いう因数の積に分解される。因子への分解は、除法が自由にできる体系(可除環など)ではほとんどの場合に意味を為さない。ように分解できることは明らかである(つまり、どの元もいくらでも分解できて、積としての表示を無数に持つ)。有理数や有理函数の成す体系ならば、分子と分母を別々に考えることによって意味のある因数分解を定めることができる。自然数および整数に関する因数分解は古代ギリシアの数学(英語版)においてすでに考察されている。その中には、任意の自然数が素数の積に因数分解できる(さらに、自然数のそのような分解(素因数分解)は因数の順番を変える違いを除いて一通りである)ことを述べた算術の基本定理の証明も含まれる。整数の素因数分解は、整数の乗法のある種の逆演算ではあるけれども、しかしアルゴリズム的な意味(計算量)において乗法とは比べ物にならないほど複雑であり、特に巨大整数の素因数分解は困難な問題で、これを一般に短時間に行う方法は知られていない。この複雑性はRSA暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている。多項式の因数分解もまた何世紀にもわたって研究がおこなわれてきている。初等代数学においては、多項式を因数分解することで多項式の根を求める求根問題を各因子の根を求める問題に帰着させることができる。整数係数の多項式あるいは体に係数をとる多項式の体系は一意分解性質を備えている—それはつまり、(素数を既約多項式に取り換えた)算術の基本定理の多項式版が成り立つということである—。複素数係数の一変数多項式は、必ず一次式の積に(掛ける順番を除いて)一意に表すことができる—これは代数学の基本定理の一つの述べ方である—。この場合、因数分解は求根アルゴリズムが与えられていれば自由にできる。整数係数の場合の多項式の因数分解問題は計算機代数においてひとつの基礎を成す技術的課題である。有理数係数の多項式環における既約因子分解には、効果的な計算機アルゴリズムが存在している。ある種の数体系、例えば代数体の整数環(代数的整数環)の中には一意分解性質を持たないものが存在するが、これら代数的整数環の場合には幸いなことに、より弱い形での一意分解性質(任意のイデアルが素イデアルの積に一意的に分解される)を満足するデデキント環となる。一般に、既約元分解を持つ(が、一意分解とは限らない)整域を原子整域(英語版)または分解整域と呼ぶ。一般の数学的対象の中にも(より単純な対象からなる)積の形に書き表すことを一般に因子分解あるいは分解と言い表すものがある。写像の分解とは特定の性質を持つ写像の合成の形に書き表すことである。任意の写像は全射と単射の合成として標準的な分解を持つ(これは圏論において、射の分解系・弱分解系(英語版)として一般化される)。行列の分解とは、与えられた行列を特定の性質を持つ行列を用いて行列の積として書き表すことである。実はこれはガウスの消去法を行列の形にまとめたものである)。算術の基本定理により、任意の正の整数は一意的な素因数分解を持つ。整数の因数分解アルゴリズムが与えられたとき、そのアルゴリズムを繰り返し適用して、任意の整数をその構成要素である素数にまで分解しきることができる。非常に巨大な整数に対して効率のよいアルゴリズムは知られていない。因数分解は、方程式や関数について考える上で重要な概念の一つである。次のように左辺を右辺へ変形することをさす。対して、右辺を左辺へ変形することは展開という。係数として用いてよい数の範囲が異なると、因数分解の結果が変わってくる。上の3例はすべて有理数(もしくは整数)の範囲で因数分解を行なったものである。