)・翻訳・出版も行っています。このブログでは、何でも簡潔に分かりやすく解説します。記事が多数あるので、カテゴリやブログ内検索を活用してご覧ください。最近の記事(03/31)2020年の生徒募集概要(01/25)本日配信のメルマガ。考え方(31)【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方(10)【中学5科】高校入試の重要ポイント(22)更新記録(61)書き換え英作文(190)新聞記事(3)リンク集プロ家庭教師の江間です。直線」�A点A(2,3)を通り、ベクトル→d=(4,1)に平行な直線の媒介変数表示を求め、直線の式を求めよ。媒介変数表示を求めるところまではこちらで解説しています。直線の式はtを消去した形です。解説はこのページ下センター過去問もチェックしておきましょう!前回の解説で、求めるベクトルの媒介変数表示は、x=2+4t,y=3+tであることがわかりました。ここからtを消去すれば直線の式になります。消去するには、どちらかの式をtについて解いて、もう片方に代入すればOKですね。y=3+t−t=3−yt=y−3これをx=2+4tに代入して、x=2+4(y−3)x=2+4y−12x=4y−10ここで終わりでもダメではありませんが、直線の式の一般形の形に直しておいた方がよいです。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。直線」�@点A(2,3)を通り、ベクトル→d=(4,1)に平行な直線の媒介変数表示を求めよ。Aからスタートして、→dの向きに進む。いうイメージで考えるとわかりやすいです。解説はこのページ下センター過去問もチェックしておきましょう!Aを出発点にして、→dに平行に移動するので、A+t・→dというイメージで求めることができます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。方程式」y=x^3の接線のうち、(1,0)を通るものの方程式を求めよ。接線といえば微分です。今回の問題は、この書籍のP.29にも掲載されています。微分すると、接線の傾きが出てきます。接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。y=x^3だから、y'=3x^2これがy=x^3の接線の傾きを表す式だ。(1,0)はこの関数上の点ではないので、接点のx座標をtとおくと、接線の傾きはy'=3t^2、接点の座標は(t,t^3)となります。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。男子3人と女子3人の合計6人から3人の委員を選ぶとき、女子が2人以上選ばれる確率を求めよ。確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。2人以上とは、もちろん、2人または3人ですね。解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。全体の場合の数を求めましょう!「6人から3人を選ぶ」なので、6C3=(6×5×4)/(3×2×1)=5・4ですね。「女子が2人以上」はつまり「女子が2人または3人」なので、それぞれの場合を求めて合計します。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。男子3人と女子3人の合計6人が一列に並ぶとき、男子と女子が交互に並ぶ確率を求めよ。確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。それぞれの場合の数を求めます。解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。全体の場合の数を求めましょう!「6人が並ぶ場合の数」なので、6!=6×5×4×3×2×1ですね。「男子3人を並べる」→「間に女子3人を並べる」というイメージで求めることができます。男子3人の並べ方は、3!=3×2×1間に並べる女子3人の並び方は、3!=3×2×1男子が先の場合と女子が先の場合があるので、2倍して、3×2×1×3×2×1×2です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。同時に取り出すとき」�A袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した球の2個が白球,1個が黒球である確率を求めよ。確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。「同時に取り出す」などの場合はnCrを使って計算するとやりやすいです。確率の場合でも、同時に起こること、連続して起こることはかけ算をします。解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。前回の記事と同様に、まずは全体の場合の数を求めてみましょう。「袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている」ので、合計10個の球が入っていることになります。ここから3個取り出すので、10C3=(10・9・8)/(3・2・1)=10・3・4続いて、「2個が白球,1個が黒球」の場合の数を求めます。これらは同時に起こることなので、それぞれの場合の数をかけ算します。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した球が3個とも白球である確率を求めよ。確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。「同時に取り出す」などの場合はnCrを使って計算するとやりやすいです。解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。全体の場合の数を求めてみましょう。「袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている」ので、合計10個の球が入っていることになります。ここから3個取り出すので、10C3=(10・9・8)/(3・2・1)=10・3・4確率の場合は、後から分数にして約分するので、あえてかけ算はせずに、この状態でストップしておく方が計算が簡単になることが多いです。「3個とも白球」の確率を聞いているので、「白球の場合の数」を求めます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。■問題2次方程式3x^2−12x+12−k^2=0が正の解と負の解を一つずつ持つような定数kの値の範囲を求めよ。「正の解と負の解を一つずつもつ」ということは、まずは「異なる2つの実数解」を持つ必要があります。解の範囲を限定するためにその他の条件を満たす必要があります。その条件とは・・・?解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。■解答解説まずは解を2つ持たないと話にならないので、D>0を満たすk値を求めます。3x^2−12x+12−k^2=0なので、D=b^2−4acにa=3,b=−12,c=12−k^2を代入して、D=(−12)^2−4×3×(12−k^2)=144−144+12k^2=12k^2>0k^2>0よって、k=0以外の全ての実数で解を2つ持つことがわかります。y=3x^2−12x+12−kの2次関数のグラフは、下に凸なので、正の解と負の解を一つずつもつときは、グラフが原点の下側を通ります。原点は(0,0)なので、原点の下側はx=0のときy<0ですね。与式にx=0を代入して、12−k^2<0k^2−12>0(k+2√3)(k−2√3)>0よって、k<−2√3,k>2√3これはD>0の範囲に含まれるので、そのままこの問題の解となります。ちなみに、下に凸のグラフが原点よりも下を通れば、自動的に異なる2つの実数解を持つので、このような条件の場合は、D>0をやらなくても大丈夫です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。不等式−20≦2x^2−13x<15を解け。一つながりの不等式になっていますが、前半と後半に分ければ、ただの連立2次不等式です。2次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。今回の問題は一続きの不等式になっているので、前半と後半の2つの式に分けてから解きます。前半は、−20≦2x^2−13xですね。これを解いていきます。−13(2x−5)(x−4)≧0よって、x≦5/2,x≧4・・・�@次に後半の式を解きます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。連立2次不等式x^2+x−2<0,3x^2−10x+3≦0を解け。連立だからといって特別なことはありません。2次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。連立2次不等式x^2−9x+18>0,x^2−8x+7<0を解け。連立だからといって特別なことはありません。2次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。A■問題2次不等式x^2−(k+3)x+4k≧0の解が全ての実数であるような定数kの値の範囲を求めよ。■考え方(2次式)≧0の解が全ての実数というのはつまり、2次関数とx軸の共有点が0個または1個です。問題の2次式は、x2乗の係数がプラスだから下に凸の2次関数になるので、(2次式)≧0の解が全ての実数となるためには、2次関数とx軸が共有点を持たないか接する必要があります。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。@■問題2次不等式2x^2−kx+k+1>0の解が全ての実数であるような定数kの値の範囲を求めよ。「不等式の解が全ての実数」というのは、「2次関数とx軸の共有点がない」と同じ意味を表します。2次関数とx軸の位置関係は判別式D=b^2−4acで調べることができます。共有点を持たないときは、D<0です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。2次方程式x^2+(k+1)x+k+2=0が、実数解を持たないような定数kの値の範囲を求めよ。実数解を持たないならば、判別式D<0ですね!解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。■解答解説2次方程式の解の個数は判別式D=b^2−4acで調べることができます。実数解を持たないときは、D<0です。D=b^2−4acに、a=1,b=k+1,c=k+2を代入して、D=(k+1)^2−4×1×(k+2)=k^2+2k+1−4k−8=k^2−2k−7この式の値がマイナスのとき解を持たないので、普通に2次不等式を解きます。イコールゼロで解くと、k=[−(−2)±√{(−2)^2−4×1×(−7)}]/2×1={2±√(4+28)}/2=(2±√32)/2=(2±4√2)/2=1±2√22乗の係数はプラスだから、放物線のグラフは下に凸なので、マイナスになるのは2つの解の間です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。2次方程式x^2+(k+1)x+k+2=0が、重解を持つような定数kの値を求めよ。重解ならば、判別式D=0ですね!解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。■解答解説2次方程式の解の個数は判別式D=b^2−4acで調べることができます。解が1個すなわち重解のときは、D=0です。D=b^2−4acに、a=1,b=k+1,c=k+2を代入して、D=(k+1)^2−4×1×(k+2)=k^2+2k+1−4k−8=k^2−2k−7この式の値がゼロのときが重解なので、普通に2次方程式を解きます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。|高校数学「2次不等式」�C高校数学「2次不等式」�C■問題2次不等式3x^2−6x+1<2x^2−17を解け。■考え方2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。右辺がゼロになってないときは、最初に式の変形をします。解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。■解答解説まずは右辺がゼロになるように式の変形をします。3x^2−6x+1<2x^2−17x^2−6x+18<0そしてイコールゼロにして解きます。x^2−6x+18=0x=[−(−6)±√{(−6)^2−4×1×18}]/2×1={6±√(36−72)}/22次不等式�Aの問題と同じように、ルートの中身がマイナスになってしまいました。いうことは、2次関数のグラフがx軸との共有点を持ちません。x^2−6x+18は、x^2の係数が正の数なので、放物線のグラフは下に凸です。下に凸のグラフがx軸との共有点を持たないならば、式の値は常にプラスである。いうことがわかります。x^2−6x+18<0の範囲を求めたいですが、そんなときはないので、求める解は解なしとなります。ちなみに、今回の問題も、�Aの問題も、判別式を使えば、マジメに解の公式に代入しなくても、放物線がx軸と共有点を持たないことがわかりますが、一目でそういう場合なのかどうかを判断するのは難しいと思いますし、「まずは因数分解をする。できなければ解の公式」という考え方で全て解決できるので、このブログではこの解き方で統一しています。今後場合によっては、先に判別式を考える方法を解説することもあるかも知れません。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。|高校数学「2次不等式」�B高校数学「2次不等式」�B■問題2次不等式x^2−12x+36≦0を解け。■考え方2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。■解答解説x^2−12x+36≦0の場合も、まずはイコールゼロにして解いてみます。x^2−12x+36=0(x−6)^2=0よって、x=6つまり、2次関数のグラフを考えた場合のx軸との共有点はx=6の1点である。