2019.11.17有限要素法のプログラムの自作にチャレンジするなら、「微小変形」は必ず理解しましょう。人間の感覚と合わないので内容を知らなければ苦労します。解析では常識に近い初歩的なことなので書籍やサイトなどでも説明が省略されていることが多いです。この記事では、「微小変形?なにそれ?」という方への導入として、微小変形の仮定と人の感覚の違いについて説明したいと思います。FEMなど数値解析シリーズこの記事は「FEMなど数値解析シリーズ」の記事です。一連の記事は、以下のリンク集を参照してください。2)と中央(節点1)がピン接合されているトラスがあったとします。このトラスの節点1の部分に鉛直下向きの荷重を加えるとどうなるのでしょうか。[例題1]答は現実の世界では荷重pに対して節点1が節点1’の位置に移動して釣り合います。微小変形の仮定のもとでは、荷重pに対する節点1の変位は無限大になります。2.現実の世界の剛性それでは、まず、上記の例題について現実の世界ではどのようになるか考えてみます。載荷前のトラス部材は完全に水平です。節点1の変位がないときには外力に抵抗できる部材の鉛直応力成分はなく、荷重pに対する剛性はゼロです。節点1の変位により部材に傾きθが生じると、今度は部材の軸力は鉛直成分と水平成分にわけることができるため、荷重pに対しても抵抗できるようになります。荷重pに対する剛性はθに依存し、θが大きくなるほど剛性が高くなるのです。したがって、荷重と節点変位の関係は線形(比例)ではなく非線形の関係になります。このような非線形性を幾何学的非線形といい、材料の塑性化などを要因とする材料非線形とは分けて考えます。2.微小変形の仮定における剛性ここまでの説明のとおり、物体に荷重をかけたとき、本来は物体の変形により剛性が絶えず変化します。その変化を考慮して構造物の解析を行うのは大変です。計算時間も増え、計算が発散してしまう可能性も高くなります。そこで、「解析対象の変形による剛性の変化は考慮しない」という仮定が、微小変形の仮定です。解析対象の変形が無視できるほど小さいという仮定のもとに成り立っている考え方なのです。それでは、微小変形の仮定は特殊な場合にしか使えないのかというとそうではありません。実はほとんどの計算は微小変形の仮定のもと行われています。構造力学の梁の公式も剛性は一定です。これらも全て微小変形の仮定のもと成り立っている公式であり、微小変形の仮定を外れた解析を行うことのほうが特殊です。例題を振り返ってみましょう。説明しましたが、節点1の変位がゼロの場合、外力に抵抗できる部材鉛直応力成分はなく、荷重pに対する剛性はゼロです。微小変形の仮定のもとでは、剛性は初期剛性のまま変化しませんので、どれだけ変形が進んでも荷重pに対する剛性はゼロのままなのです。変形は無限大となり不安定構造物です。このような構造物は幾何学的非線形を考慮したプログラムで解析すれば答を出すことができます。力学的に無理がある構造は不経済な断面になるため実際の構造物で採用されることないでしょう。有限要素法では、基本的に外力から節点の変位を求め、節点の変位から部材の応力を求めます。解を求めるためには力の釣り合いを考えなければなりませんが、微小変形の仮定を意識しながら考え方を整理する必要があります。それでは次に有限要素法のプログラムの中でどのようなモデル化が行われているかについて紹介したいと思います。今度は下図のようなトラスの部材aを切り出して、変形前と変形後の力の釣り合いを考えてみましょう。節点1のすぐ内側です。[例題2]切り出した部材aの変形前と変形後の力の釣り合いは下図のとおりです。上図のトラス構造物に、なんらかの外力を加えた場合の部材aについて、載荷前と載荷後の荷重と変位の状況を図示しました。変形前は荷重も節点変位もゼロの状態です。y方向の変位はδy0です。