19世紀のブリテンを代表する純粋数学者として広く知られている。ケイリーは1848年にダブリンに赴き、ハミルトンから発見者直々に四元数の講義を受けている。のちにケイリーは、四元数に関する成果を出版する二番目となることによりハミルトンに印象付けた[1]。ケイリーは三次以下の行列に対して定理を証明したが、二次の場合に対してだけ証明を発表した[2][3]。n-次の場合についてケイリーは「......、任意次数の行列という一般の場合に定理をきちんと証明する労を引き受ける必要を覚えない。米国科学アカデミー初の外国人会員である。幾何学をいかにして研究すべきかについては対立する位置に立ちながらも、ハミルトンは常にケイリーと最良の関係を留めていた[1]。ハミルトンは四元数に関する線型函数に対して、それ自身が満足するある種の方程式の存在を証明した[4][5][6]。theorem)、またはハミルトン・ケイリーの定理は(実数体や複素数体などの)可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である[7]。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなむ。I_{n}-A)}で定義される[8]。係数環の元(スカラー)である。関する(n-次の)モニック多項式になる。成立を述べるものである。単位行列の定数倍に置き換わらなければならない。冪の線型結合として書き表すことができる。固有多項式を整除する(割り切る)」という主張に同値である。この定理は1853年にハミルトンが初めて証明した[9](それは「非可換」環である四元数を変数とする一次函数の逆を用いたものであった[4][5][6])。いう特別の場合にあたるものである。場合のみを著している[2]。一般の場合が初めて証明されたのは1878年でフロベニウスによる[13]。成分を具体的に書きだせば、確かに成り立っていることが確認できる。p(A)=\det(AI_{n}-A)=\det(A-A)=0}(error)を得るとするのは、一見極めて初等的で簡単なようだが、これは明らかに誤った論法である[14][15]。ない限り)それらが等しいと置くことは不当である。実際には対角成分だけにしか現れない。置き換えるというのは明らかに不適当な「行列」を考えていることが理解できるはずである。でないことは明らかである。いう論法は破綻している。証明されなければならないわけだが、それは見るからに誤りである。q(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad+bc)I_{2}={\begin{pmatrix}2bc&0\\0&2bc\end{pmatrix}}}は一般には零でない。等しくなく、結論も異なる所へ到達する。+c_{1}A+(-1)^{n}\det(A)I_{n}=O}(∗)の形に書くことができる。トレースたちで書き表せる。小さい次数の多項式表示を持つ。+c_{1}I_{n})}を得る。,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n})}と書ける。,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})}なる表示もできる。(A^{2}))\end{aligned}}}などとなる。(A^{2})}}}と計算することができる。与えるものなっていることが一見して分かる。(A^{2}))A-\det(A)I_{3}=O}と書くことができる。表す式として理解できる。以下より大きなサイズの行列に対しても帰納的に同様の話を適用することができる。対するもっと複雑な表示が、ニュートンの公式(英語版)やファデーエフ–ルヴェリエのアルゴリズム(英語版)などから導ける。)))}を用いたアルゴリズムがある。オーダーまで展開するだけでよい。最後の負冪はケイリー–ハミルトンの定理により自動的に消える(再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である)。対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べればわかる。A\end{vmatrix}}}として求めることができる。以上の指数が大きな)冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。(A)^{2}\det(A)-\det(A)^{2})I_{2}\end{aligned}}}のように次数の低い多項式表示に帰着される。(A)I_{2}}{\det(A)}}.}二次の場合には二つの項の和で書けるということが上での計算からわかる。多項式として書き表せる。これは定理を行列函数の表示に利用できることの一つの実例であり、次の節でより系統的に述べる。ともに一意的に決まる。f(A)=r(A)}が成り立つ。以下の行列多項式として書き表される。n)}を作ることができる。_{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}}が決まる。なるものが存在するとき、上記の方程式系は少なくとも二つの方程式が一致してしまうから、それにより方程式系を一意に解くことができない。本の方程式系を得ることができる。通る多項式を求めることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間やニュートン補間法を用いて解くことができ、シルベスターの公式(英語版)が導かれる。(A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}})}の多項式表現を求めよう。