2010※ここで解説しているお天気推移モデルはオリジナルなものですので、数値・計算等にミスがある可能性が否めませんので、もし間違いを見かけた方は優しく教えていただけると助かります。お天気推移モデルで理解するマルコフ連鎖モンテカルロ法。2状態離散モデルの解説を中心に、メトロポリス法の解説まで行った。次は連続モデルや熱浴法・メトロポリスヘイスティング法の解説資料も作成したい⇒完成。以下のLINKを参照下さい。ご注意本資料は個人的な勉強会のために作成したものです。本情報の内容については万全を期しておりますが、その内容を保証するものではありません。これらの情報によって生じたいかなる損害についても、情報提供者は一切の責任を負いません。本資料における意見、見解等はすべて筆者の個人的なものであり、筆者の属する組織の意見、見解等ではないことをあらかじめご了承ください。1個前の状態だけによって次の状態が決まる連鎖(高校数学でいう数列の所にあった漸化式)。明日の株価は1年前の株価もおとといの株価も関係なくて、今日の株価だけから決まるということ。小難しく書くと(理解しなくてOK)となる。言ってる事は上と全く同じ。■【モンテカルロ法】モンテカルロ法とはシミュレーションや数値計算を乱数を用いて行なう手法の総称。なんで、サイコロを振ってシミュレーションしてもモンテカルロ法になる。(行列の対角化を使用してもOK)数列でいう初項であるt=0(今日)のお天気確率を何でもいいのだけれどもあらかじめ以下のように指定する。お天気推移モデルの満たすべき漸化式を解くー2■センター試験を思い出して解いてみると・・・として、解くことができる。ここでtを無限大に持っていくと、-1/6の絶対値は1よりも小さいのでt乗の項が消えてtに依存しない定数だけが残る。これがマルコフ連鎖の大事な大事な性質である不変分布への収束というものである。お天気推移モデルの満たすべき漸化式を解くー3さらに、この不変分布を先ほどの漸化式の右辺に突っ込んでみると...となる。従って、不変分布はという式を満たす分布ともいうことができる。マルコフ連鎖を作るとは何か?■お天気推移モデルに従って天気を何日も推移させて、日々のお天気推移を記録した配列を得ること■発想としてはスゴロクとほぼ同じ。■今いるマスの天気をメモして、日付を一日更新。スゴロクの結果を表にしてみました■10日でおしまいにしたお天気推移モデルスゴロクをN回やってみると、例えば以下のような結果が得られる。実際の数値計算では・・・実際にマルコフ連鎖モンテカル法を使って乱数を生成するときには、N=1としておしまいの日付であるTを大きくした計算をすることが多いです。不変分布に到達してない部分を捨てて、残りの部分を不変分布からのサンプルだとします。(さきほどのスゴロクアルゴリズムを実装したもの。#サンプリング."晴"が4/7の確率で出るようにしている。不変分布からのサンプリングの実装-3■2通りのやり方でお天気推移モデルからのサンプリングをした。どちらも(確率分布としての)不変分布に従ったサンプリングとなっている■1のやり方を一般化すると逆変換法という乱数生成手法になる(機会があれば別資料で。)■2のやり方では、お天気推移モデルをスゴロクアルゴリズムそのまんまを使ってサンプリングした。↑詳細釣り合いの条件で消える確かに不変分布が満たすべき式を満たしている。推移確率決定の指針~詳細釣り合いの条件3~■一般の場合、x、xをある状態(お天気の数がたくさん、つまり晴,雨,雪,台風...みたいに増えたとして、そのどれかがx,xに対応)とし、Π_x→xを状態xからxへの推移確率(=お天気の推移確率)、Pr{x}を不変分布において状態xが起こる確率だとすると■詳細釣り合いの条件はと書ける。推移確率決定の指針~詳細釣り合いの条件4~■詳細釣り合いの条件を満たせば不変分布になる事の証明(あるxについて成立することを示す。推移確率■未知数2つ(推移確率)に式1本(詳細釣り合いの条件)なんで、推移確率が一意に決まらない決め方にも種類が色々。ここではメトロポリス法だけ紹介。メトロポリス法でお天気推移モデルー1■メトロポリス法による推移確率の決め方(不変分布の比を計算する。そのため7はキャンセルされる。これがとてもありがたい性質で不変分布は規格化しておく必要がないことを意味する。メトロポリス法(一般の場合)ー1■一般の場合、x、xをある状態ベクトル(x,xにはお天気が入ると考える。2状態ではなく晴,雨,雪,台風...みたいにたくさんあると考える)とし、Π_x→xを状態xからxへの推移確率(=お天気の推移確率)、Pr{x}を不変分布において状態xが起こる確率だとすると■メトロポリス法はと書ける。メトロポリス法(一般の場合)ー5■ここでは次の推移先候補を単純に一様乱数で決める(推移候補先のお天気がみんな等しい確率で出現)。メトロポリス法(一般の場合)ー6■推移確率を1/2しても詳細釣り合いの条件は両辺1/2倍されただけなのでちゃんと成立※ちなみに晴・雨だけの2状態モデルの時は推移先が1個しかないのでこの問題は生じなかった。・現在の状態から(ランダムに)変化させた新しい候補点を生成というステップが入っていると思うが、それこそまさにここでいう”次の推移先候補”を決定する過程。その過程をメトロポリス法による推移の過程と分離して記述しているのが通例のよう。まとめ-2■マルコフ連鎖モンテカルロ法では欲しい確率分布がマルコフ連鎖の不変分布となるように(お天気の)推移確率を調整する■その1調整手段が詳細釣り合いの条件。tousAnnulerEnregistrer。