受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。センター試験数学1A2013年度平面幾何の問題の解説はぁはぁはぅあ!落ち着いてきたところでセンター試験2013年度数学1Aの第三問の平面幾何の解説をしよか[問題]点Oを中心とする半径3の円Oと,点Oを通り,点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA,Bとする。円Oの周上に,点Bと異なる点Cを,弦ACが点Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このときAP=√[アイ],OD=[ウ](√[エオ])/[カ]である。cos∠OAD=[キ]/[ク]であり,AC=[ケコ]/[サ]である。△ABCの面積は[シスセ]/[ソタ]であり,△ABCの内接円の半径は[チ]/[ツ]である。(1)円Oの周上に,点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。△ABCの内接円の中心をQとし,△CEAの内接円の中心をRとする。このとき,QR=[テト]/[ナ]である。したがって,内接円Qと内接円Rは[ニ]。[ニ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。(0)内接する(1)異なる2点で交わる(2)外接する(3)共有店を持たない(2)AQ=[ヌ](√[ネノ])/[ハ]であるから,PQ=(√[ヒフ])/[ヘ]となる。[ホ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。(0)点Pは内接円Qの周上にある。(1)点Qは円Pの周上にある(2)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの内部にある(3)点Pは内接円Qの内部にあり,点Qは円Pの外部にある。[解答と解説]解説いっとこか!まず図を書いてみなあかんなそしたら接すると言うことは円の中心と接線を結んだ線分と垂直になっていてまずそれを書くのが第一やな。するとAPは三平方の定理で半径からAP=√(1^2+3^1)とわかるねん。それで円の外の点から二接線を引いてたら、△AOP≡△ADPやったやんななんか変な生物がいますが敢えて気づかずにAPとODの交点をHとするとODの長さを求めるにはOHを求めれば2倍すればいいことがわかります。そこで直角三角形APOに対してsin∠PAO=PO/AP=1/√10よりOD=2OH=2AOsin∠PAO=3(√10)/5とわかります。二等辺三角形が出ると頂角から垂線引いて直角三角形二つ作ってこうやって解くのはよくあるとこやなcos∠OADは△OADに注目すれば余弦定理で出て(AD^2+AO^2-OD^2)/2AD・AO=4/5とわかりますすると今度はACです。センター試験やから前の問が誘導になってるから、それを元に考えなあかん4/5やろしかもABは直径より∠ACB=90°やろ4/5で直角...そらもう3:4:5の直角三角形やろと言うことでAC=AB×4/5=24/5△ABCの面積はBCの長さも求めておいたらいいからBC=AB×3/5=18/5よって△OAB=1/2・AC・BC=216/25やな!内接円の半径は他にもやり方あるけど面積あるから、S=(a+b+c)/2でええやろ216/25=r/2・(6+24/5+18/5)r=6/5でやっと(1)がはじまります。(1)センター試験の平面幾何はそのまま図を書いていくと、真っ黒になってまうやろ。こんなもじゃもじゃでは見えんやろ。言うことで、新たに関係するものだけ書いた図を別に書いていくと見やすくなることが多いです。今度は内接円やから、円Pは書かへんねん。直角三角形で内接円やから、中心と接点を結ぶと辺と垂直になっていて直角のところで正方形が出来たやんな。これをたぶん使うんやろな。一つの直角三角形とは斜辺になる直径は同じ長さやし、ACは共通やから合同ですよね。すると書いていくと正方形を書いてRQを引くと長方形になってますやん。QR=AC-2r=24/5-12/4=12/5ってわかるねん。それで内接円Qと内接円Rのことを聞いてるけど、半径を求めさせられいて、QRを求めさせれたわけやんな。差|r1-r2|=dが内接さえ覚えいていれば他はわかると思うねんけど和と差と中心間の距離を調べたらええねんでも和が12/5+12/5=24/5=QRでもう外接やなまあ図では離れてるねんけど、計算してみた結果わかると思ってくれたらええわ(2)今度はAQはAQについては円QとACとの交点をIとおくと直角三角形AIQからAI=QR+r=2r+r=3rやって三平方の定理からAQ=√((3r)^2+r^2)=(√10)r=(6√10)/5やなここでPが出てきたから、今度は円Rを書かずに円Pと円Qだけ書いたのを別に書くとみやすいねん。ほら、そうしたら見やすいやろこんなに見えてしまったら、恥かしいくらいやな。すると、どっちもACとADに接してるから二等分線上にあるねん。AQをさっき求めされたからPQ=AQ-AP=(6√10)/5-√10=(√10)/5とわかるわけやな!そしたら最後!!選択肢を見ると点Pが円Qに入るかとか点Qが円Pに入るかとか聞いてるな。これは難しいわけではないねんけど、あまり問われなかったかもしれん。これはな、半径rの円って言うのは中心からの距離がrのところにある円やねん。これより距離が近い点は内側やし、遠い点は外側なわけやねん。この円をそういう領域と考えるわけやな。したら円Pと点Qを考えると円Pは半径1です。点Pからの距離が1以内の領域です。点Qは点Pからどれくらいの距離のところにあるのかと言うとPQ=(√10)/5やったわけやなこれは1より小さいやんなと言うことは領域ないやねん。座標平面上にある点Pは,点A(-8,8)から出発して,直線y=-x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。同じ座標平面上にある点Qは,点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して,直線y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのはt=[ア]のときである。以下,0<t<[ア]で考える。(1)点Pとx座標が等しいx軸上の点をP',点Qとx座標が等しいx軸上の点をQ'とおく。△OPP'と△OQQ'の面積の和Sをtで表せばS=[イ]t^2-[ウエ]t+[オカ]となる。これより0<t<[ア]においては,t=[キ]/[ク]でSは最小値[ケコサ]/[シ]をとる次に,aを0<a<[ア]-1を満たす定数とする。以下,a≦t≦a+1におけるSの最小・最大について考える。(i)Sがt=[キ]/[ク]で最小となるようなaの値の範囲は[ス]/[セ]≦a≦[ソ]/[タ]である。(ii)Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は0<a≦[チ]/[ツテ]である。(2)3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行移動したものになるのは,t=[ト]/[ナ]のときであり,x軸方向に[ニヌ]/[ネ],y軸方向に[ノハヒ]/[フ]だけ平行移動すればよい。[解答と解説]速さとかの問題です斜面を点Pがツー...ってゆっくり擦っていくのはわかると思います。これは単に媒介変数のこと時間と言ってるだけでいつもと同じ媒介変数が入ってるだけの問題やねんつまり点Pのx座標は媒介変数tを使ってx=-8+2t点Qのx座標はx=tとあらわされると言うことやなしかもこれでPはy=-x上より(-8+2t,8-2t)Qはy=10x上より(t,10t)と座標があらわせるなPがOに到達するのは-8+2t=0でt=4です!(1)P'はPとx座標が等しいx軸上の点より(-8+2t,0)Q'はQとx座標が等しいx軸上の点より(t,0)すると0<t<4でP'がx軸上の負の部分にあることに注意して△OPP'は底辺=OP'=|Pのx座標|=-(-8+2t)=8-2t高さはPのy座標より8-2tよって△OPP'=1/2・(8-2t)^2=2t^2-16t+32同じように△OQQ'は底辺=OQ'=|Qのx座標|=t高さはQのy座標より10tで△OQQ'=1/2・10t^2=5t^2よってS=2t^2-16t+32+5t^2=7t^2-16t+32最小値は平方完成してS=7(t-8/7)^2+32-64/7=7(t-8/7)^2+160/7でt=8/7の時に160/7ってわかるな!そしたら今度はaが0<a<3を満たす定数でa≦t≦a+1におけるSの最大最小やな(i)Sがt=8/7で最小となるようなaの値の範囲ってことはとにかくはt=8/7が範囲に入ってることやなだからa≦t≦a+1の中に注入してa≦8/7≦a+1を解けばよいねんよってa≦8/7と8/7≦a+1⇔1/7≦aまとめて1/7≦a≦8/7(ii)Sがt=aで最大となるようなaの範囲か最大になのは端点ですつまりt=aかt=a+1ですそれでどっちが大きいのかと言うと、軸からより離れてる方でしたそれを調べるには定義域の中点と軸の関係でしたよねだからt=aで最大になるには軸が反対の右のt=a+1の方によっていればいいので定義域の中点≦軸{a+(a+1)}/2≦8/72a+1≦18/7a≦11/14(2)3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行移動したものになるのはを解けって言うわけかO(0,0)P(-8+2t,8-2t)Q(t,10t)y=2x^2のグラフの平行移動ってことはx^2の係数が等しいなしかも原点通るからy=2x^2+axやなP(-8+2t,8-2t)を代入して8-2t=2(-8+2t)^2+a(-8+2t)これを展開するんじゃなくて、落ち着いてみると8-2t≠0で割れるから1=2(8-2t)-a⇔a+4t=15Q(t,10t)を代入して10t=2t^2+atこれも整理する前に、t≠0で割って10=2t+aセンターはなんかこういう感じの処理が多いな。TRACKBACK(0)▲ページトップへセンター試験2013年度数学1Aの第1問、数と式と命題の問題の解説そしたらTST外してセンター試験2013年度の数学1Aの第1問の解説いっとこか第1問[1]A=1/(1+√3+√6),B=1/(1-√3+√6)とする。このときAB=1/((1+√6)^2-[ア])=(√6-[イ])/[ウ]であり,また1/A+1/B=[エ]+[オ]√6である。以上によりA+B=([カ]-√6)/[キ]となる。[2]三角形に関する条件p.q.rを次のように定める。p:三つの内角がすべて異なるq:直角三角形でないr:45°の内角は一つもない条件pの否定をp~で表し,同様にq~,r~はそれぞれ条件q,rの否定を表すものとする。(1)命題[r⇒(pまたはq)]の対偶は「[ク]⇒r~」である。[ク]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。(p~またはq~)(2)次の(0)~(4)のうち,命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例となっている三角形は[ケ]と[コ]である。[ケ]と[コ]に当てはまるものを,(0)~(4)のうちから一つずつ選べ。,[ケ]と[コ]の解答の順序は問わない。(0)直角二等辺三角形(1)内角が30°,45°,105°の三角形(2)正三角形(3)三辺の長さが3,4,5の三角形(4)頂角が45°の二等辺三角形(3)rは(pまたはq)であるための[サ]。[サ]に当てはまるものを,次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。(0)必要十分条件である(1)必要条件であるが,十分条件ではない(2)十分条件であるが,必要条件ではない(3)必要条件でも十分条件でもない[解答と解説][1]まず最初は誘導がわかりやすくなっていて分母は{(1+√6)+√3}{(1+√6)-√3}=(1+√6)^2-√3^2で計算しろって言うことやなそれで1/{(1+√6)^2-3}=1/(1+2√6+6-3)=1/{2(2+√6)}これで(2+√6)(2-√6)=4-6=-2より2-√6を分母分子にかけて(2-√6)/{2(-2)}=(√6-2)/41/A+1/B=1+√3+√6+1-√3+√6=2+2√6これは簡単やな今AB=(√6-2)/41/A+1/B=2+2√6やから対称式をいかせって言うことなんやろなと言うことで1/A+1/B=(A+B)/(AB)よりA+B=AB(1/A+1/B)=(2+2√6)(√6-2)/4=(4-√6)/2[2]条件はp:三つの内角がすべて異なるq:直角三角形でないr:45°の内角は一つもないやな(1)「r⇒(pまたはq)」の対偶は「[ク]⇒r~」これは対偶の使い方なだけでp,q,rの中の人は関係ないようやなA⇒Bの対偶はB~⇒A~やから(pまたはq)の否定をかけばええねんだから(pまたはq)~⇔p~かつq~よって番号は(1)やな!(2)「(pまたはq)⇒r」に対する反例となっている三角形は[ケ]と[コ]である。頂角が45°の二等辺三角形って言うのは残りの二つが両方67.5°って言うことな頂角は三角木馬の角度のとんがり具合やと思ってくれたらええわ。これを見てまずpまたはqつまり三つの内角がすべて異なるまたは直角三角形でないに当てはまるのは否定の方を考えると早いかもな三つの内角が少なくとも二つ同じかつ直角三角形つまりは直角二等辺三角形の(0)だから(1)(2)(3)(4)を考えればいいねんそのうちr:45°の内角は一つもないを満たさないのは(1)内角が30°,45°,105°の三角形(4)頂角が45°の二等辺三角形ってすぐにわかるな(3)rは(pまたはq)であるための[サ]。センターの問題はだいたいあれやねん。前の問題が誘導やねんだから考える前に前の問題を見て先入観を持った方がええねん。(1)からr⇒(pまたはq)の対偶を求めされられてるってことは、これが真か偽かは対偶考えた方がわかりやすいってことやねん。(2)から(pまたはq)⇒rはそもそも反例を求めろ書いてるから偽やねんつまりこのrは(pまたはq)であるための[サ]。|プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。