平地に3本のテレビ塔がある...(京大)今回の問題は1966年の京都大学の問題です。[問題]平地に3本のテレビ塔がある。ひとりの男がこの平地の異なる3地点A,B,Cに立って,その先端を眺めたところ、どの地点でもそのうち2本の先端が重なって見えた。このときA,B,Cは一直線上になければならない。この理由を述べよ.[解答・解説]この問題は直感で解けるから小学生でも超難関の中学受験するような子なら解けるかもしれません。いうパフェーマンス的にこの問題が扱われてることもあるかもしれへんし作った側も直感のある学生をとろうとしたのかどうかはわかりませんが、今回言いたいのはそういうことじゃありません。IQが高いから解けたとか解けんとかそういうことを言っても仕方ないしな。なくて数学の問題はどのように問題の解決の糸口をつかむかってとこをわかって欲しいと思います。最初に問題文を読んで絵を描きます。これが一番大切な解決の糸口をつかむ方法です。この問題は立体図形になります。立体図形とかは描けるかなあ?たぶんな、描かれへん子はノートとかにこうやって風景のスケットとかしてないんちゃうかな。今日はお兄ちゃんと一緒に絵を描こか。したら、エンピツと紙を用意しましょう。適当に三本のテレビ塔を書きます。テレビ塔はリアルに描かないでください。東京タワーみたいに描いてたら時間が無くなるし、ぶーわーわけわからんことになります。長さは、適当に違わしてください。立体図形を描くコツは、平地を表す長方形は平行四辺形に描くと立体的に見えます。次に二つのテレビ塔の先端同士を結ぶ直線を平地に引きます。平地との交点がA、B、Cでこの点から見ればテレビ塔2本の先端が重なって見えることになります。するとA、B、Cはなんとちゃんと一直線上に並びます。これは、テレビ塔の高さを同じぐらいにしてるとノートにおさまりきらんデカさになります。するとテレビ塔の高さはかなり違うようにすれば小さく描けるって感覚がわかってきます。いう失敗を繰り返して絵を描くことで問題が少しずつわかってきます。やって絵を描いていくと...A、B、Cがあるのはテレビ塔の先端の三点を頂点とした三角形を含む平面と平地との交わったところ、言わゆる交線上にあることがわかります。解答は上のような図を添えてテレビ塔の三点の先端をD,E.FとするとA,B,Cは平面DEFと平地との交線上にあるから。言う感じに書いたら終わりです。わからなくても気にしないでください。そんなに絵を描きなれてなかったり、平面と平面の交わりは直線になるとか使ったこと無いかもしれへんしな。絵を描くことで問題の意味がわかってきたり解答の糸口がつかめたりするってことがわかれば良いわけで、考える前にとりあえず手を動かして絵を描くって癖をつけてください。TRACKBACK(0)▲ページトップへ君はいつも僕のポリフェノールや今日もお掃除をしました。それで量子力学の本とかを掘り起こして持ち上げたら上手に小さいクモがうへ~って二匹おって交尾してたから掃除機で吸った。いう時って今地震が来て死んでもええわって思えるらしいからな。オレにはまだわからん領域やけどな。ショックや...クモ二匹おっただけで、そこまで思いつめるなって話やなこれ。それで今度はまた別の量子力学の本を掘り起こした。量子力学の本買いすぎやなってなんか薬指の爪に何かが詰まった気がしたからパッと爪を見たら、クモがうへ~って爪の中から飛び出して半分押しつぶされて内臓とか飛び出して足とかポキポキに折れながら出てきて逃げ出してん。掃除機ですぐに吸って急いで洗面所で手を洗いにいった。あかんクモが爪に詰まった間隔が忘れられん!もうあかんわ。今日は気分悪くなって、もう寝込んだ。それで次の日、起きてメガネをつけたら普通に見えるねん。あれ?思ってメガネを外したらボヤけて見えるねん。あ、オレ目の視力普通になってるわ。なんか手から紐が出てるなって引っ張ったら、パジャマの袖がほつれてた。食堂で食べてたら、食べ物運ぶ時に思いっきりこけて前の人の服にかかって喧嘩になってボコボコにされた。ハエが飛んでたの見たら、急にお腹すいてきてハエをとって食べた。それ何の役にも立たんスパイダーマンやな。TRACKBACK(0)▲ページトップへグラフの問題、放物線y=x^2において点(0,a)を通る法線の本数(九大文系)さあてど汚い字で適当に数学の問題を解くコーナーを始めるか。別に綺麗に書いてるつもりやねんけどな。オレ思うねんけどな、世の中な、数学的な考え方より字の綺麗さやろ。素晴らしいことを書いても字が汚かったら誰も読まんわけや。それやったら、あかんやん。今回は九州大学文系数学の今年の問題でかなり典型的な問題です。以下(x^2はxの二乗のこと)[問題]放物線C:y=x^2上の点Pにおける法線とは点PにおけるCの接線と点Pで垂直に交わる直線である。このとき次の問いに答えよ。(1)点(p,p^2)におけるCの法線の方程式を求めよ。(2)y軸上の点(0,a)を通るCの法線の本数を求めよ。[解答・解説]この問題はめっちゃ簡単ですが、よく(1)が無くていきなり(2)だけ聞かれたりします。そこで(0,a)を通る直線の式を傾きをmとか置いてy=mx+a、その式とy=x^2との交点の座標の式x^2-mx-a=0を判別式とかで場合わけして解いて、その交点の座標を微分した式y'=2xに代入して接線の傾きを求めてこの接線と直交するようなmの値の数が求める法線の本数と考えると頭がふにゅってきます。ふにゅ場合わけしてたら、とんがりコーンのパッケージで頭どつかれた。この(1)のように反対に接点の座標を先に文字で置いて法線の式を立ててその式が(0,a)を通るようなpの異なる値の個数を調べるってとこがポイントで色々なとこに使えるから頭の片隅に入れといてください。覚えていたら完璧です。(1)法線の直線の式を求めるには通る点は(p,p^2)とわかってるから後は傾きmを求めればy-p^2=m(x-p)で求まります。y=mxをx軸方向にp、y軸方向にp^2平行移動するってやつです。平行移動ってマイナスになるとこがわかりにくいかもしれんけど、マイナスやからこそ(p,p^2)を入れると直線の式は成り立って(p,p^2)を通るからマイナスが自然とも考えられます。法線の傾きを求めるには、接線の傾きが微分でわかるからそれに直交する条件で求めます。y=m1x+n1y=m2x+n2と言う直線があればこの二つの直線が直交する⇔m1m2=-1を使います。直交してる場合は片方が正の傾きなら、もう片方は負の傾きになってるはずだから異符号になってて積m1m2はマイナスになると直感的にわかります。これはx軸やy軸に平行になる時は使えません。y軸に平行な直線の式はx=定数って形になってy=mx+nの形に表せません。微分すると接線の傾きは2pなのでp≠0の場合とp=0の場合分けます。一般形の直線の式a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0が直交⇔a1a1+b1b2=0(二つの直線の法線ベクトル(a1,b1)(a2,b2)の内積が0の式)を使えばこれはx軸やy軸に平行でも使えますが一応微分との相性を考えてy=mx+nでやりました。p=0の時は当たり前ですがy軸であるx=0が求める法線の式です。p≠0の時はy-p^2=-(1/2p)(x-p)と言う式にりますが、これを2pを両辺にかけて一般形にしてx+2py-2p^3-p=0としときます。するとこの式にp=0を代入するとx=0になるから、この式はp=0の時もちゃんと法線になってるからx+2py-2p^3-p=0が答えです。なんか漸化式の問題とかでもn≧2の時の式を求めてこれはn=1の時も成立するってやり方がありますがそれと同じです。(2)p≠0の時、法線の傾きは-1/2pです。p=0の時はx=0です。pの値と法線は1対1に対応します。傾きが-p^2ならpが1と-1の時は同じ値-1つまり同じ傾き-1の法線になるからpの値と法線が1対1に対応しません。pの値が異なれば異なる法線が対応するから法線の式に(0,a)を代入して、その式を満たすpの異なる値はいくつあるかを求めればそれが法線の数です。整理するとp(p^2-a+1/2)=0って式になります。pは実数なのでp^2-a+1/2が気になります。そのまま形式的にやればp=0、p^2=a-1/2ですが、例えばa-1/2が負ならp^2は正なのでp^2=a-1/2は成り立ちません。a-1/2が正か0か負かで場合わけします。a-1/2が正の時は、p=0とp=±√(a-1/2)の三つの異なる値が出るから3本です。a-1/2が0の時はp(p^2)=0でp=0だけが答えで一本です・a-1/2が負ならでp^2-a+1/2≠0でp=0だけが答えなので本数は1。これは異なるpの値がいくつあるかを求めるのであって、p^3=0はp=0の3重解とかは全然関係無いので注意して下さい。満たす整数bおよび0でない整数a_1,a_2,...,a_nが存在する。○区間をn等分する問題、数直線上の区間[0,1]をn等分して等分点をマークする。≧9/(a+b+c)を示せ。TRACKBACK(0)▲ページトップへ千の風になって歌う前にもっと他にやることあるやろそういえば最近、土日とか祝日もだいたい親父は仕事やねんけど珍しく土曜に途中で電話かかってきて、おかんが買い物一緒にしててん。家族が平和なときはオレは暮らしやすいけどな。それで家でビール飲みながら、今日なんで帰ってきたんか言うと病院で仕事してるねんけど一人で仕事してたらドア開けたらセビロのおっさんがおるなあって思ってたら、フッておらんようになったらしい。それで、おかしいな思って書類をコピーしてそれを持って運んで見てたら何故か4枚目がなくなってておえ~!?ってなって、どこ行ったんやろってコピー機を見たら4枚目だけ残ってておえ~!?ってなって、ちゃんと書類の束に戻して仕事してたらパサって音がして、書類を見たらまた4枚目が無くなってて探してたら全然違う場所にあっておえ~!?ってなって、もう恐なってきたから仕事放ったらかして帰ってきたらしい。その病院は昔、癌病棟やって死体がたくさん置いてて、みんなよく幽霊を見るとかなんとか。