受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。年越しそばと数学は関係あるようでふるびた包丁をそぎ落とし。言うことで、東大文系2008年度の第4問をやりたい思います。[問題]pを自然数とする。次の関係式で定められる数列{a_n},{b_n}を考える。(n=1,2,3,...)(1)n=1,2,3,...に対し、次の2つの数がともにp^3で割り切れることを示せ。1(2)pを3以上の奇数とする。このとき、a_nはp^2で割り切れるが、p^3では割り切れないことを示せ。[解答と解説]これは連立漸化式です。連立漸化式とこれば文系の癖に行列をマニアックなまでに勉強してる人は行列で解いてまう強者もいるかもしれません。(p+1)b_nに代入してa_(n+2)-(p+2)a_(n+1)+(-p^2+p+1)a_n=0と隣接三項間漸化式になって特性方程式はx^2-(p+2)x+(-p^2+p+1)=0でこれを解いてx=(p+2±√5)/2だからa_n=A{(p+2+√5)/2}^(n-1)+B{(p+2-√5)/2}^(n-1)と置けてn=1とn=2と代入して...とやると確かに解けるとは思いますが、計算がしんどくてわけわからんことになりかねないです。東大や京大は文系でも数学3Cまで勉強して欲しいって言うのはあるらしいですが、そもそも東大では特に博学な知識を問うことはほとんどありません。漸化式を解くのではなく漸化式のまま扱って証明したことはたぶん一回くらいあると思います。いう複雑な計算になりそうな漸化式ではその方法が上手くいきそうです。思い浮かぶのは数学的帰納法です。漸化式があるので非常に数学的帰納法に使いやすいです。注意して欲しいのは次の2つの数が『ともに』p^3で割り切れることを示せって所で、二つの数を同時にp^3で割れると成立を仮定しないと解けません。1を代入していった方が機械的にA_nやB_nで表せて仮定が使えるので楽でミスが減ると思います。1と置いて数学的帰納法により「A_n,B_nがともにp^3で割り切れる」...(*)ことを示す。pb_kでa_kとb_kにします。1を代入してA_kとB_kで表すとA_(k+1)=A_k+B_k+k(k-1)p^3これで帰納法の仮定からA_k+B_kがp^3で割り切れてk(k-1)p^3もp^3で割り切れるからA_(k+1)もp^3で割り切れます。-1=pA_k+(p+1)B_k+3k(k-1)p^3/2よってn=k+1の時も(*)成立。(i)(ii)よりすべての自然数に対して(*)成立。(2)は(1)を使おうと思うその精神があれば簡単だと思います。普通(2)のために(1)があるはずなので大丈夫だとは思いますが。p^2=p^3(m+q)+p^2でa_pはp^2で割り切れますが、p^3で割るとp^2余ることがわかります。歯車が狂った僕...またおっさんがなんか言うてるな。センター試験2008年度数学2の第4問ベクトルの問題です。[問題]四面体OABCにおいて、OA=OB=BC=√2,OC=CA=AB=√3である。a→=OA→,b→=OB→,c→=OC→とおく。(1)|a→-b→|^2=(ア)であり、a→・b→=(イ)/(ウ)である。b→・c→=(エ)/(オ),c→・a→=(カ)である。(2)直線AB上の点PをCP→・a→=0であるようにとるとCP→=(キ)/(ク)a→+(ケ)/(コ)b→-c→となり、点Pは線分ABを1:(サ)/(シ)に内分する。CP→・b→=(ス)であり、|CP→|=(√(セソ))/(タ)である。CP→は三角形(チ)の各辺と垂直であるから、直線CPは三角形(チ)を含む平面に垂直である。(チ)については、当てはまるものを、次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。(3)OAB三角形(チ)の面積は(√(ツテ))/(ト)であるから、四面体OABCの体積は(ナ)/(ニヌ)である。[解答と解説](1)まずはベクトルの始点をあわせる基本的な変形が身体にしみついてるかどうかです。理屈の前にAB→=OB→-OA→と言うように、後ろから前をひく!です。後ろから前に合体させる!です。九九みたいに暗記して何も考えずに出来るようになってください。a→-b→=OA→-OB→だから後ろから前に合体させてOA→-OB→=BA→で|a→-b→|^2=|BA→|^2=AB^2=3次は内積ですが、内積を長さで表す方法って言うやり方を覚えて下さい。△OABにおいてOA→・OB→=1/2・{|OA→|^2+|OB→|^2-|OB→-OA→|^2}=1/2・{|OA→|^2+|OB→|^2-|AB→|^2}いきなりこれを使ったほうが早いことがよくあります。ほとんど余弦定理と同じですが。後はOA→・OB→=1/2・{|OB→+OA→|^2-|OA→|^2-|OB→|^2}=1/4・{|OB→+OA→|^2-|OA→-OB→|^2}とかありますが、これは|OB→+OA→|がわかってる時ですね。a→・b→=1/2・{|OA→|^2+|OB→|^2-|AB→|^2}=1/2・{2+2-3}=1/2b→・c→=1/2・{|OB→|^2+|OC→|^2-|BC→|^2}=1/2・{2+3-2}=3/2c→・a→=1/2・{|OC→|^2+|OA→|^2-|CA→|^2}=1/2・{3+2-3}=1(2)直線AB上の点Pと言う文章がありますが点Pは線分ABを1:(サ)/(シ)に内分するとあるのでそれを1:kとおくと内分点の公式からOP→=(ka→+b→)/(1+k)と表せます。|c→|^2=-1/3-1+3=5/3だから|CP→|=√(5/3)=(√15)/3CP→・a→=0とCP→・b→=0はCP→・OA→=0とCP→・OB→=0ですがこれからCP→は三角形OABの各辺と垂直です。ABはどうなのか?ってちょっと思いますがそもそも△OABを含む平面上のベクトルはOA→とOB→であらわされるので(→AB=→OB-→OA)CP→との内積は0でちゃんと垂直です。△OABの面積は(OA・OBsin∠AOB)/2=(|a→||b→|√(1-(cos∠AOB)^2))/2=√(|a→|^2|b→|^2-(|a→||b→|cos∠AOB)^2)/2=√(|a→|^2|b→|^2-(a→・b→)^2)/2=(√(2・2-1/4))/2=(√15)/4四面体OABCの体積は1/3・△OAB・CP=5/12センターは前の問題が誘導になってることに注意してください。すれば△OABとCPを求めさせされて、垂直であることからこれで体積が求まるとピンときます。2008年度第3問ワリカンで数学の問題集買ったら後からややこしいことになるな。言うことで東大文系の2008年度第三問いきます。[問題]座標平面上の3点A(1,0),B(-1,0),C(0,-1)に対し∠APC=∠BPCをみたす点Pの軌跡を求めよ。P≠A,B,Cとする。[解答と解説]この問題は中学生的にもやれるし、数式にとらわれてぶーわーわけわからん式になるとこは中学生的な幾何で考えてから式を立てる上手くいくことがありますが、たぶんこの問題は計算ばりばりでやった方が簡単なのはではないかと思います。∠APC=∠BPCの条件は時計回りと反時計回りどっちを考えるかで180°以下か180°以上になりますが180°以下だけ考えても大丈夫です。cos∠APC=cos∠BPCだけ考えればオッケーです。その辺は特に断らなくても大丈夫だと思います。P(x,y)と置いて(x,y)≠(1,0),(-1,0),(0,-1)cos∠APC=cos∠BPCは余弦定理かcosθ=(→a・→b)/(|→a||→b|)と言うようにベクトルの内積が使えます。どっちがいいかはわかりませんが、座標を置いたのでベクトルでやります。→PA=(1-x,-y)→PB=(-1-x,-1)→PC=(-x,-1-y)でcos∠APC=cos∠BPC⇔(→PA・→PC)/(|→PA||→PC|)=(→PB・→PC)/(|→PB||→PC|)|→PC|が両辺共通だから払えて→PA・→PC=x^2-x+y^2+y→PB・→PC=x^2+x+y^2+y|→PA|=√((1-x)^2+y^2)|→PB|=√((1+x)^2+y^2)だから(x^2-x+y^2+y)/√((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)/√((1+x)^2+y^2)これは√があるから2乗しなければなりません。いう無理方程式で注意して欲しいのがa=b⇒a^2=b^2ですがa^2=b^2⇒a=bは成り立たないことです。a^2=b^2でab≧0(←つまりaとbが同符号)ならa=bと同値になります。√(2x^2-1)=xなら両辺2乗して2x^2-1=x^2でx^2=1だからx=±1としたら間違いです。左辺の√(2x^2-1)にx=-1を代入したら1ですが右辺はx=-1なので矛盾します。√(2x^2-1)=x⇔2x^2-1=x^2,x≧0無理方程式は√は0以上なのでこういう右辺のxがx≧0とかを忘れないでください。(x^2-x+y^2+y)/√((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)/√((1+x)^2+y^2)⇔(x^2-x+y^2+y)^2/((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)^2/((1+x)^2+y^2),(x^2-x+y^2+y)(x^2+x+y^2+y)≧0です。(x^2-x+y^2+y)^2/((1-x)^2+y^2)=(x^2+x+y^2+y)^2/((1+x)^2+y^2)を整理したいですが、これはむやみぶーわー展開しないでください。いうややこしい式は大きな塊で見ると実はそんなにややこしい式ではありません。A=x^2+y^2+yBx^2+y^2+1とおけば(A-x)^2/(B-2x)=(A+x)^2/(B+2x)になります。これを整理するとx{A(A-B)+x^2}=0でAとBを元に戻して整理してxy(x^2+y^2-1)=0です。この式だけでは、軌跡はx=0のy軸y=0のx軸x^2+y^2=1の単位円になります。これに(x^2-x+y^2+y)(x^2+x+y^2+y)≧0の範囲になるものを選びます。これはたぶん数学2とかでよくやったと思いますが、それぞれ円の式なので((x-1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)≧0これは二つの円(x-1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2と(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2の両方の円の内側か、両方の円の外側をあらわしていて境界を含みます。(x,y)≠(1,0),(-1,0),(0,-1)を忘れないでください。作図してみるとy=0(x<-1,1<x)x=0(y≠-1)x^2+y^2=1(y>0)です。軌跡がx軸やy軸とかぶるので作図が書きにくいですが。やって一応、使う知識としてはそれぞれ簡単ですがしかし実際解くのは難しいという東大らしい問題でした。文科一類は理系より数学出来るけど行く人がいるとは言え文系でこれやからな。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。