取り得る)に対して定義される「連続性」よりも弱い性質である。小さい(大きい)ことを言う。青で塗り潰した点がf(x0)。区分的に定義された関数fを考える。0において上半連続であるが、下半連続ではない。青で塗り潰した点がf(x0)。閉集合の指示関数が上半連続である一方、開集合の指示関数は下半連続である。}は、全ての点において上半連続である。関数は、左連続と右連続のいずれでもなくても、上または下半連続でありうる。1では左連続でも右連続でもないが、上半連続である。左からの極限は1、右からの極限は1/2であり、いずれも関数値の2とは異っている。0において、左右からの極限値は存在すらしていないが、上半連続である。拡張実数値関数とする。上半連続であると言う。上半連続函数であるとは、それが定義域の全ての点において上半連続であることをいう。ついても開集合となることである。f(x_{0})}が成立することをいう。下半連続函数であるとは、それがその定義域の全ての点で下半連続となるときにいう。開集合となるときであり、かつそのときに限る。おいて上半連続かつ下半連続であるとき、その点において連続であり、かつ連続となるのはそのときに限る。従って、半連続性を連続性の証明に利用できる。おいて上半連続である。上半連続関数fに対し、−fは下半連続関数となる。正の上半連続関数fに対し、1/fは下半連続関数となる。∞]-値下半連続関数と最小値についても同様のことが言える(証明は最大値最小値定理を参照)。X}で定義されるものとするとき、fは下半連続である。実際に、一様空間(例えば距離空間)における全ての下半連続関数は連続函数列の上限として現れる。あらゆる開集合の指示関数は下半連続である。閉集合の指示関数は上半連続である。そのエピグラフ(グラフ上、またはグラフより上の点の集合)が閉集合である時にのみ下半連続となる。関して連続であることとは同値である。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。