無理数であるという、数論の結果である。形に書くことはできない。おいて一般に有理数であるのか無理数であるのかは、無理数であると予想されてはいるが、未解決のままである。1978年にフランスの数学者ロジェ・アペリーが、周囲が全く予期しないうちに、この事実の証明を発表した。奇数値に対して一般化できないこともあり、非常に謎めいたものとなっている。後にボイカーズのルジャンドル多項式を使った証明やネステレンコの証明などが発表されている。アペリーはフランス人数学者で、当時隆盛を誇っていたブルバキとは独立にこの方法を開拓した。^{2n}}であることを証明した。)^{2n}}{2(2n)!}}}を示した。ベルヌーイ数であり、有理数である。対して無理数であることを示している。よるそのような表示は知られていない。対して超越数であることが予想されている[1]。このため、奇数に対するゼータ定数は、すべて超越数であると信じられているにもかかわらず、無理数であることの証明は見つかっていなかった。ζ(3)"(ζ(3)の無理性に関して)という題の講演を行った。無理数であることの証明の概略を話した。用いた表示に頼るのではなく前者のための手法を単純化したものを用いた。結果の全く予想外の性質とアペリの主題への無感動で非常に概略的なアプローチのために、聴衆の数学者の多くは証明には欠陥があると捨て去った。はアペリは良い線を行っているかもしれないと思い、彼の証明の確認を始めた。2ヶ月の後に彼らはアペリの証明の確認を終わり、8月18日にコーエンは証明の全詳細を与える講演を行った。講演の後アペリ自身が演説をし彼のアイデアのもととなったものを説明した[2]。アペリの証明編集アペリのオリジナルの証明[3][4]はディリクレの有名な無理数性判定法に基づいていた。{2n}{n}}}}}であった。{n+m}{m}}}}}である。{n+k}{k}}^{2}}であった。掛けてこの問題に対処してもなお収束は無理性を保証するのに十分早いことを示したのである。Beukers(英語版)によって見つかった[5]。{P_{n}}}(x)}を含む積分に置き換えた。下回り、これは矛盾である。Nesterenko(英語版)による第四の証明とも類似している[7]。有理数であるという仮定から矛盾を導く。超幾何級数を使っていて、それらは早期の証明よりもいくぶん分かりづらい。