元は無限小体積を変えない行列である。n-倍として作用する。n-倍の分だけ割って射影を得れば上記の如くである。n-乗根をとる必要があり、これは一般には写像を定めない。(x)y:=[x,y]=xy-yx)}はキリング形式と呼ばれ、リー環の分類に用いられる。([x,y]z)}が成り立つ意味で結合的である。ような)複素単純リー環に対しては、このような任意の双線型形式は互いに他の定数倍であり、特にキリング形式として書ける。(xy)=0}を満たすときに言う。とき、かつそのときに限ることに注意する。行列全体の成すの空間における内積の性質を満たす。(Y)}と記述できる)。アダマール積を使って書くこともできる。ベクトルの演算を行列に対して一般化する際に積のトレースが現れるのはこのような事情による。この内積に対応するノルムをフロベニウスノルムと呼ぶ。ベクトルと見做したときのユークリッドノルムである。跡の概念はヒルベルト空間上のコンパクト作用素の成すトレースクラスに一般化される。行列の跡の定めるフロベニウスノルムの類似としてヒルベルト–シュミットノルムが定まる。別の一般化として偏トレース(英語版)は作用素に値をとる。このような意味でのトレースは一意には決まらない(少なくとも非零スカラー倍したものに取り換えても明らかにこの定義を満たす)。超代数(英語版)への一般化として超トレース(英語版)がある。テンソルの縮約はトレースの概念を任意のテンソルに対して一般化する。単位行列へ写すものであり、スカラーをスカラー行列へ写すという意味での包含写像である。この意味で、「トレースはスカラーの双対である」。双代数の言葉で言えば、スカラーが単位、トレースが余単位である。ともに定義できる限りにおいて成り立つ。978-4130620017。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。