投稿者:■コマ大数学科119講:バスケットボール駒場祭のときの「メイド姿」の写真を公開した山田茜さんと木村美紀の「フレッシュ1年コンビ」を迎えての「たけしのコマ大数学科」(木村美紀は大学院1年だが...)。今回のお題は「バスケットボール」ということで、コマ大数学研究会からの出題。バスケットボールは漢字で書くと「籠球」、サッカーは「蹴球」、そして「氷球」と書くと、アイスホッケー。「門球」と書くと......。これも、マス北野が「ボーリング」と答えてしまい、「ですが...」と続けると、困ったコマ大生「...ですよ」^^;問題:バスケットボールの得点は、フリースローが1点、スリーポイントラインの内側からだと2点、外側からだと3点入る。得点が10点になるまでの得点経過は何通りあるか?コマ大数学研究会は、伊藤理恵さんが所属する東大バスケットボール部と対戦。スコアを記録していくが、なす術もなく3連敗、はやくも息が上がってしまい、続行不能。いうわけで、コマ大生は、ビニールテープを使った、いつもの地味な検証。色分けされたテープを、1点、2点、3点の得点に応じた長さに切り、それをつなげていく。1本が10点の長さになるわけ。すべての組み合わせを作り、テープが何本あるかを数えれば、それが答えになる。爺は、コマ大生と同じ方法で検証だ^^;ランダムに1点、2点、3点の長さのテープを貼り付けて、10点分の長さのテープにする。最初は順調だったものの、数が増えるに従って、当てずっぽうの乱数では、重複した答えが多くなり、そのチェックがしんどくなる。グラフィックなしの、試作版では、うまくいったのだが、グラフィック処理を追加したところ、あまりの重さに動作があやしくなった。答えは「274通り」。東大生は、問題を10段の階段に置き換え、1段のパターンを「a(1)」、n段=a(n)として式を立てた。10段の場合は、その直前の状態によって、1段上るか、2段上るか、3段上るかの3通りがあり、a(10)=a(9)+a(8)+a(7)と表すことができる。同様に、a(9)、a(8)......と求めていく。すると、結局「44*a(3)+39*a(2)+24*a(1)」という式になる。1段の場合は、a(1)=1通り、2段の場合は、a(2)=2通り、3段の場合は、a(3)=4通りと、数が少ないので、手作業ですべての組み合わせを列挙することができる。これを式に当てはめると、「44*4+37*2+24*1=176+74+24=274」というわけで、答えは「274通り」。マス北野は、今回、問題が発表されると、勝ち誇った笑いを浮かべた。この問題の解法を知っているらしい。竹内薫センセから、「以前やった問題を思い出せば、秒殺かな」というヒントが出る。それは、コマネチ大学数学科の記念すべき、第1回目「フィボナッチ数列」だ。「階段を上るとき、1段上るか、2段上るか、2通りの方法があるとして、15段の階段を2つの方法を組み合わせて上ると何通りになるか」という問題。フィボナッチ数列の場合は、「f(n)=f(n-2)+f(n-1)」と表すことができた。今回の問題は、そのフィボナッチ数列を拡張したもので「トリボナッチ数列」という名前がついている。マス北野は、フィボナッチ数列が直前、2つの答えを足し合わせたものだが、トリボナッチ数列は、3つの答えを足し合わせればよいことに気づいていた。「T(n)=T(n-3)+T(n-2)+T(n-1)」というわけだ。T(1)、T(2)、T(3)を求めれば、あとは、足し算していくだけで、答えを求めることができるというわけだ。今回は、3チームとも正解し、マス北野&ポヌさんチームが、コマネチ・フィールズ賞を獲得した。「エクセル」では、上のような表を作り、セルB5に「=B2+B3+B4」として、オートフィルで連続入力すれば、ちょうど、10点になったときの組み合わせ数が表示される。素朴な疑問を抱く人がいるかもしれない。爺が考えるに、これは「2^0=1」のような、数学的な「お約束」ではないかと思う。「2^n」を数直線上で考えると、「2^0=1」と定義しておいたほうが、連続性が保たれ、都合がいいからだ。フィボナッチ数列や、トリボナッチ数列には、負の場合はないけれど。竹内薫センセの「美しき数学の時間」、ちょっといい話では、フィボナッチ数列の拡張形として、トリボナッチ数列に続いて、さまざまな数列が紹介された。BOX1(第1期)※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。