受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。慶應大学2009年度理工学部の問題B1の解説、うへ~[問題]B1xy平面上において円C:x^2+y^2=1と直線l:2x-y=0を考える。1)で表される1次変換によって、円Cはどのような図形に移るか。理由をつけて答えなさい。(2)円Cと直線lとの交点の座標は((ヒ),(フ)),((ヘ),(ホ))である。d)をすべて求めなさい。求める過程も示すこと。1)を見たらπ/4回転させて√2倍する行列ってことわかって欲しいわけやな。そんなお兄さんの期待を裏切っても大丈夫。お兄さんはちょっと悲しいけど、そういうのなれてるから。円C上の点は(cosθ,sinθ)(0≦θ<2π)って言う表示が簡単になりやすいと思います。1)で変換すると(√2cos(θ+π/4),√2sin(θ+π/4))に移って、π/4≦θ+π/4<2π+π/4でちゃんと一周するから半径√2の原点中心の円になります。(2)もうこれは連立して解くだけですね。2x-y=0からy=2xでこれをx^2+y^2=1に代入してx^2+4x^2=1⇔x^2=1/5だからx=±1/√5でy=2xだから(x,y)=(1/√5,2/√5),(-1/√5,-2/√5)(3)この問題は(2)からAの変換で交点も再び交点に移らないといけないから、それで結構必要条件が出ますが、今回は行列の勉強と言うことで円C上が円Cに移るAの必要十分条件を求めたいと思います。円C上の点は(cosθ,sinθ)(0≦θ<2π)って言う表示であらわされたからこれをAによって移すと(acosθ+bsinθ,ccosθ+dsinθ)これが円上の点になるには(acosθ+bsinθ)^2+(ccosθ+dsinθ)^2=1⇔(a^2+c^2)(cosθ)^2+2(ab+cd)cosθsinθ+(b^2+d^2)(sinθ)^2-1=0...[1]これが0≦θ<2πとなるすべてのθで成立しなければならないから、こういうのはcosθ=0とかsinθ=0となるようなθを代入して必要条件をだしていくのがコツでθ=0の時より,a^2+c^2=1θ=π/2の時より、b^2+d^2=1それでこれらを[1]に代入するとすべての実数θで(ab+cd)cosθsinθ=0がなりたたなければならないから、適当にθ=π/4でも入れてab+cd=0よてa^2*c^2=1...[2]b^2+d^2=1...[3]ab+cd=0...[4]が必要条件になります。[2][3][4]が成り立てば、任意のθで[1]が成り立つから必要十分条件になってます。よってAによって円Cが円Cに移る⇔[2][3][4]です。それでこの[2][3][4]の式が出てこれば[2]は二乗を足すと1になるからa=cosα,c=sinα(0≦α<2π)とか置けるのに注意して欲しいねん。いうのは最後に書くけど回転か、鏡映とか言う変換になると言うちょっと大学の線形代数の領域になるけど、そういう背景があるねん。それでこの背景が結構、入試問題に∂ねん。そこでこれらの式を見ると、a=cosα、c=sinαって置くのを覚えてください。したら[4]はbcosα+dsinα=0b^2+d^2=1でこれを解くと、cosα=0の時は、d=0,b=±1cosα≠0の時はb消去してd^2=(cosα)^2よりd=±cosαでb=-dsinα/cosαから(b,d)=(-sinα,cosα),(sinα、-cosα)これはcosα=0の時も含む。-cosα)ってαだけで表せるわけや。これはもちろん円Cを円Cに移す必要十分な条件になってます。(c+2d)t)これがすべての実数tでl:2x-y=0上の点になるには2(a+2b)t-(c+2d)t=0⇔(2a+4b-c-2d)t=0がすべての実数tで成り立たなければならないから2a+4b-c-2d=0...[5]です。単位行列または単位行列×(-1)ですね。3/5)って求まったな。cosα)はこれはよく知ってるようにα回転させる一次変換になります。-cosα)の方は同じように(cosβ,sinβ)に作用させて加法定理使うと(cos(α-β),sin(α-β))とか言う点に移ります。これはx軸について折り返して(β→-β)α回転(-β→α-β)する一次変換です。これは結局のところy=(tan(α/2))xに関して、対称移動させる一次変換です。これは対称移動だから、鏡に映したような変換、鏡映とか言います。鏡映は大学の範囲ですが、こういう問題の背景を知ってるとかなりやりやすくなります。TRACKBACK(0)▲ページトップへ三次方程式の問題、慶應大学2009年度理工学部のA4の解説もしよかったら工事の音を聞きながら、数学やってくれ。慶應大学2009年度理工学部の問題A4の解説[問題]a>0とする。このとき、3次方程式(x^3+3x)/2=aはただ一つの実数解x(a)>0をもつ。正の数Rに対し,0<a≦Rの範囲でaを動かすとき、対応する実数解x(a)が整数となるようなaの個数をN(R)とする。N(R)=1となるようなRの範囲は(ナ)≦R<(ニ)である。1/uとおき、(x^3+3x)/2をuで表すと(ヌ)である。((√(ネ))^(1/3)>0)となる。L=lim(R→∞)R^(-c)N(R)が有限な正の値となるのはC=(ノ)のときであり、そのときL=(ハ)である。[解答と解説]f(x)=(x^3+3x)/2とおいて、y=f(x)のグラフを考えてy=aを動かして交点を考える方針です。なんか問題A3とかぶってるような気がするけどな。f(x)を微分してみるとf'(x)=3(x^2+1)/2>0からf(x)は増加関数なことがわかります。グラフを書いたらy=aとの交点は一つってことがわかってるもらえると思う年頃やな。y=aを0から上に動かしてxのとこが整数になる交点はまずf(1)=2から(1,2)。それでさらに上に動かすと次xのとこが整数になるのはf(2)=7から(2,7)。aは2以上まで動かないと、整数になるのは1個にならないし、7までいってまうと整数になるのが2個になってまうから7未満を動かなあかんわけや。よって2≦R<7ってわかります。やってグラフを書いてy=aを上下させてaの最大値はどの範囲になればいいのか考えたってくれ。今日はこの辺で終わろか。なんでそんな中途半端なことするねん。x=u-1/uとおくと...ってありますが、この手の三次方程式の解き方やな。えっと(x^3+3x)/2=(u^3-3u+3/u-3/u^3+3u-3/u)/2=(u^3-3/u^3)/2だから方程式をuで表すと(u^3-1/u^3)/2=a⇔u^6-2au^3-1=0これはu^3の二次方程式やからu=a±√(a^2+1)それでx(a)の値は一つなはずやけど、uが二つの値になってるのはその二つの解をu_1,u_2とすれば解と係数の関係からu_1^3・u_2^3=-1⇔u_1・u_2=-1これからu_1-1/u_1=-1/u_2+u_2=u_2-1/u_2だからx=u-1/uはどっちの値でも同じやから結局xは一つに決まるねん。問題文からは3乗根の中が正での表し方やからx(a)=(a+√(a^2+1))^(1/3)+1/(a+√(a^2+1))^(1/3)最後にあれや。R^(-c)N(R)の極限ですわ。左辺=R^(1/3-c)((1+√(1+1/R^2))^(1/3)+(1-√(1+1/R^2))^(1/3)-1/R^(1/3))右辺=R^(1/3-c)((1+√(1+1/R^2))^(1/3)+(1-√(1+1/R^2))^(1/3))これからc>1/3やとR→∞で左辺→∞でR^(-c)N(R)は∞に発散C=1/3やとR→∞で左辺→2^(1/3),右辺→2^(1/3)よってR^(-c)N(R)→2^(1/3)c<1/3やとR→∞で右辺→0だからR^(-c)N(R)は0以下になってまうわけや。c=1/3の時にLは有限な正の値の2^(1/3)になりました。今日は寒いかったから、鼻から血出たわ。慶應大学2009年度理工学部の問題A3の解説いきます。[問題]a>1とする。xy平面上において点(a,a)を中心とする半径rの円(x-a)^2+(y-a)^2=r^2を考える。この円が曲線C:xy=1(x>0)に接するのは、半径rがどのような値のときであるか調べてみよう。a)^2と直線y=r^2が接する場合の接点のx座標と一致する。1<a≦(ソ)のとき、y=f(x)はx>0においてx=a_0=(タ)でのみ極小となる。よって、x座標がa_0なる点において半径r=(チ)の円だけが曲線Cに接する。a>(ソ)のとき、y=f(x)はx>0においてx=a_0で極大となり、x=a_1=(ツ),x=a_2=(テ)(a_1<a_2)において極小となる。したがって、x座標がa_0なる点で曲線Cに接する円のほかに、半径r=(ト)の円がx座標がa_1,a_2なる2点において曲線Cに接する。a)^2のグラフを書いてy=r^2が接するようにすれば良いってやろうとしてるわけやな。変数分離とか言うても、元から分離されてるけどな。この誘導が無いと横の受験生にペットボトルで襲いかかることになりそうな感じがします。文章を何となく読んどったら、極小とか出てくるから微分するんやろな。)(-1/x^2)=2(x-1)(x+1)(x^2-ax+1)/x^3はい、いいですね。微分したらこうやって因数分解って言うのが、そらもうあれやろ。x^2-ax+1のとこがaの値によって常に0以上やったりとか、負になったりとかするから、判別式をDとしてD=a^2-4=(a-2)(a+2)でこれで場合分けをします。x=a_0のみで極小って書いてるから、x^2-ax+1は常に0以上⇔D≦0⇔-2≦a≦2の時の場合になります。a>1やったから、1<a≦2の時です。この時は定義域はx>0だから(x-1)だけがf'(x)の正負にかかわっててx=1で極小になることが増減表かいたらわかります。a_0=1でlim(x→+0)f(x)=∞に注意してグラフを書くと、y=r^2がy=f(x)に接するのは極小になってるx=a_0のところです。f(a_0)=r^2となる時が円が曲線Cに接する時です。これを解いていってf(a_0)=f(1)=2(1-a)^2でr>0だからr=(√2)(a-1)次はD>0⇔a<-2,2<aの時でa>1から2<aの時を考えるとこれはx^2-ax+1=0は異なる二つの解を持つから、それをα,βおくと(α>β)(x-1)の因子からx=1とα,βは一体どういうお関係なのか知りたくなりますが、g(x)=x^2-ax+1とおくとg(1)=2-a<0より二次関数y=g(x)のグラフを考えたら、x<1と1<xでx軸で交わるのがわかります。β<1<αなわけやな。増減表を書いてx=a_0=1で極大x=a_1=β=(a-√(a^2-4))/2x=a_2=α=(a+√(a^2-4))/2で極小となることがわかります。a)^2+(β-a)^2=f(β)と確かに上手いこと同じ値になってます。グラフ書いてみると、y=r^2がf=(x)に接するのはx=a_0(=1)のところとx=a_1(=β)とx=a_2(=α)のところです。これは同じ値やからf(α)=r^2を解いてr^2=a^2-2と思ったより綺麗な値になります。それでr>0やからr=√(a^2-2)の円とわかりました。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わん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