infinitesimal)は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である。無限小に関して実証的に観察されることは、それらが定量的にいくら小さかろうと、角度や傾きといったある種の性質はそのまま有効であることである[1]。infinitesimus(もともとは列の「無限番目」の項を意味する言葉)に由来し、これを導入したのは恐らく1670年ごろ、メルカトルかライプニッツである[2]。無限小はライプニッツが連続の法則(英語版)や同質性の超限法則(英語版)などをもとに展開した無限小解析における基本的な材料である。ある言い方では、無限小対象とは「可能な如何なる測度よりも小さいが零でない対象である」とか「如何なる適当な意味においても零と区別することができないほど極めて小さい」などと説明される。故に形容(動)詞的に「無限小」を用いるときには、それは「極めて小さい」という意味である。このような量が意味を持たせるために、通常は同じ文脈における他の無限小対象と比較をすること(例えば微分商)が求められる。無限個の無限小を足し合わせることで積分が与えられる。Theorems(英語版)(『方法』)において不可分の方法と呼ばれる手法を応分に用いて領域の面積や立体の体積を求めた[3]。正式に出版された論文では、アルキメデスは同じ問題を取り尽くし法を用いて証明している。15世紀にはニコラウス・クザーヌスの業績として(17世紀にはケプラーがより詳しく調べているが)、特に円を無限個の辺を持つ多角形と見做して円の面積を計算する方法が見受けられる。16世紀における、任意の実数の十進表示に関するシモン・ステヴィンの業績によって、実連続体を考える下地はすでにでき上がっていた。カヴァリエリの不可分の方法は、過去の数学者たちの結果を拡張することに繋がった。量に分解することと関係がある。ジョン・ウォリスの無限小は不可分とは異なり、図形をもとの図形と同じ次元の無限に細い構成要素に分解するものとして、積分法の一般手法の下地を作り上げた。1]や同質性の超限法則(英語版)(割り当て不能な量を含む式に対して、それを割り当て可能な量のみからなる式で置き換える具体的な指針)というような、経験則的な原理に基づくものであった。18世紀にはレオンハルト・オイラーやジョゼフ=ルイ・ラグランジュらの数学者たちによって無限小は日常的に使用されていた。ともディラックのデルタ函数の前身的なものとも定義した。関する一連の論文を著した。デュ・ボア=レーモンの業績は、エミール・ボレルとトアルフ・スコーレムの両者に示唆を与えた。ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア=レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された(ロビンソンは1948年にエドウィン・ヒューイット(英語版)が、および1955年にイェジー・ウォッシュ(英語版)が成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した)。無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、移行原理(英語版)がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。実数の体系に無限大量および無限小量を加えた拡張を考えるとき、典型的には実数の持つ「基本」性質をできうる限り保存するものであって欲しいはずである。すれば、実数に関してよく知られた膨大な結果が、拡張した体系においてもそのまま使える保証が得られるからである。典型的には「基本」というのを、「元に関する量化だけを行い、集合に対する量化は行わない」命題という意味にとる。成り立つ」という主張は有効な文である。成り立つ」も有効である。対して—」という主張は拡張した体系に引き写すことはできない。このような量化に関する制限を伴う論理を一階論理と呼ぶ。無限小を含むように拡張した数体系は、集合に関する量化によって表される性質の全てにおいて実数と同じ結果を示すものであってはならない。目的の体系は非アルキメデス的であるが、アルキメデスの公理は集合に関する量化によって表されるからである。いった主張からなる可算無限個の公理を付け加えることである。同様に、完備性も目的の体系では期待できない。実数体は同型を除いて一意な完備順序体だからである。実数の一階の性質と両立する性質を持つような非アルキメデス的数体系について、次の三つのレベルを区別することができる:順序体は一階論理で述べられる実数体系の全ての通常の公理に従う。全ての性質を共有するわけではない。非零数の平方の和は非零であること(実体の公理)は言えるが、奇数次多項式が必ず根を持つことは言えない。含むような主張について、実数体系の持つ全ての一階の性質を持つ。完全であるという事実に負う。)これは順序体の公理をすべて満足するという主張よりも強い条件である。いえば、「任意の奇数次多項式が根を持つ」というような一階の性質が追加で含まれる。この体系においては、例えば任意の数が立方根を持たねばならない。表される必要はない)を含む主張についても、実数体系の持つ全ての一階の性質を持つ。無限大の入力に対しても矛盾なく定まるような正弦函数があるのでなければならない。同じことはどんな実関数に対しても言える。属する体系(これらレベルのうち弱い側の場合)は構成することは比較的容易だが、ニュートンやライプニッツの精神に則って無限小を用いる古典的な解析学を完全に展開することはできない。超越函数は無限大の極限過程の言葉で以て定義されるので、これは典型的には一階論理の中で定義できない。当てはまれば、解析的な色彩は濃くなるが、その扱いの構成的な性格が損なわれていく傾向があり、無限大や無限小の成す階層構造について何か具体的なことを言いづらくなってしまう。例として、有限個の負冪の項を持つローラン級数の体がある。なる級数をもっとも単純な無限小と看做して、それをもとに他の無限小が構成される。考えることに等価である。テイラー級数にローラン級数を代入したものはやはりローラン級数だから、この体系は超越函数の計算にそれが解析的である限りにおいて用いることができる。この体系における無限小の全体は実数とは異なる一階の性質を持つ。この体系において平方根を持たない。レヴィ-チヴィタ体レヴィ-チヴィタ体はローラン級数体とよく似た体系だが、代数閉体を成す。(英語版)体はレヴィ-チヴィタ体よりも大きい[7]。}e^{x}x^{-j}}が挙げられる。「無限大」と解釈されるようにする。この体系は数の大きさの違いに関して可能な限り豊かであるように意図されているが、解析学を行うのに必ずしも適してはいない。対数函数や指数函数など特定の超越函数は超現実数の上でも定義することができるが、ほとんどの函数(例えば正弦函数)は持ち込むことができない。個別に取った任意の超現実数の存在は、それが実数と直接的に対応するものであってさえも、アプリオリには知ることができず、証明しなければならない。該当し、実数に基づく古典的な解析学の全てをその上で展開できるよう意図して作られた。この「任意の関係を自然な方法でこの体系に引き写すことができる」という性質は移行原理(英語版)と呼ばれ、1955年にイェジー・ウォシュ(英語版)が証明した。