\|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}は上記の円の方程式である。)}と媒介表示できる。通る半直線が、始線(x-軸の正の部分)に対してなす角の角度と解釈できる。{2t}{1+t^{2}}}\end{cases}}}と与えられる。x-軸に平行な直線に関する立体射影として解釈できる。任意の実数のみならず無限遠点においても意味を持つが、その一方で円の最も下にある一点は表せないので除かなければならない。{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}という形に表すことができる。座標系として、直交座標系の代わりに極座標系を用いれば、円の方程式の極座標表示が作れる。任意と表されるのであった)。等しいときはそうである。用いれば、平面上の円は複素数を用いても記述できる。|z-c|=r}と書ける。これは本質的に円のベクトル方程式と同じものである(複素数平面における複素数の加法および実数倍は、成分表示された平面ベクトルの加法および実数倍と同一であり、複素数の絶対値はユークリッドノルムと同一視できる)。同値であることがわかる(これは上記の媒介変数表示に対応する)。{c}},\,q:=r^{2}-|c|^{2}})。この形の方程式は、円だけでなく一般には一般化された円(英語版)を表すものである(一般化された円とは、通常の円となるか、さもなくば直線である)。極方程式も極形式を用いれば複素数で記述できる。通る直径に垂直である。形をしていなければならない。(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}の形に書ける。{x_{1}-a}{y_{1}-b}}}であるが、これを陰函数微分法を用いて求めることもできる。{x_{1}}{y_{1}}}}である。{dy}}=0は微分形の円の方程式である。三角形や円に関する事柄を扱う幾何学(相似や面積を用いない)は円論と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。平面幾何学らしい幾何学とも呼ばれる。三角形のそれぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足(3つ)辺の中点(3つ)頂点と垂心を結んだ線分の中点(3つ)は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。