受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。第二問の解説ちょっとチワワ捨てに行ってくるわ。c_nc_(n+1)=8c_n(n=1,2,3,...)で定める。(1)b_nをnの式で表せ。(2)a_(n+3)-a_nは7で割り切れることを示し、a_nが7で割り切れるためのnの条件を求めよ。3/8...1これは{b_n/8^n}のとこをxとおいてx=x/2+3/8...2これを解くとx=3/41-2からb_(n+1)/8^(n+1)-3/4=1/2{b_n/8^n-3/4}と数列{b_n/8^n-3/4}は公比1/2の等比数列でb_n/8^n-3/4=(b_1/8-3/4)(1/2)^(n-1)よってb_n=2・4^(n-1)+6・8^(n-1)ここまでオッケーかな?オッケーやな。(2)a_(n+3)-a_nが7で割り切れる証明は、{a_n}が簡単には求まりそうにないから数学的帰納法で示すのがよさそうです。(i)n=1のときa_1=3,a_2=2a_1+b_1=6+8=14,a_3=2a_2+b_2=28+56=84a_4=2a_3+b_3=168+416=584よってa_4-a_1=581=7×83だからn=1のとき7で割り切れます。(ii)n=kのとき、a_(k+3)-a_kが7で割り切れることを仮定するとa_(k+4)-a_(k+1)=2a_(k+3)+b_(k+3)-2a_k-b_k=2(a_(k+1)-a_k)+2・4^(k+2)+6・8^(k+2)-2・4^(k-1)-6・8^(k-1)=2(a_(k+1)-a_k)+2・4^(k-1)(4^3-1)+6・8^(k-1)(8^3-1)=2(a_(k+1)-a_k)+7・18・4^(k-1)+7・73・6・8^(k-1)よってa_(k+4)-a_(k+1)も7で割り切れる(i)(ii)よりすべての自然数nに対してa_(n+3)-a_nが7で割り切れるこのa_(n+3)-a_nが7で割り切れると言うのはa_(n+3)とa_nは7で割った余りと一緒と言う意味やねんな。a_(n+3)とa_nは7で割った余りと一緒なら、a_nとa_(n-3)も7で割った余りと一緒やし、a_(n-3)とa_(n-6)も7で割った余りと一緒で...これを繰り返せばa_nを7で割った余りはa_1と同じか、a_2と同じか、a_3と同じで、nを3で割った余りがなんぼかで場合分けしてmを自然数としてn=3mのときa_3mとa_3は7で割った余りが一緒a_(3m-1)とa_2は7で割った余りが一緒a_(3m-2)とa_1は7で割った余りが一緒でa_3は84=7×12で7で割り切れるし、a_2も14=7×2で7で割り切れるしa_1=3は7で割り切れないからn=3mと3m-1のとき7で割り切れると言うことがわかります。a_(n+3)-a_nが7で割り切れると言うような条件はこうやって使うことが多いねん。式で説明するとm≧2のときa_3m=Σ(k=1~m-1)(a_(3k+3)-a_3k)+a_3a_(3m-1)=Σ(k=1~m-1)(a_(3k+2)-a_(3k-1))+a_2a_(3m-2)=Σ(k=1~m-1)(a_(3k+1)-a_(3k-2))+a_1と書けばええかな。これは合同式を使うともっと式が簡単で説明をしやすくなります。7を法としてa≡bと書きます。余りが等しいものを≡で結ぶねん。それで7を法としてたら、すべての整数は7で割った余りは0,1,2,3,4,5,6の7個に分類できるからこの0~7の整数を代表として表していく感じで使うねん。54≡034≡6って感じや。それでこの合同式を使うとやってることは7で割った余りで場合わけしてることと同じやねんけど、これは足し算と引き算と掛け算が出来るねん。a≡2,b≡4ならa+b≡2+4=6ab≡2×4=8≡1って言うように。7のようhに素数の場合、割り算も定義できるねんな。7で割った余りで場合わけしてるのを記号化しただけやねんけど、何か新しい力を持ってきてくるねんな。ここが数学の凄いとこや。7)よって7を法としてa_3m≡a_3=84≡0a_(3m-1)≡a_2=14≡0a_(3m-2)≡a_1≡3だから、a_n≡0となるのはn=3m,3m-1ってかなり説明をしやすく簡単に式がかけます。合同式は受験に必ずしも必要なもんではないけど、計算自体はそのまま足し算、引き算、掛け算したらええから簡単やし、やっぱり使えるようにして置いた方が解答も早く書けることから有利やと思いますわ。満たす整数bおよび0でない整数a_1,a_2,...,a_nが存在する。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/330-0da133a2この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。