y^{2}}}}で与えられる。三次元では様々な座標系がラプラシアンを記述するために広く用いられる。^{m}},}ここでアインシュタインの和の規約を用いた。_{S^{N-1}}f}と書ける。(N−1)-次元球面上のラプラス=ベルトラミ作用素である。)}}と書いても同じことである。延長した函数の通常のラプラシアンとして計算することができて、それは半直線に沿って定数(つまり、斉零次の斉次函数)になる。上の式はヘルムホルツ方程式と呼ばれるものである。この結果は本質的にはコンパクト自己随伴作用素に関するスペクトル定理をラプラス作用素の逆作用素(これはポワンカレ不等式およびコンドラコフ埋蔵定理(英語版)によってコンパクト)に適用することにより従う[3]。あることも示せる[4]。この結果はより一般に、任意の境界付きコンパクトリーマン多様体上のラプラス=ベルトラム作用素について成り立ち、また実際に有界領域上滑らかな係数を持つ任意の楕円型作用素に対するディリクレ固有値問題についても正しい。超球面であるときの、ラプラス作用素の固有函数は球面調和函数と呼ばれる。一般化[編集]ラプラス=ベルトラミ作用素[編集]詳細は「ラプラス=ベルトラミ作用素(英語版)」を参照ラプラス作用素の概念は、リーマン多様体上で定義されたラプラス=ベルトラミ作用素(英語版)と呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。同様にダランベール作用素は擬リーマン多様体上の双曲型作用素に一般化される。(H(f))}が得られる。トレースは計量テンソルの逆に関して取るものとする。ラプラス=ベルトラミ作用素を同様の式でテンソル場に作用する作用素(これもまたラプラス=ベルトラミ作用素と呼ばれる)に一般化することができる。f=d^{*}df}を考えることもできる。d∗は余微分(英語版)で、ホッジ双対を使って書くこともできる。これが上に述べた「解析学者のラプラシアン」とは異なるものであることには注意すべきである。そのことは大域解析学の論文を読むときには常に気を付けねばならない。これはまたラプラス=ドラーム作用素(英語版)とも呼ばれ、ヴァイツェンベック不等式(英語版)によってラプラス=ベルトラミ作用素と関係する。(英語版)などが可能である。z^{2}}}となる。これは考える空間上の等長変換群のもとで不変な微分作用素であるという意味においてラプラス作用素の一般化となるものであり、時間不変函数へ制限する限りにおいてはラプラス作用素に帰着される。ここでは計量の符号を作用素の空間成分に関して負符号を許すようにしてあることに注意(高エネルギー粒子物理学ではこう仮定するのが普通)。ダランベール作用素は波動方程式に現れる微分作用素であるという理由で波動作用素と呼ばれることもある。これはまたクライン=ゴルドン方程式(質量の無い場合には波動方程式に帰着される)の成分でもある。して扱うのがふつうである。本項の連続的なラプラシアンに対して、有限差分化した類似対応物。2017年1月4日閲覧。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。