特別な場合について証明を与えたヨハン・ラドン(英語版)と、1930年に一般の場合の証明を与えたオットー・ニコディム(英語版)に由来する[1]。1936年にハンス・フロイデンタールは、この定理を特別な場合として含む、リース空間での一結果であるフロイデンタールのスペクトル定理を証明することによって、その結果の更なる一般化に成功した[2]。ラドン=ニコディム性を備えると言われる。全てのヒルベルト空間はラドン=ニコディム性を備えている。μ-零集合の違いを除いて一意である。表記され、ラドン=ニコディム微分と呼ばれる。この表記と呼称は、この函数がある測度の別の測度に関する密度の変化率を表しているという意味で微分積分学における微分の類似物となっていることに由来する。同様の定理は、符号付複素測度に対しても証明することが出来る。.}応用[編集]この定理は確率論におけるアイデアを、実数上で定義される確率質量および確率密度から、任意の集合上で定義される確率測度へと拡張する上で非常に重要となる。このことは、ある確率測度を別のものへ変化させることが可能か、また可能であればどのようにできるか、という事実を示唆している。ラドン=ニコディム微分となる。それは例えば、確率測度の条件付期待値の存在を示す際に利用することができるが、これ自体が確率論における重要概念であり、条件付き確率はその特殊例に過ぎない。その他の分野では、数理ファイナンスにおいてこの定理は広く用いられている。行う上での基本であり、実際の確率をリスク中立確率に転換する上で用いられる。関して絶対連続)であるなら、次が成り立つ。あるなら、次が成り立つ。あるなら、次が成り立つ。μ-可積分函数であるなら、次が成り立つ。有限の符号付測度あるいは複素測度であるなら、次が成り立つ。カルバック・ライブラー情報量は、次で定義される。レニーダイバージェンス(英語版)は、次で定義される。σ-有限であると仮定されていた。σ-有限でないときにはラドン=ニコディムの定理が成立しないことを示す。実数直線上のボレル完全加法族を考える。測度であることは確かめることが出来る。このボレル加法族上の通常のルベーグ測度とする。関して絶対連続である。ゼロとなるからである。ラドン=ニコディムの定理が成立するものと仮定する。}がすべてのボレル集合について成立するものとする。ゼロであることを意味し、矛盾である。証明[編集]この節では、ラドン=ニコディムの定理の測度論的な証明を紹介する。ヒルベルト空間の手法を使った函数解析的な証明も、ジョン・フォン・ノイマンによって与えられている。単調収束定理の下で、そのようなすべての函数の上限はラドン=ニコディム微分を与える。関して特異的であることが従う。対しても自然な形で拡張される。詳細は下記の通りである。いずれも有限値の非負測度である場合を考える。