受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。積分の問題、京都大学2009年度文系第2問の解説もう数学的帰納法の時代は終わった。京都大学2009年度文系第2問の積分の問題を解説をします。[問題]整式f(x)と実数Cが∫(0,x)f(y)dy+∫(0,1)(x+y)^2f(y)dy=x^2+Cをみたすとき、このf(x)とCを求めよ。[解答と解説]こういう積分記号で表された整式の解き方の解法は1,微分してみる2,k=∫(0,1)f(y)dyとおいてf(x)をkで表して再びこの式に代入する3,x=0とか値を入れてみると選択肢があります。この問題では∫(0,x)f(y)dyって形があるのでxで微分したらここがf(x)になります。右辺はただの2xになります。気をつけて欲しいのは∫(0,1)(x+y)^2f(y)dyです。どれが変数でどれが定数になるかよく見極めてください変数はxだけです。∫(0,1)(x+y)^2f(y)dy=∫(0,1)(x^2+2xy+y^2)f(y)dy=x^2∫(0,1)f(y)dy+2x∫(0,1)yf(y)dy+∫(0,1)y^2f(y)dyとxを分離して微分します。∫(0,1)f(y)dyと∫(0,1)yf(y)dyと∫(0,1)y^2f(y)dyは定数なので微分できます。そのまま積分の中を微分して∫(0,1)2(x+y)f(y)dyとしても結果は同じなんですが実は積分と微分を交換していいのかどうかって言う話しは理系の理学部で数学を専門にやってる人の中で一部しか理解してないような難しい話やねん。積分と微分を交換するのだけはやらないでください。まとめておいて∫(0,x)f(y)dy+x^2∫(0,1)f(y)dy+2x∫(0,1)yf(y)dy+∫(0,1)y^2f(y)dy=x^2+C...11の両辺をxで微分してf(x)+2x∫(0,1)f(y)dy+2∫(0,1)yf(y)dy=2x⇔f(x)=2(1-∫(0,1)f(y)dy)x-2∫(0,1)yf(y)dyここまでくると∫(0,1)f(y)dy=k...2∫(0,1)yf(y)dy=l...3っておくのがよくやる解法やから、十分にふにゅっといてください。f(x)=2(1-k)x-2lになってこれを2と3に代入するんでしたね。最初はこれ変な感じがしたけどな。2に代入して[(1-k)y^2-3ly](0,1)=k⇔2l+2k=1...2'3に代入して[2/3・(1-k)y^3-ly](0,1)=l⇔6l+2k=2...3'これで2',3'よりl=1/4,k=1/4と求まってf(x)=3x/2-1/2って無事に求まりました。Cの求め方ですが、これは実は1にx=0を代入します。すると左辺の∫(0,x)f(y)dyは積分区間が∫(0,0)f(y)dy=0x^2∫(0,1)f(y)dyも2x∫(0,1)yf(y)dyも0右辺のx^2も0で∫(0,1)y^2f(y)dy=Cってなります。やってxに何か値を入れると上手くいくのもポイントなんで覚えていてください。この問題は文系の問題なのに全部そういう大切な事項が網羅されてて、みんなもう丸暗記して欲しいような問題です。∫(0,x)f(y)dy=-∫(0,1)(x+y)^2f(y)dy+x^2+Cより右辺はxの二次式だからf(x)は一次式でf(x)=ax+bって置けて代入して積分してxの係数を比べるとかごり押し計算で何とかなります。解ければいいので、そういうこともチェックしといてください。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/231-1f61f264この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。