小学校では「数直線」も習います。直線上に数をプロットして使う訳ですが、実はここに「数の離散から連続への跳躍」があります。その穴に落ちています(そしてその穴の方が遥かに広いのです)。実数は長さ・大きさ・時間など「連続的に変化する量」を扱う上でなくてはならないものです。無理数(有理数でない実数)です。解で、これも無理数です。解く上で自然に出てくるもので、この点においても有理数と無理数を合わせた実数を考えた方が都合が良いということは納得できるでしょう。2点で交わる場合、1点で接する場合、交わらない場合に対応していることが分かります。ここに虚数なんて考える必要はなさそうです(ネタバレ)。3次・4次方程式についても解の公式があります。その中身が負の場合、2次方程式の場合と同じように解がないことになりそうです。書くことを認めて計算を進めると、結果的に1つは実数解が出てきます。いう数を考えてみます。こんなものを「数」と呼んで良いんでしょう?それはその数が「体」になるからです。でない数には逆数があります。これがまさに「体」の条件でした。いい、その全体を「複素数体」と言います。個の解を持つということが示されます。これが「代数学の基本定理」で、はじめて完全に証明したのはガウスです。ガウスは複素数を2次元平面上の点と対応させた「複素数平面(別名ガウス平面)」を考案し、複素数が「見える」ようになったことで数学者に受け入れられるようになりました。示したことで、それまで別のものと思われていた指数関数と三角関数が統一されます。18、19世紀に渡って複素数は微積分学にも取り入れられ「複素関数論」という一大分野が樹立します。複素数は理論・応用の両面において「完成された数」として認められていきました。「代数学の基本定理」が不要...?さて、ここでアルティンの言葉を振り返ってみましょう。代数的な事柄の基礎づけには、「代数学の基本定理」は不要なのである。これは一体?代数方程式がその範囲で必ず解を持つような「完成された数」が不要と?3次・4次方程式には解の公式があると書きましたが、5次以上についてはありません。これは「まだ見つかっていない」ということではなく「原理的に作れない」ということです。「ガロア理論」では方程式の構造を群と対応させることでこのことが示されます。複素数体という大きなものを考えれば代数方程式は必ず解を持つのですが、「どういう条件で方程式は具体的に解けるのか」を考える上ではむしろ大きすぎるのです。そこで改めて有理数から出発して、ある方程式が解けるような「必要最小限の数体」を考えたい。そこで出てくるのが「代数拡大」です。複素数体このシリーズでガロア理論について説明することはできませんが(次シリーズでチャレンジしてみたい)、「数を作れる」というのは数学的にもプログラミング的にもとても面白いと思います。本当にあるのか?」は誰もが引っかかるところだと思いますが、大丈夫、作れます。シリーズ最終回で作ります。四則演算が自由にできる「体」である。「体」という代数的構造こそ「数」の本質だと思うことにしよう。して実装していこう、というのがこのシリーズの主旨です。