これは辺の長さaとbの長方形をa^2から二回引いてみます。したら、二つの長方形の重なった所の辺の長さbの正方形を一回余分に引くことになるからこれを最後に足します。これで(a-b)^2=a^2-2ab+b^2も図形的に見えんことも無いことがわかりました。無理あったかもしれません。次はa^2-b^2=(a+b)(a-b)です。これは、辺の長さaの正方形から辺の長さbの正方形を引いたところの面積です。はい、図の黒い斜線部ですね。この部分を求めるには、図のように切って横につなげて長方形にします。この長方形は、辺の長さは(a+b)と(a-b)です。a^2-b^2=(a+b)(a-b)も図形的に理解できたような気がするようになりました。最終的には因数分解はやりまくって身体で覚えるもんですが、最初のうちはこういう風に工夫したりするとわかりやすいかもしれません。TRACKBACK(0)▲ページトップへpdfファイルなんと数学の記事を大学院生のたけし君(本当の名前違います)がpdfファイルにしてくれました。TRACKBACK(0)▲ページトップへ(京都大学文系)命題p:あるnに対して√nと√(n+1)は共に有理数である。外に出ればセミがミンミンと無く声が聞こえる夏休みにも入り、すっかり夏休みに入りそうになりました。今日は京大文系の2007年の問題です。[問題]nを1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。命題p:あるnに対して√nと√(n+1)は共に有理数である。[解答・解説]命題pからいきましょう。自然数nに対して√nが有理数ってことは√nは整数のはずです。当たり前ですが一応示したほうがいいかもしれません。気づかずに有理数のままやってしまうもんやと思うから、計算がぶーわーなった子がたくさん出たかもしれません。√nが有理数とすると互いに素な自然数iとjを使って√n=i/jとあらわせてnj^2=i^2でiとjは互いに素だからj=1とか√2が有理数である証明みたいにしてもいいかもしれませんが、nが平方数でなかったら√nは無理数はたぶん自明だから、nが平方数なら√nは整数nが平方数でないなら√nは無理数で√nが有理数⇔√nが整数としてもいいかもしれません。どこまで自明とするかがちょっと悩むとこです。言うことは、√nと√(n+1)は共に有理数ってことは√nと√(n+1)は共に整数ってことです。整数なら差が1以上です。整数問題ってこういう当たり前のことをよく使います。4-3=1、5-3=2とか言うように異なる整数で大きいほうから小さいほうを引くと、そら差は1以上になります。ところが、さすがに√nと√(n+1)が差が1以上あるとは思えません。そこをついていきます。式にすれば√(n+1)-√nが1未満であれば、pは正しくないことが証明されます。中学では分母を有理化しろって教えられました。高校では分子を有理化しろって教えられます。有理化と言っても(√x-√y)(√x+√y)=x-yを使います。これは文系の問題ですが、理系の人なら数学IIIの極限求めるのにもよくつかったと思います。分子を有理化してみましょう。√(n+1)-√n=(√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n)=1/(√(n+1)+√n)<1(nは自然数より)で1未満であることがわかりました。よって√nと√(n+1)を共に有理数とすると√nと√(n+1)は共に整数であるが0<√(n+1)-√n<1より矛盾。したがって命題pは正しくない。次に命題qですが、恐らくこれは正しいと感覚的に思えます。出題者の意図としてpの方は結構当たり前なのでpはqを示すためにあると考えて良さそうです。√nは有理数であるとして矛盾を示すことを考えます。さっきもやりましたが、もう有理数と言えば互いに素な整数iとjを用いてi/jと表せるを反射的に思い浮かべるようにしてください。そらこれで解けない問題もあるかもしれませんが、かなりの割合で解けます。「有理数と言えば互いに素な整数iとjを用いてi/jと表せる」これさえあれば株の取引も出来ます。√n=i/j(i≠0、j≠0)...1そこで、また分子は有理化します。√(n+1)+√n=j/i...21と2から√(n+1)=1/2(i/j+j/i)√n=1/2(j/i-i/j)となって、√(n+1)と√nはともに有理数となります。これはさっき正しくないことを証明したから矛盾してます。よって命題qは正しいことが証明されました。時間が余った時は、ノートの下に図を描く練習でもしときましょう。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。