1878年、フロベニウスがケイリー–ハミルトンの定理の完全な証明を初めて与えた[13]。代数的数論[編集]代数的整数の最小多項式の計算においてもケイリー–ハミルトンの定理は有用である。最小多項式が求まる[22]。対してケイリー–ハミルトンの定理の主張を得るには、二つの段階を踏む必要がある。&0\end{pmatrix}}}である。等しいことを述べるものである。値を一つに(どのような値にせよ)止めて考えるとき、これら恒等式を(うんざりするような、しかし)完全に代数的な直截手計算を行って得ることは原理的には可能である。一様に適用できる証明を与える必要がある。O)が固有ベクトルの上では同じ値を有することは確定である。対角化可能(半単純)ならば、ケイリー–ハミルトンの定理は成立しなければならない(基底の上で同じ値をとる二つの行列は、互いに等しい)。成す部分空間は稠密である[23]」という意味で言う)。(行列が対角化可能であるためには、その固有多項式が単根のみを持てば十分である)。なるような複素行列全体の成す集合は、複素行列全体の成す集合において稠密でないから、先に見た対角化可能行列は定理を満たすという事実に反する。ゆえにケイリー–ハミルトンの定理が真である必要を見た。前段落の論法は複素数を成分とする行列に対しては有効な証明を与えているが、定理の主張は行列の性質(対角化可能かどうか)やその成分がどういう種類でないといけないか(例えば成分を実数に制限すると、対角化可能行列は稠密部分集合ではない)は問わないから、これでは十分な証明とはいいがたい(なにより、それら行列に対して定理が成り立つことを見るときに、それらをすべて複素行列とみなければいけないのは奇妙である)。そこで以下では、任意の行列(それはもちろん任意の可換環に成分をとる行列も含む)に適用可能な代数的操作のみを用いた直接証明を与えることを考える。そのようなケイリー–ハミルトンの定理の証明の述べ方も非常に多彩に存在するが、以下に挙げるのはそのなかのいくつかだけである。証明の仕方によって、その証明を理解するのに必要な抽象代数学的概念の量も変わってくる。なるスカラー(数値)」「行列式」くらいしか用いないようにすることはできるが、その反面正しい結論がきちんと導かれているという事実がある種の寓話とでも思えるような技巧的な計算をしなければならない。いった点に対しては、(詳細までは知らなくてもいいけれども)「非可換環係数の多項式」や「普通とは違う成分を持つ行列」といったより奇妙な代数的概念を用いることには価値をおくことができる。(M)}(adj)の成立は重要である。この関係式は行列式の基本性質からの直接の帰結として得られる。それ以外は零)の行列式展開を与える。右辺の積も同様に行に関して展開する。注意この関係式が単純な代数的計算のみで得られたものであるということは、それが任意の可換環に成分をとる行列に対して有効な関係式であることを意味することに注意すべきである(環の可換性は行列式が定義されているために仮定する必要がある)。あとで多項式のような数でないものを成分とする行列に対してこの関係式を適用するので、いまこの注意をしておくことは重要である。代数的な直截証明[編集]この証明では、ケイリー–ハミルトンの定理の定式化に必要な概念として「多項式を成分とする行列」を用いる。そのような行列である。(tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}}(1)が成り立つ。高次の冪は現れないことに注意)。係数として左側に書いている)。冪を係数とする定数成分行列の線型結合として書いた、多項式を成分とする二つの行列の間の等式である)。係数が等しくなければならない。係数とする定数成分行列がそれぞれ等しくなることが必要である。n-1),\\&-AB_{0}=c_{0}I_{n}\end{aligned}}}を得る。参照まず、前節の証明に現れる式によって示唆される「行列係数の多項式」という概念について正当化しておく。これには非可換環係数の多項式というある意味普通ではないものを考えることになるので、入念に注意を払う必要が出てくる。通常の多項式で正当化されることが、いまの設定では適用できないということが多々起こる。7]著しい点として、通常の可換環係数の多項式に対する算術は、多項式を多項式函数と同一視して函数としての(点ごとの)演算を雛形とすることができるが、非可換環係数ではそれは可能ではない(実は、非可換環上での場合には、乗法のもとで閉じる多項式函数の明らかな概念は存在しない)。係数環の任意の値を取りうる「未知数」と考えてはいけなくて、いくつかの決まったルールに従う形式的な記号としての「不定元」として扱うべきである。特定の値を代入しようというのは危険である。