二次関数の最大・最小問題は、とにかくグラフを書いて視覚的に理解していくことが大事です。ここでは主に大学入試で出題されるであろう二次関数の最大・最小問題の5つのパターンとその解き方を、例題とともに詳しく解説していきます。簡単なパターン期末テスト等であれば出される可能性のあるレベルの問題です。この問題を通して、最大・最小問題とは何かを把握していきます。次の二次関数の最大値と最小値を求めよ。$y=x^2-4x+5$・解説まずはグラフを書いてみます。持つ下に凸のグラフであることがわかります。グラフを書けば、どこが最小値でどこが最大値なのかが一発でわかりますよね。最大値はなしとなります。最大値に関しては無限に発散するので、特定の値を持たないですから、こういうとき最大値は無しと言います。値も同時に記入しておいたほうが良いです。最大値はなし」こんなふうに。作法としてそうすべき、とされているようなので。こんな感じで、二次関数の最大・最小問題はとにかくグラフを書いて視覚的に確認しながら問題を解き進めるのがよいです。次の二次関数の最大値と最小値を求めよ。(1<x≦2)$・解説まずは平方完成して$y=-2(x-3)^2+7$グラフを書いて今回の問題では定義域が与えられているので、定義域に注目してみます。最小値は無しとなります。最小値についてですが、不等号でイコールが入っていない場合でも特定の値を取ることができないので、この場合もやはり最小値は無しとなります。次の問題に参りましょう。グラフが動くパターンここから急激に面倒くさくなってきます。これくらいのレベルが実際の大学入試で出されるような問題です。センター試験ではこの手の問題がよく出てきますので、面倒ではありますが絶対にマスターしておきましょう。グラフを書けば確実に理解できます。(3≦x≦7)$・解説まずは平方完成します。どこだよ!という話になってしまい、グラフが書けません。グラフが書けないんだったらもういいよ!帰るよ!となってしまいそうですが、ちょっと待ってください。この問題で聞かれているのはあくまで最大値と最小値なんです。値そのものは別に関係ないのです。式で表せることがわかります。具体的に説明していきましょう、まずは最大値を例にして考えてみます。最大値を求めるにあたっては、頂点が定義域の中点よりも左にあるか右にあるか、の二通りで場合分けをします。いうと、定義域の中点を境にして、最大値が二通りの値を取りうるからです。・頂点が定義域の中点よりも右側にある場合→定義域の左端が最大値これをグラフで書いて確認していきます。例:頂点が定義域の中点より左にある場合このグラフの最大値に着目してください。して表すことができるんです。頭の中でグラフを移動させてイメージしてみて下さい。点であることが確認できると思います。グラフを移動させると、たしかに最大値の位置も変わります。あるという事さえ分かっていればそれで良いのです。ここまで分かれば、まずは一つ目の場合分けについて答えが出たことになります。次に、頂点が定義域の中点よりも右側にあるときを考えてみましょう。言っても改めて深く考える必要はなく、先ほどと同じようにイメージすればいいです。今度は定義域の左端が最大値になるだけです。$-6a+3$となることがわかりました。入れてもどっちに入れても良いです。代入しても同じ値になるからです。お好みの所にイコールを入れて大丈夫です。さあ、ここまでで最大値を求めることができたので、今度は最小値についてです。最小値であっても、やはりグラフを頭の中で移動させてイメージすることによって、場合分けを理解することができます。ここまでの最大値についての話が理解できていれば、最小値の求め方もすぐにわかります。最小値の場合、今度は三通りの場合分けをします。頂点が、定義域の左にあるか?中にあるか?右にあるか?の三つです。あることがわかりますね。頂点が定義域の中にあるときこの場合は最小値が常に頂点となることがわかります。あることがわかります。さあ、これで全ての最大値と最小値のパターンが求まったので、いよいよ答える準備ができました。(a>6)\end{array}\right.\end{eqnarray}$となります!お疲れさまでした。定義域が動くパターンしかし!まだまだあります!今度はなんと、定義域が動くパターン!!なんだか私もテンションが上がって参りました!ただし!!定義域が動くといっても、なんら難しいことはありません。さきほどグラフを頭の中で動かしてイメージしたように、今度は定義域を頭の中で動かせばいいのです。どっちが動いているかが違うだけであって、やることは全く一緒です。おける最大値と最小値を求めよ。二次関数の方はもう決定されていますから、なんとグラフが書けるんですね!これは親切!さっそく平方完成しましょう!!$y=(x-2)^2+2$そして間髪入れずにグラフを書く!そして定義域を頭の中で左から右へと動かしていきます。最大値からイメージしていきましょう。最大値については、やはり定義域の中点が二次関数の頂点よりも左側にある場合には、常に定義域の左端が最大値となることがわかります。$y=(a-1)^2-4(a-1)+6=a^2-6a+11$また、定義域の中点が頂点よりも右側にある場合には、今度は定義域の右端が最大値となることがわかります。最小値また、最小値についても、定義域を頭の中で左から右に動かしてイメージしていきます。すると、定義域が頂点よりも左側にある場合、最小値は常に定義域の右端であることがわかります。$y=(a+1)^2-4(a+1)+6=a^2-2a+3$そして頂点が定義域の中にある場合には、頂点が最小値。$y=2$定義域が頂点よりも右側にあれば、最小値は常に定義域の左端です。$y=(a-1)^2-4(a-1)+6=a^2-6a+11$となります。(a>3)\end{array}\right.\end{eqnarray}$これで完成!では最後に次の問題を。次の関数の最小値を求めよ。$y=x^4-2x^2-3$・解説まさかの四次式ですが、しかし焦らなくても大丈夫です。四次式ではあるものの、なんとなく二次関数っぽいですよね。何らかの形で置き換えて二次関数に持っていけばいいのです。置き換えてみましょう。別の文字で置き換えて、自分で二次関数に持っていくのです。ここまでくればあとは簡単に解けるでしょう。一つ注意点があります。置き換えてみましたが、こういう風に自分で変数を定義する時は、解答中でしっかりそれを宣言する必要があるのです。例として実際のテストの答案っぽく答えを書いていきます。3$よってグラフは次の通り。