†がルジャンドル記号を意味するのか、単に分数を意味するのを区別するために、ルジャンドル記号を次の記号に置き換える。対して、次のように定義する。ルジャンドル記号の定義より、次が成り立つことは明らかである。「集合Aは元aを含まない」を意味する。このとき、ガウスの和であるSを次のように定義する。[定義]ガウスの和ここで、ζは1の原始n乗根とする(ただし、n=pする)。[例]具体的な数値例として、p=7の場合のガウスの和を調べてみる。◇[定理]最後の式変形でΣの添え字がkからhに変わっていることに注意。†ガウスの和の定義は一見複雑そうに見えるが、2乗するととてもシンプルな形になる。これはルジャンドル記号で考えても矛盾しないから問題ない。すると、Sは次のように書ける(Σの始点に注目)。←(*1)(*1)より、S2は次のように書ける。←(*2)ここで、Σが影響する括弧内に注目する。注目すると、次のように変形できる。このことより、(*2)は次のように書ける。□この定理から次の系がすぐに成り立つ。整数なので、S2は整数である。かけると、S2さえも消えてしまう。整数なので、S2は整数である。かけると、次が成り立つ。pは素数なので、p-1は偶数。よって、-1を偶数乗すると1である。†さらに、ガウスの和とルジャンドルの記号が直接関係する次の性質が成り立つ。合同式であることに注意して欲しい。[定理][証明]pを(q-1)/2乗した結果は、式変形していくと次のようになる。」)←(*)qは奇数ならば、q-1は偶数である。q-1=2kとすれば、Sq-1=(S2)k=(整数)k=整数である。よって、(p/q)は次のように変形できる。□ここでの目標は平方剰余の相互法則が成り立つことを示すことなので、上記の定理と(合同式版の)平方剰余の相互法則を比較すると、次の命題が成り立つことが示されればよい。実際にこの命題が成り立つことを証明する。[定理][証明]右辺のルジャンドル記号は写像λpを使って書き直すと、次のようになる。a0=0とする(矛盾しない)。成り立つことが知られている。この式においてp=q,n=pとし、文字Xiにai-1を代入すると次が成り立つ。この理由は次の通りである。とおくと、複素数akは多項式bkXkの文字Xにζを代入した値である。文字Xにζを入れた値、即ちg(ζ)と一致する。次のように展開できる。(∵λp([k])=±1∧q:奇数)(∵λpの準同型性∧λp([q]2)=1)よって、(*2)は次のように展開できる。(*2)(∵Sの定義)よって、(*1)と比べて次が成り立つ。←(*3)ここで、S2:整数∧q+1:偶数より、Sq+1:整数である。(*3)の左辺の分子は整数である。よって、(3)の左辺は有理数である。どちらも環Z[ζ]の元なので、乗算した結果である(*3)の右辺はZ[ζ]の元である(演算は閉じているから)。よって、(*3)の左辺も整数のはずである。「環Z[ζ]に含まれる有理数は整数である」(Z=Q∩Z[ζ])が成り立つことが知られているからである。=(pの倍数)より、(q,S2)=1である。