これは、トレースの相似不変性と、任意の行列がジョルダン標準形に相似であること、およびジョルダン標準形の対角成分に代数重複度を込めた固有値が全てならぶことから明らかである。成り立つことが分かる。ある(その意味で次元の概念をトレースを用いて一般化することもできる)。階数であり、また冪零行列のトレースは零である。スカラーへの写像である」(後述)。相似不変性を考慮すれば、単位行列がどんな行列の対の交換子とも相似にならないことが分かる。逆に任意のトレース零な正方行列は交換子の線型結合として書ける。言えば、任意のトレース零な正方行列は対角成分が全て零の正方行列とユニタリ同値になる。冪零行列の任意の冪のトレースは零である。係数体の標数が零ならば逆も成り立つ(任意の冪のトレースが零ならば冪零である)。エルミート行列のトレースは実である(エルミート行列の対角成分はすべて実となることによる)。射影行列のトレースは行列の階数に等しい。跡は行列式の微分と対応付けられる。リー群における行列式のリー環における対応物が跡である。それを示すのが行列式の微分に対するヤコビの公式(英語版)である。(A))}と書くことができる。写像と見ることができる。([A,B])=0}という意味に他ならない。