受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。量子力学の対称性x軸上を動く質量mの自由粒子のハミルトニアンはH=1/2m・p^2ここでp=(h/i)1/∂xこれはx軸に沿って動かしても不変。いう対称性をどのように表すのか。群Gを加法群としての実数Rとしベクトル空間V上をg∈G移動させるGの表現を考える。g∈G,|x>∈Vに対してU(g)|x>=|x+g>と演算子U(g)を定めるとU(g)^(-1)HU(g)=U(g)^(-1)1/2m・p^2U(g)=1/2m(U(g)^(-1)pU(g))^2=1/2m・p^2=HでU^(-1)HU=HHU=UHUとHは可換になりheisenberg方程式d(U)/dt=1/ih[U,H]=1/ih(UH-HU)=0だからHはUに対して不変である。この不変性つまりGに対する対称性を表現すること考える。g|x>Ρ:G→Ug→U(g):|x>→|x+g>}Ρ(g):|x>→g|x>g|x>=Ρ(g)|x>=U(g)|x>=|x+g>とgに対して演算子U(g)を対応させる写像Ρを定めると∀g,g'∈GΡ(g+g')|x>=U(g+g')|x>=|x+g+g'>=U(g)|x+g'>=U(g)U(g')|x>=Ρ(g)Ρ(g')|x>となりΡは凖同型でGの表現になる。隣接三項間漸化式をもっと早く解けるようになるようなことを考えてみます。an+2=pan+1+qanこの解法自体はみんなよく知ってると思います。x^2=px+qが異なる二解α、βを持つとするとan+2-αan+1=β(an+1-αan)an+2-βan+1=α(an+1-βan)が成り立って数列{an+1-αan}は公比βの等比数列、数列{an+1-βan}は公比αの等比数列だからan+1-αan=(a2-αa1)β^(n-1)an+1-βan=(a2-βa1)α^(n-1)から辺々引いて(β-α)an=β^(n-1)(a2-αa1)-α^(n-1)(a2-βa1)もし、x^2=px+qが重解αを持つならan+2-αan+1=α(an+1-αan)だけ成り立ってan+1-αan=α^(n-1)(a2-αa1)an+1/α^(n+1)-an/α^n=(a2-αa1)/α^2でbn=an/α^nと考えて、(a2-αa1)/α^2=Aとでもおくとbn+1-bn=Aでbn=A(n-1)+b1だから答えはan=A(n-1)α^n+α^nb1とでます。最初は何故これでうまく行くのかあまり意味がわからないこともあると思いますがan+2-αan+1=β(an+1-αan)という形にしようとすると、これを左辺にまとめるとan+2-(α+β)an+1+αβan=0だからan+2-pan+1-qan=0と比べてp=(α+β)q=-αβとなるα、βを求めればよいからそれは解と係数の関係からx^2-px-q=0の解がα、βである。β=p-αをq=-αβに代入して整理してもα^2-pα-q=0としても同じことがわかります。意味はこれでいいんですが、もう少し違う始点で考えてみましょう。x^(n+2)-px^(n+1)-qx^n=0と言う方程式を考えてみます。x^nでくくって整理すればx^n(x^2-px-q)=0です。ここでx^2-px-q=0が異なる二つの解α,βを持つ場合を考えるとα^(n+2)-pα^(n+1)-qα^n=0...1β^(n+2)-pβ^(n+1)-qβ^n=0...2これは漸化式an+2-pan+1-qan=0とよく見比べると、a1とa2の無視すれば1よりan=α^n2よりan=β^nって漸化式が解けてしまってます。A×1+B×2はA{α^(n+2)-pα^(n+1)-qα^n}+B{β^(n+2)-pβ^(n+1)-qβ^n}=0で{Aα^(n+2)+β^(n+2)}-p{Aα^(n+1)+Bβ^(n+1)}-q{Aα^n+Bβ^n}=0だからこれもan+2-pan+1-qan=0とよく見比べるとan=Aα^n+Bβ^nと漸化式の解になってます。いうのは線型性と言ってn番目の成分がanである無限次元のベクトルa↑=(a1,a2,a3...an...)を考えるとα↑=(α,α^2,α^3...α^n...)β↑=(β,β^2,β^3...β^n...)でa↑=Aα↑+Bβ↑と表せますがここでa1とa2の二つの値を決めれば、a3=pa2+qa1a4=pa3+qa2...とanはすべて一意に決まるので、anは二つの一次独立なベクトルで表せるはずだからa↑=Aα↑+Bβ↑で十分です。実際a1=Aα+Bβa2=Aα^2+Bβ^2でA、Bが決まります。答えはan=Aα^n+Bβ^nでA、Bはa1=Aα+Bβa2=Aα^α2+Bβ^2です。例題としてan+2=5an+1-6ana1=-2、a2=-16を解いてみましょう。x^2-5x+6=0の解は2,3よりan=A2^n+B3^nはan+2=5an+1-6an=0を満たしa1=2A+3Ba2=4A+9BとなるA,BはA=5,B=-4で存在してるからan=5・2^n-4・3^n...答anはa1,a2の条件を満たせば一意に決まっていくはずなので、これで論理はいいと思います。簡単に解けるようになりました。次に重解の場合を考えたいと思います。x^(n+2)-px^(n+1)-qx^n=0と言う方程式x^nでくくって整理してx^n(x^2-px-q)=0においてx^2-px-q=0が重解αだけ持つ場合です。an=Aα^nしかわからずa1=Aαa2=Aα^2を二式を満たすようなAはa1α=a2でも無い限り存在しません。一つβ^nに変わるものがいるわけです。ここで思い出して欲しいのが多項式f(x)が重解αを持つ必要十分条件です。言いかえると(x-α)^2で割り切れるのが必要十分条件です。f(α)=0だけでは、条件が足りなかったのでf'(α)=0としました。チャート式に載ってると思う。x^(n+2)-px^(n+1)-qx^nを微分すると(n+2)x^(n+1)-(n+1)px^n-qx^(n-1)だから(n+2)α^(n+1)-(n+1)pα^n-qα^(n-1)=0を使えばええわけです。扱いやすいようにαを両辺にかけておいて(n+2)α^(n+2)-(n+1)pα^(n+1)-qα^n=0にしておいてan+2-pan+1-qan=0と見比べるとan=nα^nが解になっています。これでan=Aα^n+Bnα^(n-1)と解できました。これならa1=Aα+Ba2=Aα^2+2Bαで定数が二つでA、Bがもとまります。例題をみてみましょう。an+2+6an+1+9an=0a1=9,a2=36まずはx^2-6x+9=0はx=3を重解に持つan=A3^n+Bn3^nはan+2+6an+1+9an=0を満たしa1=3A+3Ba2=9A+18BとなるA,BはA=2,B=1より存在しているのでan=2・3^n+n・3^n...(答)ちなみに隣接m項間漸化式とか考えるとcm-1an+m-1+cm-2an+m-2+cm-3an+m-3...c0an=0の漸化式がcm-1x^m-1+cm-2x^(m-2)+cm-3x^(m-3)...c0=cm-1(x-α1)^p1・(x-α2)^p2・(x-α3)^p3...(x-αs)^psとすると答えはan=Σ(k=1~s)Pk(n)αk^nでPk(n)はpk-1次以下の多項式。|プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。