同様のユークリッド除法が定義される整域はユークリッド整域と呼ばれる。ユークリッド整域において最大公約数の計算に利用できるユークリッドの互除法が定義できるが、それが因数分解アルゴリズムの存在を意味しないことには注意すべきである。代数的整数論において、ディオファントス方程式の研究の過程で19世紀の数学者は整数を一般化するものとしての代数的整数を導入した。初期に知られた代数的整数環はガウス整数環やアイゼンシュタイン整数環で、これらは通常の整数の場合と同じくPID(したがってUFD)であった。事はそう都合よくはいかず、すぐにほとんどの代数的整数環がPIDでもUFDでもないことが判明する。{-5}})}は二通りの既約元分解である。このように分解の一意性が成り立たないことはディオファントス方程式の解法にとって大きな困難をもたらすものであった。フェルマーの最終定理に対するかなり多く誤った証明が分解の一意性を暗に仮定したことによる誤りを犯していたのである(「真に驚くべき証明を発見したが、この余白はそれを記すには狭すぎる」と書き残したことで知られるピエール・ド・フェルマーもおそらく例外ではあるまい)。この困難を解決したのはリヒャルト・デーデキントで、それは任意の代数的整数環がイデアルの一意な準素分解を持つという形に述べられる。これらの環において、任意のイデアルは準素イデアルの積として表され、その分解は因子の順番を除いて一意である。イデアルに関するこの一意分解性質を持つ整域は、こんにちデデキント整域と呼ばれている。デデキント整域は、それを代数的整数論の基礎たらしめる良い性質を多く持つものである。行列環は非可換であり、行列の積は一意分解を与えない(すなわち、ひとつの行列をほかの行列の積として書く方法が一般に複数存在する)から、行列の分解は特定の種類の因子からなるものを考えなければ意味を為さない。しての分解を考えるものである。含めたLUP分解を考える。論理行列(英語版)は二項関係を表現するもので、行列の積が関係の合成に対応する。加法的な体系では和に分解することもあるかもしれない。加法的な分解(ある種の直和分解など)に対してよく用いられる。「積として」と述べる時点で何らかの意味での「乗法」が定められている必要がある。一般の抽象的文脈において「乗法」が任意の(代数的)演算を指し得ることや、可換な乗法が「加法」と呼ばれていたりする場合があることには留意すべきである。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。