センター試験2008年の第一問の(2)必要条件や十分条件とか言いだすと、教室の40人の内17人くらいがぶほー!って血はいて倒れますが、そろそろセンター試験なのでセンター試験の問題を題材にとりあげていきたいと思います。センター試験2008年の第一問の[2]です。[問題]次の(ケ)~(シ)に当てはまるものを、下の(0)~(3)のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。自然数m,nについて条件p,q,rを次のように定めるp:m+nは2で割り切れる。q:nは4で割り切れる。r:mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる。条件pの否定をp~、条件rの否定をr~で表す。このときpはrであるための(ケ)p~はr~であるための(コ)「pかつq」はrであるための(サ)「pまたはq」はrであるための(シ)(0)必要十分条件である。(1)必要条件であるが十分条件でない(2)十分条件であるが必要条件でない(3)必要条件でも十分条件でもない。犬ならそれは動物です。それを犬⇒動物とか表してます。動物はダチョウとかもいるし、犬とは限りません。動物⇒犬は成り立ちません。後はどっちが十分条件で必要条件なのかってよく迷うところですがA⇒BならAはBであるための十分条件?十分な条件?AはBであるためには十分な条件。十分って何?必要って何?...と考えるとまたぶほー!ってなるので、とりあえずもう必要とか十分とか意味を考えないでください。これはまず理屈の前に暗記です。A⇒BはAが十分条件でBが必要条件です。これを暗記して何も考えずに答えましょう。それでも納得できないって言うのはよくわかります。オレもそういう人間でした。7×8が56とわかるのは実際には理屈抜きで覚えてしまってるから高速に計算出来るわけです。それと一緒でこれも覚えて高速処理してしまうことが高度な数学への発展につながります。それにセンター試験で迷う時間は許されません。暗記の仕方はA⇒Bの記号「⇒」の左に縦線一本を入れると十が出来るから、そっちが十分条件です。これは正直、最初聞いた時はこんなかっこ悪い数学いらんわ!ってむかつきましたが、悔しいことに覚えてしまって間違えなくなりました。問題に入ってまず最初のpはrであるための(ケ)ですが、p⇒rとr⇒pが正しいかどうかを考えてみます。p⇒rはm+nが2で割り切れる⇒mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れるですが、そんなわけなさそうなので一つ反例を考えてm=n=1であればm+n=2で2で割り切れるけど、mは2の倍数でないからこれは偽です。pは十分条件でないとわかります。r⇒pはmは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる⇒m+nが2で割り切れるですがiとjを自然数としてm=2i,n=4jとおけてm+n=2i+4j=2(i+2j)だからm+nは2で割り切れるので真。よってpは必要条件であるとわかります。(ケ)は(1)の必要条件であるが十分条件でないです。次にp~はr~であるための(コ)ですがこれは、考えてもいいかもしれませんがさっきの対偶をとって素早く答えを出してください。対偶は否定にして⇒の向きを反対にするだけです。p⇒rは偽でしたが、この対偶はr~⇒p~でこれが偽です。よってp~は必要条件ではありません。r⇒pは真でしたが、この対偶はp~⇒r~でこれが真です。よってp~は十分条件です。(コ)は(2)が答えです。対偶とかどっちが十分で必要とか悩んだら負けです。何も考えずにただ暗記してることを使っていきましょう。「pかつq」はrであるための(サ)はこれもまずは「pかつq」⇒rを考えてこれはm+nは2で割り切れてnは4で割り切れる⇒mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れるですが、m+n=2i、n=4jとするとm=2i-4j=2(i-2j)よりmは2で割り切れます。nは元から4で割り切れます。真で、「pかつq」は十分条件です。r⇒「pかつq」を考えてmは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる⇒m+nは2で割り切れてnは4で割り切れるですが、m=2i、n=4jとおくとm+n=2(i+2j)でnは元から4で割り切れるからこれも真です。「pかつq」は必要条件です。(サ)は必要十分条件の(0)です。最後に「pまたはq」はrであるための(ス)は「pまたはq」⇒rを考えると、これはpであってもqであってもどっちでもrになるってことですが、そもそもp⇒rが偽なのでこれは偽です。ちなみにq⇒rの方も偽なのはすぐにわかります。よって「pまたはq」は十分条件ではありません。r⇒「pまたはq」を考えるとこれはrであればpかqどっちかが成立するってことですが、そもそもr⇒qはmは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる⇒nは4で割り切れるは当たり前なので真です。よって「pまたはq」は必要条件です。