ための数学シリーズ第2弾。前の記事でデカルト座標->極座標の変換から体積要素の積分により3次元球体の体積を導出してみました。理解に必要そうなことを少しずつ復習していきます。使って球の体積を求めてみます。次の記事で球の体積を求める時に使う微小体積がヤコビアンになることを確認します。極座標の直行座標より高次元の超球体の体積がわかると、超高次元のときに体積が超球体の表面に集中する様が論理の飛躍なく理解できるらしいので、今回は高次元の超球体の体積を導出するやつを流してみます。\(n\)次元空間において以下を満たす点の集合が半径\(r\)の\(n\)次元球体です。\(x,y,z...\)とやっていくとアルファベットが尽きるので\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)とします。r^2\end{eqnarray}この集合を全部足したものが体積になります。3次元のとき、前回の記事の通り以下のようになります。ここではデカルト座標\(x,y,z\)。極座標変換することで計算ができます。1次元球体の体積(つまり直線の長さ)は\(r\)です。実際そうで(時間がないので公式として使ってしまいます)、\(n\)次元の超球体の体積は\(r^n\)に比例します。\(Vr^n\)のようにしておきます。\(n\)次元の超球体を輪切りにすることを考えます。球をどうやって輪切りにしても断面図は真円ですので...。3次元の球体を輪切りにすると2次元の平面が現れる、というイメージです。r\)をかけて\(n\)次元の直方体を作ります。r\)を限りなくゼロに近づけることで体積要素とします。体積要素は詰まるところ輪切りですが、輪切りなのに\(n\)次元なのです。体積要素を全範囲で積分することで体積を求めます。1\)が半径1の単位球です。これを輪切りにします。\(n\)次の変数を定数にします。