ベクトル空間の、部分空間の直和への分解は一般には一意的でない。なるような射影は一般に複数存在しうる。-1)}}P}から分かる。限られるが、それらに対応する固有空間は射影の核および値域に他ならない。直交射影[編集]考えているベクトル空間に内積が定義されていれば、直交性や(線型作用素の自己共軛性)といったような内積に付随するさまざまな概念を用いることができるようになる。互いに直交する部分空間になっているような射影をいう。(P*)T))となることである。同値)のときであり、かつそのときに限る[3]。直線の上への直交射影の場合が最も簡単であろう。直交する全てのベクトルを零化する。含むどんな直線の上への射影についても正しい[4]。}}と考えることである。この等式は任意次元の部分空間の上への直交射影にも拡張することができる。}}で表される[5]。u_{i}}と書くこともできる。考えている全体空間へ埋め込む等長変換になっている。上の恒等変換であることは明らかである。上記の議論で正規直交条件は落とすこともできる。全体空間への埋め込みになっているが、しかし一般にはもはや等距変換ではない。ノルムを回復する「正規化因子」である。張られる部分空間の上への射影になる。ムーア・ペンローズ擬似逆行列を表す。このような場合には、射影作用素を構成する方法は無数にあり、これはその無数の可能性のうちの一つに過ぎないことに注意すべきである。}\end{bmatrix}}W}が成立する。これらの公式は(転置行列を随伴行列に取り替えれば)複素内積空間でも成立する。斜交射影[編集]直交射影でないような射影のことを、斜交射影と呼ぶこともある。直交射影ほど頻繁ではないが、この種の射影は二次元に描画された空間図形を表すのにも用いられる。斜交射影はその値域と核によって定まり、与えられた値域と核を持つ射影の行列表現の式は次のように求められる。