受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい今回は極限の定義で大学の専門書とかで使われるε-δ論法について説明したいと思います。それは高校1年生からのある一通のメールから始まった「教科書で限りなく近づくが曖昧です。ε-δ論法がありました。大学生でもε-δ論法わかりにくい言う人多いしな。簡単にするためまずは数列の極限で説明したいと思います。lim(n→∞)a_n=αこれが大学の専門書における厳密な定義では(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a_n-α|<ε)となります。言葉で言うと任意の正の数εに対して、ある自然数n_0が存在し、n≧n_0となる全ての自然数nに対して|a_n-α|<εとなる時、数列{a_n}はαに収束するって言う意味です。何がわからないかと言うと、何故こんな定義をしてるのかがわからないのだと思います。任意の正の数εと言うところは、任意と言ってもどこまでも小さく出来るって言うところに意味があります。どこまでもεを小さくしても、n_0を多くしてnの範囲をn_0≦nと言うように大きい所に絞れば|a_n-α|<εと出来る。これが{a_n}がαに収束するって言うことです。a_n=1/nが0に収束すると言うことは任意のε>0に対してn_0=[1/ε]+1とすれば([1/ε]は1/εを越えない最大の整数)n_0>1/εになってるわけですがn≧n_0の時|1/n-0|=1/n≦1/n_0<εでこれで{a_n}は0に収束すると言えるわけです。この説明がわからんねん言うとんねん!ぶほー!!まあまあ痛いな。そこで反対のことを考えてみて欲しいねん。否定をとって収束しない場合を考えるねん。(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a_n-α|<ε)の否定をとれば(∃ε>0)(∀n_0∈N)(∃n∈N)(n≧n_0かつ|a_n-α|≧ε)この否定の意味はn_0を大きくして、どのようにn≧n_0と言うように大きいところにnの範囲を絞っても|a_n-α|≧εとなるnが存在してしまうような、ある正の数εが存在するってことです。確かにいくらnを大きい範囲に絞っても、a_nとαの差がある値より小さくならないものがずっと出てくるならa_nがαに収束するとは言えません。ない場合は収束するって言うとわかりやすいと思います。やって否定を考えてみると、わかりやすいねん。収束しない場合を考えて、そうでないときが収束する場合になると考えるとわかりやすいねん。ε-δ論法に戻ると関数f(x)に対してlim(x→a)f(x)=bをε-δ論法で書けば(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈R)(|x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε)意味は任意の正の数εに対して、ある正の数εの存在して|x-a|<δとなるすべてのxに対して|f(x)-b|<εです。これも正の数εをどれだけ小さくしても、δを小さくして|x-a|<δとxの範囲をaの近く絞れば|f(x)-b|<εとすることできるって言う解釈で、これをx→aでf(x)はbに収束すると言えるねん。正の数δを小さくして、どんなに|x-a|<δと言うようにxの範囲をaの近くに絞っても|f(x)-b|≧εとなるxが存在してまうような正の数εが存在してしまうなら収束しない。この反対であれば収束すると言うとわかりやすいって話やな。TRACKBACK(0)▲ページトップへ極板間引力の求め方とよくある勘違い極板間引力は甘くて切ないな。極板間引力は甘くて切ないな。いえば極板間引力は甘くて切ないな。ええからはよ説明しろ!今日は極板間引力について説明します。これはよく混乱するからな。こんな場合を考えてみましょう。面積Sの十分広い導体極板があってQの電荷が与えられてるとします。これは上面と下面に一様にQ/2ずつ分布するはずです。上面と下面の電界をEとするとガウスの定理から2SE=Q/ε_0⇔E=Q/(2Sε_0)でこれは電荷密度は上面と下面もσ=Q/2SだからE=σ/ε_0で確かに(平板導体表面の電界の大きさ)=(導体表面の電界の面密度)/ε_0を満たしています。次に同じ形の導体極板を持ってきて-Qの電荷が与えられてるとします。すると電荷Qが与えられた方は片方の面に電荷Qが集まります。電荷-Qの方は片方の面に電荷-Qが集まります。電荷が無い側の電界は0で,電荷がある側の電界をE'とするとガウスの定理より電荷Qの極板をちょうど囲む閉曲面でSR'+S・0=Q/ε_0よってE'=Q/Sε_0これも内側の電荷密度はσ=Q/SだからE'=σ/ε_0で確かに(平板導体表面の電界の大きさ)=(導体表面の電界の面密度)/ε_0を満たしています。極板間引力FはF=QE'ところが本に載ってる公式はF=QE'/2でした。いうこっちゃ、どういうこっちゃ、どういうこっちゃどうらっしゃーい。いう意味やねん!これは電界がよくわかってないねんな。電界とは、ある点において,1[C]あたりに働く静電気力をその点の電界と言うねん。E'は極板二つで作り出した電界であって、ここに別の電荷を持ってきたらその電界の影響を受けるって話やねん。極板は電界を作り出してる側やから、E'の影響を全部は受けてないねん。電荷eの点は電界を作りだしてるけど、自分の電界の影響なんか受けずに動かせるやんな。いや、ガウスの定理から極板一つでE'を作り出してたやん。そこで説明するとガウスの定理って言うのは一つの極板をちょうど囲む閉曲面をとって、「外側の電荷による電界を重ね合わせても」成り立ってると言うものやねんな。ガウスの定理から出たE'は外側の極板の電界との重ね合わせやねん。電荷Qを囲む球面を貫く電気力線の総本数は外に電荷-Qのものがあっても、何もなくても一緒やねん。外に電荷-Qがあると-Qのある方側が密度が濃くなってて反対側が薄くなってます。