受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。正規部分群はどういう意味があるか正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。定義はGを群として、HがGの部分群でH=gHg^-1(∀g∈G)(gHg^-1:={ghg^-1|h∈H})を満たすとき、HをGの正規部分群と言います。これだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。それで定義も忘れると。そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。これでだいたい、せ...正規部分群...おまえ...ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。大学の数学は意味はわからんけど、とりあえずは何となく書いて覚えてみて進めまくることで関連性とか同じような考え方とかが出てきてわかってきたり、記憶が定着したりするねんな。剰余集合G/Hを考えて、これが自然に群の構造を持つにはどうなればええかってことを考えてみるねんけど、群の構造を持つとしたらGの任意の元a,bに対して(ah)(bh')=abh''(h,h',h''∈H)と言うような演算が成り立たなあかんわけやな。群は可換とは限らないから(ah)(bh')=abh''⇔ahbh'=abh''で計算がとまってしまうねん。Gがアーベル群なら積の順番が交換できるからahbh'=abhh'なわけやからh''=hh'で特に問題なく(ah)(bh')=abh''は成り立ってるねん。Gがアーベル群でなくてもahbh'=abh''⇔a(hb)h'=abh''でhb=bh'''となるようならahbh'=abh'''h'でh''=h'''hでうまいこといくねん。アーベル群より緩いHb=bHぐらいの可換性が任意のGの元bで成り立てばええわけやねん。Gの元bとHの元hは交換することは出来なかったとしてもhb=bh'''と言うようにHの中の他の元になるけど、交換らしきことを考えるねん。するとHb=bHって言うのは文字を書き換えるとgH=Hg(∀g∈G)が成り立つことやけど、これはg^-1を右から作用させてgHg^-1=Hになるから、正規部分群になりますやん。正規部分群って言うのは剰余集合が群になる意味があって、可換性が求められるねんけど、アーベル群ほどの可換性はないけどもう少し緩い可換性やねん。アーベル群xy=yx(∀x,y∈G)正規部分群xH=Hx(∀x∈G)こうやって、関連性とか意図が見えてくるとわかりやすくなったりするねんけどな。それが見えてくるには、そこでわからんって悩んだりし続けるんじゃなくて手を動かして書いてとりあえずは覚えてみてどんどん進めていくことで見てくるねん。したらこれをもう少しちゃんと書くと群Gの正規部分群Hに対して(xH)(yH)∈G/H×G/H→G/H∋(xyH)(x,y∈G)と定める乗法によりG/Hは群になりΨ:x∈G→G/H∋xHにより定まる写像ΨはGからG/Hの上への凖同型である。[証明]y∈Gのとき、yHy^-1=HゆえHy=yHよって(xH)(yH)=x(Hy)H=xyHH=xyHがGの部分集合として成立してる。よって,G/Hにおける演算(xH)(yH)=xyHは元xH,yHの表し方に関係なく定まる。これはwell-definedってやつやな。xH=x'H、yH=y'Hの時にもしxyH≠x'y'Hになったら、写像として意味がないねんな。さっきの計算から(xH)(yH)=xyHがGの部分集合として成り立っていて(x'H)(y'H)=x'y'HもGの部分集合として成り立っていてxH=x'H、yH=y'Hの時はxyH=x'y'HもGの部分集合として成り立つからオッケーやねん。次に結合法則はx,y,z∈Gに対して((xH)(yH))(zH)=(xyH)(zH)=(xy)zH=x(yz)H=(xH)(yH)(zH)G/Hの単位元はHで(xH)(x^-1H)=xx^-1H=Hだからx^-1HがxHの逆元だからG/Hは群になる。TRACKBACK(0)▲ページトップへ分離公理は図を書くのがコツ久しぶりに大学の数学についても書こか。今回は位相空間の分離公理について書こうと思います。だいたい次の三つくらいがあります。○正規空間Xの任意の互いに交わらない閉集合F_1,F_2に対して、開集合U,VでF_1⊂U,F_2⊂VかつU∩V=φとなるものが存在するとき、正規空間と言う○正則空間X上の任意の点aとその点を含まない閉集合Fに対して、二つの開集合U,Vでx∈U,F⊂VかつU∩V=φとなるものが存在するとき、正則空間と言う。正規空間や正則空間とか本によって定義は違うねんけどな。それにもっとT0空間、T1空間...とか細かい話もあるねんけど今日はその話じゃなくて、図を書いて欲しいってことやねんな。̄⊂Gとなるものが常に存在する。普通、本に載ってるような証明は(1)⇒(2)閉集合Fと開集合Gについて、F⊂Gであるとすれば、Gの補集合GcとFとは互いに交わらない閉集合である。Xが正規空間より、互いに交わらない開集合U,VでF⊂UかつGc⊂Vとなるものが存在。