space)とは、任意の固定された「大きさ」(但し「大きさ」の意味する所は文脈によって異なる)の有限個の部分集合によって覆うことの出来る空間のことを言う。その大きさがより小さく固定される程、覆うためにはより多くの部分集合が必要となるが、どのような大きさであっても必ず有限個の部分集合によって覆うことが出来る。全有界空間の全ての部分集合は、全有界集合である。空間が全有界でなくとも、その部分集合の幾つかは全有界であることがあり得る。プレコンパクト(precompact)という語も同様の意味で用いられる。プレコンパクトは相対コンパクトの意味でも用いられる。完備距離空間においてそれらの意味は一致するが、一般には同一のものではない。詳しくは後述の「選択公理の使用」の節を参照されたい。M}を覆う様なものが存在することである。}であるような有限被覆が存在することである。ε-ネット(英語版)の存在と同値である[1]。全有界空間は(有限個の有界集合の合併は有界なので)有界である。その逆は一般には成り立たない。離散距離を備える無限集合は有界であるが、全有界ではない。ユークリッド距離とするとき、(部分空間位相を伴う)部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。有限被覆)ことである。全有界集合であることである(全有界空間を直接定義することも出来る。この場合、ある集合が全有界であるための必要十分条件は、それを部分空間と見なすと全有界空間となっていることである)。以下であることを言う)。部分集合の平行移動であることを言う)。bounded)であるための必要十分条件は、「左」平行移動について上述の位相アーベル群に対する全有界の定義を満たすことである。bounded)であるための必要十分条件は、それが「右」平行移動について上述の位相アーベル群に対する全有界の定義を満たすことである。用いる(但し、ここでの「大きさ」は単位元の近傍であることは明らかであるが、ある集合が与えられた大きさであるかに関しては二つの概念が存在する。左平行移動に基づく概念と、右平行移動に基づく概念である)。部分集合であることである)。よって測ると、近くにある)。以上の定義はさらに、コンパクト性とコーシー完備化の概念を持つ任意の空間の圏へと拡張することも出来る。ある空間が全有界であるとは、その完備化がコンパクトであることである。一般の(有限次元)ユークリッド空間の部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。これはアルキメデスの性質より従う。ヒルベルト空間、あるいはより一般のバナッハ空間内の単位球が全有界であるための必要十分条件は、その空間の次元が有限であることである。全有界の概念が定義されているなら、すべてのコンパクト集合は全有界である。すべての全有界距離空間は有界である。すべての有界距離空間が全有界であるという訳ではない[2]。完備距離空間の部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが相対コンパクト(すなわち、閉包がコンパクト)であることである。弱位相を備える局所凸空間において、プレコンパクトな集合は有界である。ある距離空間が可分であるための必要十分条件は、それがある全有界距離空間と位相同型であることである[2]。1)を備える無限距離空間は、有界であるが、全有界ではない。全有界性とコンパクト性の間には、次の良い関係が存在する:すべてのコンパクト距離空間は、全有界である。一様空間がコンパクトであるための必要十分条件は、それが全有界であって、コーシー完備であることである。これはユークリッド空間から任意の空間へのハイネ・ボレルの被覆定理の一般化と見なされる:その場合、有界性を全有界性に(そして閉性を完備性に)代える必要がある。全有界性とコーシー完備化の間には相互補完的な関係がある。ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、そのコーシー完備化が全有界であることである(これは、ユークリッド空間においてある集合が有界であることと、その閉包が有界であることは同値という事実に対応する)。これらの定理を組み合わせて、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、その完備化がコンパクトであること、ということが分かる。これは全有界性の代替的な定義となる。全有界性とは異なる定義が使われるが、プレコンパクト性の定義とされることもある。すると、ある空間が全有界であるための必要十分条件は、それがプレコンパクトであること、という定理が得られる(この方法で定義を分けることは、選択公理が無い場合に有用となる。上述の様な全有界性は、部分的には選択公理に依るものである。選択公理が無い場合、全有界性とプレコンパクト性は区別されなければならない。全有界性は初等的な用語で定義出来るが、プレコンパクト性はコンパクト性とコーシー完備化の観点から定義される。全てのプレコンパクト空間は全有界である、すなわち、ある空間の完備化がコンパクトであるならその空間は全有界であるということは、選択公理を要さずに証明できる。全ての全有界空間がプレコンパクトであるということは、選択公理が無い場合には証明できない。選択公理が無い場合には、ある全有界空間の完備化はコンパクトとならないこともあり得る(そのような全有界空間を持つZF集合論のモデルが存在する)。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。