(2)⇒(1)A,Bを互いに交わらない閉集合とする。̄⊂Bcとなる開集合Uが存在。̄の補集合をVとすれば、VとUは交わらない開集合でB⊂V。なんかこういう位相の計算はわけわからんって感じやねんけど図で考えて欲しいねん。やって図で考えたら、位相もわかるわけや。さっきのではこうやって図を書けば、難しいことを言うてるわけでは全然ないねんな。○で囲っていく絵を描くだけやからな。これを式にあらわすと少々複雑にはなるねんけど。悩むんじゃなくて、まずは図を書いてみるねん。したら、意味がわかってきやすいねんな。そら図で書くと思い込みが発生して反対にわかりにくいこともあるかもしれんけど。今日は集合の演算とか位相とか、まずは図を書いて図で考えて式を立ててくれって言うことですわ。TRACKBACK(0)▲ページトップへ重複組み合わせの説明と使い方だいぶん、鼻をかんだティッシュを筆箱に溜ってきたところで重複組み合わせについて説明しとこか。いう問題があったしよう。[問題]りんごとみかんと桃の三種類から7個の果物を買う方法は何通りあるか。含まれない果物があってよい。[解答と解説]これは普通に考えれば、おばはんどもがうへ~ってベタベタに触りまくって選んでる光景が浮かびますが足して7になる自然数の組み合わせは(0,0,7),(0,1,6),(0,2,5),(0,3,4),(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3)の8つで(0,0,7),(1,1,5),(1,3,3),(2,2,3)は順番の見分けをつけると、それぞれ3通りで計4×3=12通り(0,1,6),(0,2,5),(0,3,4),(1,2,4)は順番の見分けをつけると3!=6通りだから計4×6=24通りよって12+24=36通りと、何とか求まるには求まるけど数字が大きくなってきたら大変やねんな。7個のボールを並べて、棒を3から1引いた2本用意してこれらの間と端に入れるねん。○○○|○○|○と入れたとすると、一番左の○三個をりんこ三個と考えて、真ん中の○2個をみかん二個と解釈して、右の○一個を桃一個とするねん。|○○|○○○○○こうやって端に棒がくると、りんごを0個と考えるねん。○○○||○○○○こういう棒が並ぶ場合はみかんが0個な。りんごとみかんと桃の三種類から7個の果物を買う方法は○は7個と|は3-1=2個であわせると9個やけど9個の場所に○7個の場所を選ぶ方法を考えたらよくて9C7=36で求まるねん。一般的には異なるn個のものから重複を許してr個とる組み合わせは棒をn-1個用意してn+r-1個の場所からn個選ぶ方法を考えてn+r-1Crで計算出来るってことやな。これをnHrと書くねん。nHr=(n+r-1)CrまあこのnHrと言う記号や計算の仕方も覚えといたらええに決まってるねんけど、棒をn-1個用意してn+r-1個の場所からr個選ぶ考え方を図と一緒に覚える方が大切かな。いっつも覚えるって言うのはこういう考え方や図とかを覚えて欲しいってことやねんな。それで重複組み合わせは次のような問題でもよく使うねん。[問題]x,y,zを0以上の整数とする。x+y+z=nとなる(x,y,z)の解の個数を求めよ。[解答と解説]一見、余り場合の数の問題に見えにくいけど、これはさっきのりんごとみかんと桃からn個選ぶ方法とまったく同じやねん。りんごをx個、みかんをy個、桃をz個とするとx+y+z=nの時、(x,y,z)は何通りあるかってことですやん。3個の異なるものから重複を許してn個選ぶ方法で3Hnでオッケーやねん。この問題をちょっと応用させて[問題]x,y,zを自然数とする。x+y+z=nとなる(x,y,z)の解の個数を求めよ。(n≧3)[解答と解説]x,y,zは自然数で1以上やから、そのまま公式は使えんわけや。いう時はX=x-1,Y=y-1,Z=z-1とおくと、X,Y,Zは0以上の整数でx+y+z=n⇔X+1+Y+1+Z+1=n⇔X+Y+Z=n-3で(X,Y,Z)が決まれば(x,y,z)も1通りに決まるから、(X,Y,Z)の個数を求めたらよくて3H(n-3)で出来るねんな。ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c<b<a、a,b,cは自然数)の時のa,b,cは?最後にこういう問題も重複組み合わせを使えば簡単に計算出来るって言うのを紹介しときますわ。[問題]xyz=540を満たす自然数x,y,zの組は何通りあるか[解答と解説]そらまあ素因数分解するんやろな。540=2^2・3^3・5で2が2個、3が3個、5が1個でx,y,zにどうやって分配していくかやな。これもxyz=210なら210=2・3・5・7で2はx,y,zのどれかに入れる3通り,3も3通り、5も、7も3通りで3^4=81通りと言うように全部違う素数が1個ずつなら簡単に解けるけど、540は2が2個あったり、3が3個あったりで難しいわけやな。2の2個と3の3個を別々のものとして入れてから、区別を無くすとか考えたらそらもう恐ろしい計算やな。ここで重複組み合わせを使って、2の2個をx,y,zに入れる方法はx,y,zの3個から重複を許して2個選ぶ方法で3H2=4C2=6通り3の3個をx,y,zに入れる方法はx,y,zの3個から重複を許して3個選ぶ方法で3H3=5C3=10通り5の1個をx,y,zに入れる方法は3通り。よって6・10・3=180通り重複組み合わせみたいに、観点をかえて数えると凄い計算が楽になったりするねんな。場合の数ではよくあることや。この問題のようにn個の異なる箱があって、区別のない赤玉をa個、白玉をb個、青玉をc個入れる方法は赤玉の入れ方はnHa、白玉はnHb,青玉はnHcだからnHa・nHb・nHc通りって言うように、重複組み合わせの積で求められる問題もあるからこれもチェックしといたってくれ。思いつかんもんやからな。覚えてると覚えてないで閃き度が違うってことですわ。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。