正規部分群の作用の理解がアラン・コンヌによるリーマン予想プログラムの一部分をなしている。代数体のうちで複素数体への埋め込み先が必ず実数に含まれるようなものは総実代数体とよばれ、代数的整数論において重要な役割を果たしている。自然科学のさまざまな分野において、連続的に変化する量の計測値を表す数の体系として実数がもちいられている。時間は基準となる時刻からの経過を表す一つの実数によって指定される。現実には離散的な値をとる量でもその単位があまりに小さい場合には実数による連続的な定式化が用いられる。化学における溶液の濃度や経済学における通貨流通量などは微分や積分が可能な関数によって表され、解析されるのが普通である。一方で、20世紀に入って量子力学において複素数(値の関数)が本質的なものとしてもちいられることや、物理量が離散的な値をとる(量子化)ことなど、現実世界の現象の記述にいつでも実数が適合しているわけではないことが認識されるようになった。ベルンハルト・リーマンなど何人かの数学者は、空間における物体の位置を表す数の体系としても、実数はひとつの近似を提示しているにすぎないのかもしれないという疑念を表明している。数の体系としての実数をとらえる試みは古代ギリシャにおける「大きさの理論」にさかのぼることができる。この「大きさ」とは大小比較や加法、自然数倍ができるようなものとして定式化される。幾何学における線分の長さなどがこの大きさの理論を適用できる概念になるが、こうして考えられた量が自然数(あるいは整数)の比である有理数だけではとらえきれないという紀元前500年頃のピタゴラス学派による発見は大きな意義をもっていた。6世紀にはインドの数学者によって負数の概念が発明されており、ほどなくして中国の数学者たちも独立にその概念を発明した。ヨーロッパでは16世紀まで負数が用いられていなかったし、1700年代後半のレオンハルト・オイラーでさえ方程式の負の解をあり得ないものとして切り捨てている。17世紀にアイザック・ニュートンとほぼ同時に微分の概念に到達したゴットフリート・ライプニッツは数の無限小変動(モナド)の考え方によって微分をとらえようとした。彼の考え方は十分に形式化されず、厳密性を欠いたものだった。18~19世紀にベルナルト・ボルツァーノ、オーギュスタン・コーシー、カール・ワイエルシュトラスらによりイプシロン-デルタ論法にもとづく微分の定式化が達成された。これにより数のコーシー列の「収束先」の存在を保証するものとして実数の体系がはっきりとした存在意義を持つようになった。18世紀から19世紀にかけて無理性や超越性についての研究が大きく進展した。代表的な成果に、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによる円周率の無理性の証明(1761年)、パオロ・ルフィニとニールス・アーベルによる五次以上の代数方程式が一般には冪根を用いて解けないこと(1799年、1842年)の証明、ジョゼフ・リウヴィルによる超越数の存在証明、シャルル・エルミートによるネイピア数の超越性の証明、フェルディナント・リンデマンによる円周率の超越性の証明(1882年)などがある。ゲオルク・カントールはフーリエ級数の収束の問題を研究するうちに実数の部分集合を考察するようになり、整数や有理数などのよく知られていたクラスの数の集合と実数の集合が本質的に異なるサイズのものであることを示した。このような実数の超越性によりレオポルト・クロネッカーなど一部の数学者たちは嫌悪を示した。集合論)からは独立であることが後になってわかった。アンリ・ルベーグはルベーグ積分の理論によって積分論の構造化を達成する過程で「積分可能」な関数のクラスである可測関数の概念と、それらによって指定されるような実数の部分集合である可測集合の概念をえた。この可測集合は具体的に構成できるような実数の集合を尽くしていて、選択公理を仮定しなければ非可測な集合の存在を導くことができない。概念』岩波書店、1970年。4-00-005153-9。4-00-339241-8。関する記事レトロニムNavigation。