受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。図形問題、センター試験2008年度数学1Aの第3問センター試験の図形問題を今からやります。[問題]△ABCにおいて、AB=7,BC=4√2,∠ABC=45°とする。△ABCの外接円の中心をOとする。このとき、CA=(ア)であり、外接円Oの半径は((イ)/(ウ))√(エ)である。∠ADC=(オカ)°であるから、AD=xとするとxは2次方程式x^2-((キ)√(ク))x-(ケコ)=0を満たす。x>0であるからAD=(サ)√(シ)となる。下の(ス),(セ),(ツ)には、次の(0)~(5)のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。(5)ED点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとする。このとき,∠CAE=∠(ス)Eであるから、△ACEと△D(セ)は相似であるl。これよりEA=((ソ)/(タ))√(チ)ECである。EA^2=(ツ)・ECである。したがってEA=((テト)/(ナ))√(ニ)であり、△ACEの面積は(ヌネ)/(ノ)である。[解答とか解説]とりあえずはセンター試験と言えども図をそこそこ正確に書くのが命です。CAは余弦定理を使います。そこは大丈夫だと思いますが外接円Oの半径を求めなければなりません。これは正弦定理から外接円の半径Rとするとa/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rでもとまりますが、普段正弦定理はa/sinA=b/sinB=c/sinCまでしか使わなかったりkを定数としてa/sinA=b/sinB=c/sinC=kとおくと...みたいな解答したりして忘れるかもしれないので注意してください。忘れた時は直角三角形は斜辺が外接円の直径で半径の2倍の2RだからsinA=a/2Rとかで思い出してください。この問題ではACと∠ABCがわかってるからR=AC/2sin∠ABCより(5/4)√2です∠ADCはこれは弧ACに対する円周角から∠ABC=45°と等しいから45°とわかります。円周角は中学生のもんって感じがしますがほんまよく使うので円周角はどうか?って考えるようにしてください。それでAD=xとするとxは2次方程式x^2-((キ)√(ク))x-(ケコ)=0とか言うのがありますが、この形になるのは余弦定理でc^2=a^2+b^2-2abcosCのaかbをxとした時です。一回は教科書でやったと思います。いう予想を立てて△ADCにおいて余弦定理からAC^2=AD^2-DC^2-2AD・DCcos45°と立てるとx^2-2√5x-35=0が出てきます。これを解いてx>0の方の解はx=3√5です。次は点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとするってことですが、これはBCの長さ4√2はだいたい5.6くらいCDの長さ√10は3より少し大きいくらいとそこそこ正確に書いておかないと反対側で交わったりするので注意してください。なんか∠CAE=∠(ス)Eとかありますが、これは内容的には簡単ですがセンター特有のわかりにくさがあります。∠CAEとこれば接弦定理を使うであろうと思いますが、接弦定理から∠CAEと等しいのは弧ACの円周角の∠ABCと∠ADCでした。これらは45°でしたが∠(ス)Eのように最後がEで終わりません。∠ADCは∠ADEとおなじことです。記述式なら∠ADCと書いたら終わりですが、このマーク式の誘導のやらしさがあるので過去問をたくさんやってこういうコツを掴んでいってください。△ACEと△D(セ)が相似って言うところはさっきの設問が∠CAE=∠ADEだったのでこの書き方からC→AA→DE→Eに対応させて自動的に△ACE∽△DAEとわかります。間違いまくってる数学教育ですがセンターはこういうもんです。そんなんそれなりの国立大学を目指してるならセンター試験レベルの問題は満点取れるレベルなので後はこういう慣れが必要になってきます。それで後から確かにこの二つの三角形は∠Eが共通なので二角が等しいから相似やなって確認します。EA=((ソ)/(タ))√(チ)ECがありますがまあこれは相似からEA:EC=...とかEA:...=EC:...みたいな相似比の式を作って出ると思われます。...のとこは具体的な数字が入らなければなりません。△ACEと△DAEでは長さがわかってるのはAC=5とAD=3√5です。この二つを相似比の式がちゃんと成り立つように入れてEA:EC=AD:ACです。これでEA=(3/5)√5ECとわかります。これも内容的には簡単なんですが、こういう誘導にあわしていく思考になれていないとわけわからんことなって時間が無くなって第四問が何も出来ずに終わって人生設計が変わってしまいます。EA^2=(ツ)・ECであるのとこは、これは方べきの定理の形が丸出しなのでわからない時は先にこっちから入れて置きましょう。EA^2=ED・ECでED=EC+CD=EC+√10だからEA^2=(EC+√10)・ECにしてからEA=(3/5)√5ECとあわしてECとか消去してときます。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/91-3602d74cこの記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。