大阪大学2008年度の理系の第三問の解説。[問題]Nを2以上の自然数とする。(1)関数f(x)=(N-x)logxを1≦x≦Nの範囲で考える。このとき、曲線y=f(x)は上に凸であり、関数f(x)は極大値を1つだけとる。(2)自然数の列a_1,a_2,...,a_Nをa_n=n^(N-n)(n=1,2,3,...,N)で定める。a_1,a_2,...,a_Nのうちで最大の値をMとし、M=a_nとなるnの個数をkとする。このときk≦2であることを示せ。(2)でk=2となるのは、Nが2のときだけであることを示せ。[解答と解説]凸であることを調べろってことは二階微分せなあかんってことやな。2階微分してみよ、f'(x)=-logx+(N-x)/xf''(x)=1/x-1/x^2で1≦x≦Nやからf''(x)<0で上に凸ってことがわかります。それと、f''(x)はf'(x)の微分であるってことも忘れたらあかんかって、f''(x)<0ってことはf'(x)は単調減少なわけやな。正確に言うにはg(x)を関数としてg(x)が単調減少であるとはa<bの時g(a)>g(b)とa>bの時g(a)≧g(b)の二つが本によってバラバラに定義されていますが、今回はf''(x)<0だからa<bの時g(a)>g(b)の方になるので、イコールがつかないことを明確に区別して扱いたい時には狭義単調減少と言う言葉を使ってみてください。本当はちゃんと区別せなあかんのに適当な模範解答も見られるからそこまで要求されることあんまり無いんやろうけどな。それでf(x)が極大値をただ一つ持つってことはf'(x)が定義でf'(x)=0となるxがただ一つあって狭義単調減少なわけやから定義域の端点のx=1で正で、x=Nで負であることが言えるんちゃうかって予想がたつわけやねんな。実際f'(1)=N-1>0,f'(N)=-logN<0でf'(α)=0(1<α<N)となるαがただ一つ存在することになります。ここで単調減少って言葉がa>bの時g(a)≧g(b)を意味してしまったら、これを示しただけでは例えばf'(x)=(x-3)^2(1≦x<3)0(3≦x<4)-(x-4)^2(4≦x<N)と言うような関数ならば、今書いた意味の単調減少でf'(x)=0となるxが無限にある(非可算無限とか言う)ことになるから困るねんな。頭わけわからんことなったら、気にしないでください。高校ではこの辺あまり気にしなくてもたぶん大丈夫やし、何よりも増減表を書いたらはっきりこの辺のことが示されるので増減表を書いておけば大丈夫です。言葉をだらだら書くより増減表やな。(2)これはなんか問題文にややこしいことを書いてて、難しそうやねんけどとりあえず(1)で書いた増減表とかを元にしてグラフを書いてみてください。数学は考える前にまずは図やからな。なんでy=(N-x)logxのグラフなんか言うたらloga_n=(N-x)logn=f(n)やから、f(n)=logMとなる個数を調べたらええわけやねんな。それはさすがにピンと来るかもしれんな。それでy=(N-x)logxのグラフを書いてみたら、そもそもy=一定の直線をどこの引いても共有点は2個以下やろ。Mがどんな値であろうとy=(N-x)logxとy=logMの共有点は2個以下やし、さらに整数の点になるものだけ考えても2個以下なわけや。これMが最大値とか書いてるけど関係ないねんな。解析的な問題ではこういう、そもそも実数でも成り立たないことを示したり、そもそもMはどんな値でも成り立たないとか言うような論理をよく使うからこの示しかた覚えとってください。(3)a_1=1,a_N=1やからk=2となる時はN=2となる時ってことはa_1=1,a_2=1で最大値1ってことやろな。f(x)はx=αで最大やったからその隣にあるxが整数になる点がf(n)が最大になる点でa_nも最大になるわけやけど、x=αの両隣の二つのxが整数になる点の値が同じやったらええわけや。iをi≦α<i+1となる自然数としてf(i)=f(i+1)やったらええねん。f(i)=f(i+1)⇔a_i=a_(i+1)⇔i^(N-i)=(i+1)^(N-i-1)凄い解析的な考え方が続いてたけど、こっからは整数問題になってiとi+1は連続2整数やからどっちかが奇数でどっちが偶数なわけやん。この式が成り立つには、偶数と奇数が等しいわけがないから偶数の方の指数を0にして1にしたら奇数にやん。それで奇数の方を1にしたらええねん。iが偶数の時はi+1が奇数でN-i=0かつ1=i+1⇔i=N=0これはiが0なのもおかしいしN≧2やったから不適やな。iが奇数の時はi+1が偶数でN-i-1=0かつi=1⇔i=1、N=2これはオッケーでN=2って決まります。この問題は数列の問題を解くのに、まず実数の範囲で考えて、それから整数の点を考えると言う流れの問題で色々とよく使う考え方が入っているし、実数の範囲で考える誘導がついてますがもっと難しい問題では自分で関数を設定しなければならないこともあるので、この解き方とか流れを覚えておいてください。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。