異なる自然数は異なる後者を持つ。前の自然数は存在しない)。その性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。最後の公理は、数学的帰納法を正当化するものである。すべての自然数が作り出されることを意味している。ペアノの原典においては上とは少し違った形式で公理系が述べられており、ペアノ自身は自然数そのものを定義しようとしたわけではなかった。集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。合併集合として定義される。部分集合の共通部分」として定義される。存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。個の元を含むことになる。部分集合であることは同値である。以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。最小値の定義が無限に選べるからである。{{{{}}}}と非常に単純な自然数になる。}のような多少複雑な自然数になる。自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。加法が定義されたならば、自然数の乗法は再帰的に、以下のように定義できる。対する演算結果を定義する、と言う形式になっている。あわせることで、あらゆる自然数に対する演算結果が一意に得られることになる(数学的帰納法)。単位元とする可換モノイドになっている。単位元とする可換モノイドになっている。加法と乗法は以下の法則を満たす。c)以上の法則は加法、乗法の定義から数学的帰納法を用いて証明できる。略記され、乗法は加法より先に計算される。書いて自然数に対する全順序を定義する。この順序は自然数の演算に対して次の性質を満たす。bc順序に関して自然数が持つ重要な性質の一つは、それが整列集合であるということ、つまり自然数を要素とする空でない任意の集合は必ず最小元を持つということである。除法編集ある自然数を他の自然数で割った結果を自然数として得ることは一般には可能でないが、余りつきの除法は可能である。任意の組み合わせに対して、一意に決まる。この除法は他のいくつかの性質(整除性)、アルゴリズム(ユークリッドの互除法など)、数論におけるアイデアにおいて鍵となる。以外の)自然数を素数という。小さい方から列挙すると次の通りである。あるような素数の組のこと。自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。...偶数の完全数はメルセンヌ数と深い関係がある。知られている完全数は全て偶数であり、奇数の完全数はないと予想されている。無限に存在するとも予想しているが、両者とも未解決である。類似の概念に、友愛数、社交数などがある。99斜体で表した数は素数である。体系と歴史』朝倉書店、2002年1月20日。4-254-11088-X。978-4-535-78697-4。(青版)815〉、1972年3月25日。4-00-416001-4。(黄版)43〉、1978年4月20日。4-00-420043-1。訳、早川書房、2003年10月。4-15-208524-X。〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2009年5月8日。978-4-15-050349-9。2008年12月(原著1971年3月30日)。978-4-535-60106-2。2008年に復刊された。1996年12月10日、復刻版、234-274頁。4-320-01551-7。高木貞治『数の概念』岩波書店、1970年9月19日(原著1949年8月20日)、改版。4-00-005153-9。1961年11月16日。4-00-339241-8。Science〉、2013年7月10日。978-4-480-09547-3。「数とは何かそして何であるべきか?」・「連続性と無理数」を収録。編、勁草書房〈フレーゲ著作集3〉、2000年9月20日。4-326-14822-5。2〉、1969年8月20日。4-320-01155-4。訳、東京図書、1997年10月(原著1962-1963)。4-489-00529-6。〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2003年9月26日。978-4-15-050283-6。〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2003年10月17日。978-4-15-050284-3。〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2003年11月19日。978-4-15-050285-0。マイナスかけるマイナスはなぜプラスか?』講談社〈ブルーバックス1397〉、2002年12月20日。4-06-257397-0。全13巻の最初の邦訳。(ハードカバー)1971年7月。4-320-01072-8(縮刷版)1996年6月。4-320-01513-4(追補版)2011年5月。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。