integral)は、いくつかある函数の積分法の定義のうちの一つで、リーマン積分を一般化したものであり、場合によってはルベーグ積分よりも有用なものとなりうる。この積分を初めて定義したのはダンジョワ(英語版)で1912年のことである。{1}{x^{3}}}\right)}のような函数を積分することができるような、積分法の定義に興味を持っていた。するのは自然に思われる。一般論を形成するためにダンジョワは可能な全ての種類の特異点に対する超限帰納法を用いたが、そのことで定義は極めて込み入ったものになってしまった。これに代わる別の定義を与えたのはルジン(英語版)(絶対連続性(英語版)の概念の一種を用いた)およびペロン(英語版)(連続な優函数と劣函数に着目した)であった。ペロン積分とダンジョワ積分が実際には同じものであることが分かるのはしばらくしてからのことである。後の1957年に、チェコの数学者クルツヴァイル(英語版)は、ゲージ積分と呼ばれるリーマンによる元々の定義ときれいにそっくりな新しい積分の定義を発見し、その理論はヘンストック(英語版)によって研究が進められた。この二人の数学者の大きな貢献に因み、現在ではその積分はヘンストック=クルツヴァイル積分として広く認知されている。クルツヴァイルの定義の簡潔さから、微分積分学の入門的講義ではリーマン積分の代わりにこちらを用いるべきとする教育者もあるが、傍流である。外部リンク定義[編集]ヘンストックによる定義は以下のようなものである。(t_{i})}を満たすことである。_{i=1}^{n}(u_{i}{-}u_{i-1})f(t_{i})}を定義することができる。}が成り立つという条件によって定義することができる。おいてヘンストック=クルツヴァイル積分可能あるいはゲージ積分可能であるという(紛れの恐れがないときは単に可積分であるという)。存在しないために上記の条件が真になること)とはなり得ない。リーマン積分はこの文脈で定数ゲージのみを用いた特別の場合として見ることができる。_{c}^{b}f(x)\,dx}が成立する。_{a}^{b}g(x)\,dx}が成り立つ。積分値はいづれの積分の意味でとっても一致する。_{a}^{c}f(x)\,dx}が等式のいづれかの辺が存在する限り成立すること(およびこれと対称に、下の限界についての上からの極限をとったものも成り立つこと)を述べるものである。狭義ヘンストック=クルツヴァイル可積分であることを意味する。{\sin(1/x)}{x}}\,dx}のような広義リーマン積分またはルベーグ積分はそのままヘンストック=クルツヴァイル積分にもなっているのである。_{a}^{b}f(x)\,dx}のような無限区間に対する意味で広義のヘンストック=クルツヴァイル積分を考えることには意味がある。かなりの種類の函数については、ヘンストック=クルツヴァイル積分がルベーグ積分よりも一般(より多くの函数を積分できる)というわけではない。有界函数ならば、次の条件はどれも同値になる。ヘンストック=クルツヴァイル可積分である。ルベーグ可積分である。ともにヘンストック=クルツヴァイル可積分となることである。ルベーグ積分と看做すことができることを意味する。できるとしたもの)を持たすことが導かれる。ルベーグ可積分である必要はないことに注意)。_{a}^{x}F'(t)\,dt.}がより簡潔でより十分な形で得られたことになる。逆に、ルベーグの微分定理はヘンストック=クルツヴァイル積分に関しても成立する。殆ど至る所微分可能である)。3]が入り、このノルムに関して樽型かつ非完備になる。マクシェイン積分[編集]興味深いことに、直線上のルベーグ積分を同様なやり方で再定義することができる。(t_{i})}(t_{i})}が得られる(この変更の結果として得られるマクシェイン積分はルベーグ積分と同値になる)。つづりを英語読みしてカーツウェイルとも。三井鉱山が三井三池炭鉱をロックアウト。