したがって、解は古典力学と同じ結果である。ここで用いたハミルトニアンは量子力学でも使用する。x}}}と演算子で書く(正準量子化)。{1}{2}}kx^{2}\right]}となる。1次元の量子的な調和振動子についての時間依存しないシュレーディンガー方程式は、以下のように書ける。使って以下のように表される。規格化定数で次式で与えられる。\left(-x^{2}\right)}で定義される。H_{2}=4x^{2}+2}である。エネルギー固有値は次のようになる。いう均等な間隔で並ぶ。零点エネルギーと呼ばれる。高次元の調和振動子[編集]以上は一次元調和振動子の場合であるが、2次元、3次元も同様に解ける。3次元の場合、エネルギー固有値は次のようになる。これは縮退が見られなかった一次元の場合とは明らかに異なる。生成消滅演算子[編集]調和振動子の扱い方としては、上述の正準変数を用いた方法の他に、生成消滅演算子で書きなおして考える方法がある。以下のような演算子を定義する。生成演算子これを使うと、上述のシュレディンガー方程式は次のように書きなおせる。}1/2の項が出るのは演算子に微分が含まれているためである。