受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。確率と漸化式の融合問題と言えば、何か切なくなって胸が苦しくなる人がいるけど何も言わずにただ抱擁してやってください。コース前期2009年度の第三問の解説[問題]右の図で、P-Q-RはじめQにいて、さいころを投げるごとに,次の2つの規則に従って移動するものとする。\1Qにいるとき,さいころの偶数の目が出たらPに,奇数の目が出たらRに移動する。2PあるいはRにいるとき,さいころの3または6の目が出たらQに移動し,それ以外の数の目が出たらその場にとどまる.n回さいころを投げて移動した後にP,Qにいる確率を,それぞれp_n,q_nとする.以下の問いに答えよ.(配点50)\\(i)p_1,q_1,p_2,q_2を求めよ.(ii)q_(n+1)をq_nを用いて表せ.(iii)p_nをq_nを用いて表せ.(iv)p_n,q_nを求めよ.(v)極限値lim(n→∞)p_n,lim(n→∞)q_nを求めよ.[解答と解説](i)p_1を求めるには最初Qにいて、Pに移動する確率やから目が偶数の2,4,6が出たいいから確率はp_1=1/2q_1は最初Qにいて、さいころを投げてQのままの時やけど絶対次はPかRに動くからQにおいてたら横のおっさんに「あぅくとったら、しゃあったろか!」って意味わからんこと言われてしばかれます。q_1=0p_2を求めるには2回目にPにいる時であって、そうなるのは1回目Q→2回目P1回目P→2回目Pの二つの場合があるけど1回目Qは確率0やったからこの流れは無くて、1回目Pの時に3と6以外の目つまり1,2,4,5の目が出たら2回目もPのままやからp_2=p_1×4/6=1/3q_2を求めるには2回目にQにいる時であって、そうなるのは1回目P→2回目Q1回目R→2回目Qの二つの場合があるけど1回目Pで2回目Qに移動するには3か6の目やから確率2/6で移動します。この流れはp_1×2/6=1/61回目Qから2回目Qのままは起こらなかったから考えなくてよくて、1回目Rで2回目Qに移動するには3か6の目やから確率2/6で移動します。1回目Rにいるのは余事象考えてQでもPでもない1-q_1-p_1でこの流れは(1-p_1-q_1)×2/6=1/6だから結局q_2=1/6+1/6=1/3で求まりました。最初にn回目にRにいる確率をr_nとおいてp_n+q_n+r_n=1と書いた方が解答を書きやすいと思います。(ii)いよいよ漸化式を立てろって問題やな。(i)で具体的にn=1,2でやってみて、それをヒントに一般的なnやってみるってことです。コツはn回目とn+1回目の関係を図で書いて考えることかな。n+1回目にQにいるのはn回目P(p_n)→n+1回目Qn回目R(r_n)→n+1回目Qでどちらも確率1/3で移動します。q_(n+1)=p_n×1/3+r_n×1/3=p_n/3+(1-p_n-q_n)/3=(1-q_n)/3こういう図の書き方と、それを見て式を立てる方法を身につけて欲しいとこやな。(iii)q_nとq_(n+1)の関係は求まっていてp_n+q_n+r_n=1やって後はr_nはPとRの対称性から確率は一緒やからp_n=r_nなのでp_n+q_n+p_n=1⇔p_n=(1-q_n)/2こうやって、余事象とか対称性で確率が同じになるのをよく考えます。(iv)漸化式を解いたらオッケーです。これは数列の範囲やな。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/395-bb254451この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。