選好関係がこれら2つの公理を満たすならば、選択肢が何個あろうともそれが有限個である限り、最も良い選択肢(1個とは限らない)を選ぶことができる。その意味でこのような選好関係は「合理性」を持つと言える。満たすことが公正な選挙制度にとって不可欠であるとした。社会的選好関数は複数の投票者の意志を反映しなければならない。誰か1人の意志を模倣するだけに留まることはできない。個人の選好を組み合わせた如何なる集合に対しても、社会的選好関数は社会的選択の一意で完備な順序付けを出力せねばならない。従って、社会的に完備な選好の順序付けを出力できねばならず、投票者の選好が同一である場合は、同一の結果を決定論的に出すことができなければならない。かかわる社会的選好が、それら2つの選択肢に関する個人の選好のみで決まること。(ある特定の部分集合の外にあるもの)について変化したとしても、元の部分集合に関する社会的選好が影響されないこと。これは例えば、候補者が2人である選挙に第3の候補が追加されたとしても、その第3の候補者が勝つ場合を除いて選挙結果が影響されないことである。望ましい」となること。なる)なお、以上の4条件は1963年に発表された第2版に基づく。1952年の初版では、パレート効率性に代えて次の2つの条件が挙げられており、計5条件とされていた。単調性(英語版)(社会と個人の価値観の正相関):もし何れかの個人がある選択肢の評価を上げて選好順位を変えたなら、社会的選好順位も同じ選択肢の順位を上げるかまたは変化なしとなり、順位を却って下げる結果にはならないこと。如何なる個人も選択肢の評価を「上げる」ことで却って損ねることはできないこと。非賦課性(主権在民):可能な全ての社会的選好順位は、何らかの個人的な選考順位に対応すること。これは社会的厚生関数が全射であることを意味する。値空間の大きさは無制限である。IIA、の3つを合わせればパレート効率性が導かれるが、パレート効率性(それ自体が非賦課性を持つ)とIIAを合わせても単調性は導かれない。アローの定理とは、2人以上の投票者と3つ以上の選択肢があるとき、上述した社会的選好に関する2つの公理と公正な選挙のための4つの条件をすべて満たす社会厚生関数は存在しないことを示した定理である。公正な選挙が満たすべきと考えられる4条件とが互いに矛盾することを示した。主張に単純化されて理解されることもあった。意思」といった主張に疑いを投げかけたことは間違いない[7]。この定理が持つ否定的含意から、「アローの不可能性定理」と呼ばれるのが一般的となった。定理の解釈[編集]アローの定理は数学的な結果だが、これはよく数学的とは言えない表現で人口に膾炙してきた。「公正な選挙制度は存在しない」「全ての順位選好方式には欠陥がある」「唯一欠陥のない投票制度とは独裁制である」などである[8]。これらはアローの定理を単純化したものであり、一般には正しいとは考えられていない。アローの定理が実際に述べているのは、決定的な選好投票制度――つまり、選好順位が投票に唯一関わる情報であって、かつ、全ての投票の組み合わせがそれぞれ一意の結果をもたらす場合――においては、上記の条件を全て同時に満たすことは出来ないということである。様々な研究者がこのパラドックスを逃れる手段としてIIA条件を弱めることを提案してきた。順位選好方式の研究者の間にはIIAが不必要に強い基準だと強固に主張する向きがある。この基準は殆どの実用的な選挙制度で満足されていない。この立場を採る論者によれば、元のIIA基準が欠陥含みであることは循環選好の可能性から明らかだと言う。Bと投票すると、2つの選択肢の間を取り出した多数票は、AはBに勝ち、BはCに勝ち、CはAに勝つことから、3すくみの関係になっている。この状況では、「多数票を得た候補が選挙に勝つ」という極めて基本的な多数決の要件を満たすような集計ルールは、社会的選好が推移的(または非循環的)でなければならないとすると、IIA基準を満足できない。Aは1票)、BはCに勝ち、CはAに勝つので循環が生じる。これは社会的選好が推移的であるとする仮定に矛盾する。任意のゲームには効率的な均衡が存在するとは限らないので、これは不本意な結果と見ることもできる。票は投じたものの本来誰1人として望んでいなかったような結果が出てしまう場合がある。その他の可能性の探求[編集]社会的選択理論では、アローの定理の否定的結論から逃れることを試みて、多くの研究が行われてきた。その他の種類のルールを考察するもの、に分類して採り上げる。選好プロファイルから選択肢などへの関数を扱うもの、が含まれる。この2つのアプローチは重複することも多いので、ここではそれらを同時に扱う。このアプローチの特徴は、アローが課した条件を外したり緩めたり他のもので置き換えたりして可能性を探ることにある。Sondermann,1972[9])。そのような集計ルールは超フィルターと呼ばれる極めて非構成的な数学的存在に依拠するため、実用上の意味は薄い。そのような集計ルールの背後には「見えざる独裁者」が存在すると述べている[9]。