1の保型形式に関しては、それに一般論が適用できないことが理由で最も基本的なことですら、これまでには出来ていなかった。formulaを適用し、最も一般な不連続群「に関し、重さ1の場合の次元公式、Hecke作用素の跡公式を導くことに成功した。そこには、新しい型のゼーター関数【ξ^A】(S)が登場する。この整数論的ゼーター関数の研究、例えばその関数等式、原点S=0でのResidue等を求めることがこれからの新たな課題だと思われる。