数学的特徴づけ[編集]ラプラス作用素は、合同変換と可換である。(x)))}が成立する[1]。ラプラス作用素は、上記の性質を満たす非自明な微分演算子で最も簡単なものとして特徴づけることができる。これを説明する為、記号を導入する。Rを実数の集合とし、n個の実数からなる組の集合をRnとする。_{n}}と表記する。(x)))}が成立していたとする。^{m}}が成立する[1]。よってラプラス作用素は、合同変換に対して不変な微分演算子の中で、自明なもの(=恒等的に0を対応させる微分演算子)を除けば最も簡単なものである。動機付け[編集]拡散[編集]拡散の物理理論において、ラプラス作用素は(ラプラス方程式を通じて)平衡の数学的記述に自然に現れる[2]。{n}}\,dS=0}と書ける。境界に対して外側を向く単位法ベクトルである。方程式の左辺はラプラス作用素である。ラプラス作用素それ自身は拡散方程式によって記述されるような、化学濃度の流入や漏出を表す点を含む非平衡拡散に対する物理的解釈を持つ。}(1)で与えられる。これはガウスの法則の帰結である。_{V}q\,dV}になる。最初の等号は静電場は静電位の勾配に等しいという事実を用いた。同じ説明によって、重力ポテンシャルのラプラシアンが質量分布となることが導かれる。電荷や質量の分布が与えられていてそれらに付随するポテンシャルは未知ということはよくあることである。適当な境界条件の下でポテンシャル函数を求めるということは、ポワソン方程式を解くことに同じである。^{2}\,dx}となることである。境界上で消えていると仮定する。f\,dx}が成り立つ(ただし、最後の等号はグリーンの第一恒等式(英語版)を用いた)。