E\end{aligned}}}と計算できる。最初の等号は行列同士および行列とベクトルとの積の結合性によるが、この性質は行列やベクトルの成分がどのようなものであるかとは無関係に、これら積が持つ純形式的な性質である。全体で—消えていることになる。あることに他ならないから、これで証明は完成する。同一である必要がないことが分かる。書けば上記の証明を追うことができる)。小さくなり得るし、係数環が体でないときは自由加群でない場合も出てくる。満足されることが正当化できる。このように一般化された状況におけるこの定理は可換環論および代数幾何学において重要な中山の補題の源流である。四元数の乗法およびそれを用いた任意の構成(この文脈では特に行列式が顕著)には非可換性がかかわってくるから、十分に定義を検討する必要がある。分解型四元数に対するケイリー–ハミルトンの定理も(やや素性はよくない(英語版)が)同様に成立する[11]。ある)から、これらに対して定理が成り立つことは驚くことではない。determinant(行列式)を合成したカバン語のモジり。直訳的に合成すれば「置換式」。(テンソルの交代積に対する対称積のように、置換の符号を掛ける部分を取り除いて)行列式の反対称性を対称性で置き換えた対応物なので「対称的行列式」のように呼べるかもしれない。(A^{l})^{k_{l}}}で与えられる。後で述べる随伴行列である。これと同値な、再帰的に関係したアルゴリズムをユルバン・ルヴェリエとドミトリー・ファデーエフ(英語版)が導入した。