05:12:38)追加された行はこの色です。削除された行はこの色です。[#z46d8847]#divid(s,thorem)[定義]整数係数の多項式の係数の[[最大公約数]]が1のとき、その多項式を''原始多項式''という。[定義][[整数]]係数の[[多項式]]の係数の[[最大公約数]]が1のとき、その多項式を''原始多項式''という。#divid(e,thorem)#divid(s,thorem)[定理]整数係数の多項式は係数の最大公約数をくくり出すことで、次のように表すことができる。~(整数係数の多項式)=(整数)×(原始多項式)#divid(e,thorem)#divid(s,thorem)[定理]「原始多項式である」⇔「任意の素数pを法としてみたときに0ではない」#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]原始多項式には、任意の素数pについてpで割り切れない係数が少なくとも1つある。逆に、ある素数pについてpで割り切れない係数が少なくとも1つあれば、係数の最大公約数はその素数を因数に持てない。したがって、原始多項式であるためには、任意の素数pを法としてみたときに0ではないことが必要十分である。□#divid(e,proof)#divid(s,thorem)[定理]原始多項式の積は原始多項式である。'''有理数'''係数の多項式が与えられたら、その係数を分数で表して係数の共通分母をくくり出し、さらに係数の最大公約数をくくり出すと、次のように表すことができる。'''[[有理数]]'''係数の多項式が与えられたら、その係数を分数で表して係数の共通分母をくくり出し、さらに係数の最大公約数をくくり出すと、次のように表すことができる。('''有理数'''係数の多項式)=('''有理数''')×(原始多項式)#divid(s,thorem)[定理]'''整数'''係数の多項式を次のように表すと、右辺の有理数は整数である。~('''整数'''係数の多項式)=('''有理数''')×(原始多項式)#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]f(X)を整数係数の多項式、f(X)の係数の最大公約数をcとする。既約分数a/bと原始多項式g(X)によって、次が得られる。g(X)");係数の最大公約数は、左辺と右辺でそれぞれbc,aである。したがって、a=bcとa/bが既約分数であることからb=1となる。[#x53918e3]#divid(s,thorem)[定理](ガウスの補題)~整数係数の[[既約多項式]]は有理数係数でも既約である。#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]整数係数の多項式が有理数係数で既約でないと仮定する。~すると、次のように変形することができる。(∵[定理]「原始多項式の積は原始多項式である」)また、[定理]「整数係数の多項式を次のように表すと、右辺の有理数は整数である。~(整数係数の多項式)=(有理数)×(原始多項式)」より、既約分数は整数でなければならない。よって、整数係数で因数分解できる。~したがって、「有理数係数で既約でない⇒整数係数で既約でない」が成り立つ。この結論の対偶を取ると、「整数係数で既約⇒有理数係数で既約」が成り立つ。~これは題意そのものである。p");はQ係数で既約である。したがって、Q係数の多項式で既約なものがすべての次数において無限個存在する。1");がQ係数で既約になる必要十分条件は、m+1が素数になることである。#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明][1]←を示す。1");とおくと、次のように変形できる。t^{i-1}");ここで、得られた式をg(t)とする。m+1が素数であるという仮定より、次が成り立つ。-g(t)の0,1,...,m-1次の係数はすべてm+1で割り切れる。-最高次の係数が1なので、m+1で割り切れない。-定数項がm+1なので、定数項はm+1で割り切れるが、(m+1)SUP{2};で割り切れない。以上より、アイゼンシュタインの既約性判定法の3条件を満たすので、g(t)が既約であることがわかる。~以上より、[[アイゼンシュタインの既約性判定法:http://akademeia.info/index.php?%B4%FB%CC%F3%C2%BF%B9%E0%BC%B0#y74acae1]]の3条件を満たすので、g(t)が既約であることがわかる。~つまり、f(X)も既約である。←(**)一方、(*)より、次が成り立つ。←(***)(**)(***)より、次が成り立つ。+1)");~このようにf(X)の因数が見つかるので、f(X)は既約ではない。よって、「m+1が素数ではない⇒f(X)は既約ではない」という結論が得られた。~つまり、対偶を取ると、「f(X)が既約である⇒m+1は素数である」が成り立つ。[#c15b185e]-。