受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。2009年度第一問の解説ちょっとチカちゃんを頼むわ。東北大学文系2009年度第一問の解説[問題]すべての実数xに対して不等式2^(2x+2)+2^x・a+1-a>0が成り立つような実数aの範囲を求めよ。[解答と解説]指数の式とこればだいたい2^x=tとおいてtの式と考えて解くことが多いです。2^(2x)は指数法則a^(xy)=(a^x)^y=(a^y)^xから(2^x)^2と考えて2^(2x)=t^2とか置いていきます。2^(2x+2)のような場合は指数法則a^(x+y)=(a^x)(a^y)から2^(2x+2)=(2^2)(2^(2x))=4(2^(2x))=4t^2って置き換えるねん。それで2^x=tと置いたときは範囲に注意してください。xが全ての実数の範囲なら、2^xは全ての正の数を動きます。2^x=tとおくと2^(2x+2)+2^x・a+1-a>0⇔4t^2+at+1-a>0でt>0やな。問題はすべての正の数tで4t^2+at+1-a>0が成り立つような実数aの範囲を求めたらええことになるけど、どう扱って求めたらええかと言うとf(t)=4t^2+at+1-aとおいてy=f(t)(t>0)のグラフを考えて小さくなるとこが0より大きくなるようにしたらええねん。二次関数では最小値は軸の位置によって変わったからf(t)=4(t+a/8)^2+(-a^2-16a+16)/16と平方完成して軸はt=-a/8ってわかります。(i)軸t=-a/8が0以下つまりはa≧0なら、t>0で増加関数やからf(0)のとこが0以上であればオッケーやな。f(0)≧0⇔a≦1f(0)>0じゃなくてf(0)≧0であることに注意したってください。t>0はt=0は入らないからf(0)は0でもええねん。それでa≧0とあわせて0≦a≦1(ii)もう一つは軸t=-a/8がt>0に入るとき、つまり-a/8>0⇔a<0の時これはy=f(t)の最小値が頂点のf(-a/8)だからf(-a/8)>0⇔(-a^2-16a+16)/16>0⇔-8-4√5<a<-8+4√5であればオッケーやな。今度は-a/8はt>0に入るから、0より大きくなければならないねん。軸-a/8が0の時はt>0に軸は入らないからf(-a/8)≧0で-a/8がが0より大きいときはf(-a/8)>0って具合悪くなることにも注意してくれ。結局a<0とあわせて-8-4√5<a<0(i),(ii)から-8-4√5<a<0または0≦a≦1⇔-8-4√5<a≦1簡単な問題に見えて端点が入るとか入らないとか気をつけなあかん問題やったな。二日間歯磨き粉の無い生活を送った気分ですね。東北大学理系2009年度第6問の解説[問題]実数aに対して、xの方程式|x(x-2)|+2a|x|-4a|x-2|-1=0が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。[解答と解説]まず一番最初に考えられるのは定数分離と言う典型的な方法があります。これは定数文理すると分数関数になるから数学3の知識が必要やし、絶対値も外さなあかんってことで大変やねんな。大変と言っても、この方法でやればコツコツ計算するだけで絶対に出来ると言うとこのは大切なことやし、うまい方法を考える前に計算してしまった方が早いときもあるやろ。うまい方法が思いつくとも限らんしな。いう、ややこしい計算して求められる能力が数学の基本的な力を高めると思います。言うことでまずは、定数分離でもコツコツ求めめてみます。数学3をやらない文系の人は、ここは軽く読み流しといてください。a=(xの式)の形にしなあかんけど、(2|x|-4|x-2|)a=1-|x(x-2)|のとこで(2|x|-4|x-2|)で割るときに注意せなあかんねん。これが0やったら割られへんからな。(2|x|-4|x-2|)=0としたら(2|x|-4|x-2|)=0⇔|x|=2|x^2|⇔x=±2(x-2)⇔x=4,4/3で、x=4の時は右辺の1-|x(x-2)|は-7x=4/3の時は右辺は1/9で左辺は0だから矛盾してます。よって(2|x|-4|x-2|)≠0だから割ることが出来ます。文字が入った式で割るときは、よくこうやるから注意しとったってください。結局a=(1-|x(x-2)|)/(2(|x|-|x-2|))だからf(x)=(1-|x(x-2)|)/(2(|x|-|x-2|))とおいて、次は絶対値を外さなければなりません。うへ~!って隣の人に消しゴムを投げつけたくなりそうですが、x(x-2)とxとx-2は正負が切り替わるのはxが0と2です。x≦0と0≦x≦2と2≦xの三つに場合わけしたらオッケーです。やって何も考えずに全部=を入れてx≦0と0≦x≦2と2≦xと場合わけしといたら、x≦0と0<x≦2と2<xと違って0が入るとか入らんとか深いことは考えずに済むことが多くて便利ですが、今回はまずいです。x<0,0≦x<2,2≦xと場合わけします。その理由はこれから説明していきますわ。(i)x<0の時f(x)=(x^2-2x-1)/(2(4-x))f'(x)=-(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)でこれはx<0では常に負です。(ii)0≦x<2のときf(x)=(-x^2+2x-1)/(2(4-3x))f'(x)=(3x-5)(x-1)/(2(4-3x)^2)(iii)2≦xの時f(x)=(x^2-2x-1)/(2(x-4))f'(x)=(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)ここまで計算大変やったな。後はなが~い増減表を書くだけや。x=4/3,2の漸近線にも注意したってくな。それで何でx≦0と0≦x≦2と2≦xと場合わけしたらあかんかってx≦0と0<x≦2と2<xと場合わけしなあかんかと言うとx≦0の時f'(x)=-(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)とすればf'(0)=-9/320≦x<2の時f'(x)=(3x-5)(x-1)/(2(4-3x)^2)とすればf'(0)=5/32で導関数がx=0のとこで二つ違う値になるから、あかんねんな。絶対値が入った関数ではよくある話やけどf(x)がx=0で微分不可能やからこういうことなるねん。x<0の時f'(x)=-(x^2-8x+9)/(2(4-x)^2)0≦x<2の時f'(x)=(3x-5)(x-1)/(2(4-3x)^2)ってせなあかんってことに注意したってください。それで苦労してグラフを書くと後はこれでy=aがy=f(x)と異なる4つの共有点を持つ範囲にすればいいから、-1/8<a<0,2/9<a<1/4,3+√7<aこうやって処理能力があれば、非常に強いと思います。それでこの問題を数学3を使わずに解こうとするとどうなるかと言うと絶対値を外して二次関数の解の配置問題みたいなのに持ち込みます。やって解いて欲しかったんかもしれません。f(x)=|x(x-2)|+2a|x|-4a|x-2|-1とおいて絶対値をはずしてx≦0の時f(x)=x(x-2)-2ax+4a(x-2)={x-(1-a)}^2-a^2-6a-20≦x≦2の時f(x)=-x(x-2)+2ax+4a(x-2)-1=-{x-(3a+1)}^2+9a^2-2a2≦xの時f(x)=x(x-2)+2ax-4a(x-2)-1={x-(a+1)}^2-a^2+6a-2これがどういうグラフになるか考えてy=f(x)がx軸と共有点を4つ持つようにしたいねんけど、そうなるには単調減少と単調増加が2つずつ必要だから、3つの放物線の軸がそれぞれの定義域に入ってるかどうかで場合わけをしたいとこです。1-a≦0と0≦1-a3a+1≦0と0≦3a+1≦2と2≦3a+1a+1≦2と2≦a+1で場合わけしなければなりません。「たかし~ごはんよ~」ってママが部屋を覗きに行ったらヘイ!ヘイ!って提灯振り回して走り回ってて、その辺のカーテンとかソファーに火つけて暴れまくってる状態で発見されます。一回落ち着け1-a≦0と0≦1-a3a+1≦0と0≦3a+1≦2と2≦3a+1a+1≦2と2≦a+1はa=1,-1/3,1/3で切り替わるからa≦-1/3と-1/3≦a≦1/3と1/3≦a≦1と1≦aの四つで場合わけしたらいいだけです。どの値で切り替わるかで、場合わけをしたら上手くいくことが多いねん。ここでもx軸と4つの異なる共有点を持つことを考えるとa≦-1/3と-1/3≦a≦1/3と1/3≦a≦1と1≦aと言うように全部≦にして場合わけすると上手くいかなくてa≦-1/3と-1/3<a<1/3と1/3≦a≦1と1<aと場合わけせなあかんねん。これはやってみなわからんことやねんけど、4つの異なる共有点を持つには単調減少と単調増加が2つずつ必要で、-1/3<a<1/3と1<aの二つの範囲がその可能性があるねんけど、そうなるには軸の頂点が端点じゃなくて定義域の中に入っとかなあかんねん。口で説明してもあれやから、やってみよか。(i)a≦-1/3の時それぞれの定義域での頂点と定義域の関係は1-a>0,3a+1≦0,a+1<2だからy=f(x)のグラフを書くとx<2まで単調減少して2<xで単調増加するからx軸と4つの共有点を持つことはありません。(ii)-1/3<a<1/3の時1-a>0,0<3a+1<2,a+1<2でこれは0≦x≦2での放物線の軸3a+1が定義域の内側に入ります。単調減少の部分が二つ、単調増加の部分が二つずつ必要やけどそれには軸が3a+1=0とか3a+1=2とか端の場合はあかんねん。0<3a+1<2とか内側に入る場合に単調減少の部分が二つ、単調増加の部分が二つずつ出来るねん。-1/3<a<1/3って言う場合わけになります。それで、この時x軸と4つの異なる共有点をもつにはf(0)<0f(3a+1)>0f(2)<0になればオッケーです。こえを整理すれば-1/8<a<0,2/9<a<1/4(iii)1/3≦a≦1の時1-a≧0,2≦3a+1,a+1≦2でこの場合x<0で単調減少,0<xで単調増加だからx軸と異なる4つの共有点を持つことはありえません。(iv)1<aの時1-a<0,2<3a+1,a+1>2だからx≦0の部分の放物線は軸がx<0にあって、0≦x≦2の部分の放物線は放物線は軸が入ってなくて単調増加x≧2の部分の放物線は軸が2<xのあります。単調増加の部分と単調減少の部分が2つずつ出来るねんけど、これも軸が端点になったらあかんねんな。1≦aじゃなくて1<aって場合わけしてます。それでx軸と異なる4つの共有点を持つにはf(1-a)<0f(2)>0f(a+1)<0であればよくて1<aとあわせて3+√7<a(i)~(iv)より-1/8<a<0,2/9<a<1/4,3+√7<a疲れたな。新しいもの好きはラクダに乗りたがるか...東北大学理系2009年度第5問の解説[問題]a,b,c,d,p,qはad-bc>0,p>0,q>0を満たす実数とする。q)がAPA=P^2を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。(1)P^3A=AP^3が成り立つことを示せ。(2)Aをpとqで表せ。d[解答と解説](1)恐らくはAPA=P^2を使えばP^3A=P^3Aが示せるんちゃうかって思えます。思えない人は、まああれですわ。それでどう示すかと言うと、次数下げの時と同じようにP^2をAPAに置き換えたらどうかな思ってP^3A=P^2・PA=(APA)PA=AP(APA)=AP・P^2=AP^3これがP^3A=P・P^2・A=P(APA)A=PAPA^2とやればちょっと具合悪いですね。行列は実数や複素数のように次数下げとか同じようことをやるのがコツやねんけど、掛け算が交換が出来ない。ここが違うとこに注意したってくれ。(2)たぶん(1)のP^3A=AP^3を使うんやろうけど、これはもちろん必要条件です。q)APA=P^2が成り立たへんからな。必要条件で条件を絞るってことです。参照→必要条件を出して条件を絞る、またはそれが十分条件であることを示す流れの解法だからP^3A=AP^3これを整理してみるとb(p^3-q^3)=0c(p^3-q^3)=0って式が出ます。これで結構条件が絞られるわけやな。これを見てるだけではb=0かつq=0またはp=q??って感じやねんけど、この問題はAをpとqで表せって問題です。pとqが定数扱いでpとqの条件で場合分けをせなあかんねん。p=qの時は、二つの式は成り立つからbとcは任意p≠qの時は、b=c=0これで場合わけして処理していって(i)p=qの時、P=pEだからAPA=P^2を整理するとa^2+bc=p(a+d)b=0(a+d)c=0d^2+bc=pこれをどう処理したらええか、大変やけどまず(a+d)b=0(a+d)c=0からa+d=0またはb=c=0やねんけど、この場合わけでは結構ややこしくなることがあります。a(a+d)+b=0ならa+d=0の時b=0b=c=0の時a(a+d)=0ってなるから、もっかいa+d=0またはa=0と言うようにa+d=0の場合わけが出てきて、消しゴムにシェーペンでぶるえ~!!って穴空けまくって、気持ち悪いことなります。そこでどうするかと言うとa+d=0またはa+d≠0と場合わけしたら、非常にすっきりして上手いったりします。これはこういう行列の問題でたくさん連立式が出てきた時の処理によく使います。今回も(a+d)b=0(a+d)c=0はa+d=0の時a=-dで全ての式に代入していくとad-bc>0の式が-(d^2+bc)>0⇔d^2+bc<0になりますが、d^2+bc=p>0だったから矛盾してます。a+d≠0の時b=c=0だからa^2+bc=p,d^2+bc=p,ad-bc>0からa^2=p,d^2=p,ad>0よってa,dは同符号なので(a,d)=(±√p,±√p)(複号同順)複号同順は(+√p,+√p)と(-√p,-√p)って意味です。(+√p,+√p),(+√p,-√p),(-√p,+√p),(-√p,-√p)の場合は複号任意って書いたりするのはええかな?ええみたいやな。次の場合わけ(ii)p≠qの時、b=c=0でした。これもほとんど同じでAPA=P^2を整理するとa^2=p,d^2=qでad-bc>0からad>0でaとdは同符号です。±√q)(複号同順)とp=qの場合もまとめて書くことが出来ます。まとめて書かなくても点数が引かれることはたぶん無いと思います。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。