指数法則とは?指数法則の基本から負の数・分数を用いた指数も解説!指数法則とは何でしょうか。高校までで習った数学では◯乗の数の乗数はかならず正の整数が入り、計算も足し算引き算だけでした。高1・高2でならう指数法則ではさらに高度なルールを習うことになります。今回はそんな指数法則について解説します。例題まとめ指数法則とは指数法則の指数とは、数aのn乗(a^n)で表される時の、nのことを指します。\end{align}$$$$\begin{align}2a^3-a^3=a^3\end{align}$$このように正の整数で表された◯乗の数の和と差の式がこれまでに習った指数を使った数の計算でした。これに加えて指数同士の積と商、累乗や指数に当たる部分が負の数や分数だった場合が今回解説する指数法則です。それでは実際に指数法則のルールを見ていきましょう。指数法則のルール以下の関係式を指数法則と呼びます。$$\begin{align}(1)a^m*a^n=a^{m+n}\end{align}$$$$\begin{align}(2)a^m/a^n=a^{m-n}\end{align}$$$$\begin{align}(3)(a^m)^n=a^mn\end{align}$$$$\begin{align}(4)(ab)^n=a^n*b^n\end{align}$$$$\begin{align}(5)(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\end{align}$$上の式を見ながら実際に問題を解いて、指数法則について考えていきましょう。(\frac{3}{2})^3\end{align}$$$$\begin{align}(\frac{3}{2})^3\end{align}$$$$\begin{align}=\frac{3^3}{2^3}\end{align}$$$$\begin{align}=\frac{27}{8}\end{align}$$以上のように指数がついた数を計算する際には、指数同士を足したり引いたりすることでまとめる、またはカッコの中に含まれる数にそれぞれ指数を分配することができます。高校分野の指数法則では基本ルールに加えて指数が負の数で表される数も出てきます。負の数の指数法則は次のように表されます。$$\begin{align}a^{-n}=\frac{1}{a^n}\end{align}$$具体的な数を例に取ると、$$\begin{align}a^{-3}=\frac{1}{a^3}といった具合です。\end{align}$$このような式になるのは、例えば指数法則で表した場合$$\begin{align}a^{-3}=a^{2-5}=a^2/a^5\end{align}$$というふうに表されますが$$\begin{align}このa^2/a^5をもとに分数で考えた場合、\end{align}$$$$\begin{align}a^2/a^5\end{align}$$$$\begin{align}=\frac{a^2}{a^5}\end{align}$$$$\begin{align}=\frac{a*a}{a*a*a*a*a}\end{align}$$$$\begin{align}=\frac{1}{a^3}\end{align}$$と表されるためです。$$\begin{align}このことからaの-n上の数...(a^{-n})については、\end{align}$$$$\begin{align}その数のn乗分の1...(\frac{1}{a^n})と表すことができます。\end{align}$$$$\begin{align}ちなみに上のような考え方でa^0はどのように表されるでしょうか。\end{align}$$$$\begin{align}a^0を先程と同様に適当な数をとってa^{2-2}としましょう。\end{align}$$この場合、指数法則の基本ルールに則って別の形で表すと$$\begin{align}a^0\end{align}$$$$\begin{align}=a^{2-2}\end{align}$$$$\begin{align}=a^2/a^2\end{align}$$と表されますね。これを分数の形に直して$$\begin{align}a^2/a^2\end{align}$$$$\begin{align}=\frac{a^2}{a^2}\end{align}$$$$\begin{align}=\frac{a*a}{a*a}\end{align}$$分母・分子でそれぞれ約分して$$\begin{align}=\frac{1}{1}\end{align}$$$$\begin{align}よってa^0=1\end{align}$$0乗の数はこのように1として扱われます。0乗だからといって“0”出ない点に注意してください。正の整数や負の数で表された指数の他に、指数部分が分数で表される数があります。これはnを正の整数、a>0とするときに成り立つもので、$$\begin{align}\sqrt[n]{a}でaのn乗根(n乗するとaのなる数)を表します。\end{align}$$ルートの数に指数がついた場合、次のような関係式に表されます。$$\begin{align}\sqrt[n]{a}^{m}=a^{\frac{n}{m}}\end{align}$$そのことからより簡単な以下の3つの形に表し直せます。$$\begin{align}(1)(\sqrt[n]{a})^n\end{align}$$$$\begin{align}(2)\sqrt[n]{a^n}\end{align}$$$$\begin{align}(3)\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\end{align}$$このことから実は今まで見てきた普通の整数も、全て分数を使った指数で表すことができるのです。$$\begin{align}2=2^1=2^{\frac{1}{1}}\end{align}$$その他の法則はこれまでに使った指数法則の基本ルールと全く同じです。それでは分数を用いた指数についても、具体的な数を用いてみてみましょう。$$\begin{align}(1)(\sqrt[n]{a})^nの場合\end{align}$$$$\begin{align}aを2、乗数nを3とします。\sqrt[n]{a^n}の場合\end{align}$$$$\begin{align}おなじくaを2、乗数nを3とします。\end{align}$$$$\begin{align}\sqrt[3]{2^3}\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{3}{3}}\end{align}$$$$\begin{align}=2^1\end{align}$$$$\begin{align}(3)\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\end{align}$$$$\begin{align}aを2、乗数nを3とします。\end{align}$$$$\begin{align}\sqrt[3]{2}\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{1}{3}}\end{align}$$以上のように変形して計算を進めていきます。それでは例題をといてみましょう。以下の式を最も簡単な整数に直せ。$$\begin{align}(1)\sqrt[3]{9}*\sqrt[3]{27}\end{align}$$$$\begin{align}(2)\sqrt[3]{4}*\sqrt{8}/\sqrt[6]{32}\end{align}$$$$\begin{align}(3)\sqrt[4]{10}/\sqrt{10}*\sqrt[4]{20}\end{align}$$[解説]$$\begin{align}(1)\sqrt[3]{9}*\sqrt[3]{27}\end{align}$$$$\begin{align}=\sqrt[3]{3^2}*\sqrt[3]{3^3}\end{align}$$$$\begin{align}=3^{\frac{2}{3}}*3^{\frac{3}{3}}\end{align}$$$$\begin{align}=3^{\frac{2}{3}}\end{align}$$$$\begin{align}(2)\sqrt[3]{4}*\sqrt{8}/\sqrt[6]{128}\end{align}$$$$\begin{align}=\sqrt[3]{2^2}*\sqrt{2^3}/\sqrt[6]{2^7}\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{2}{3}}*2^{\frac{3}{2}}/2^{\frac{7}{6}}\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{4}{6}+\frac{9}{6}-\frac{7}{6}}\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{6}{6}}\end{align}$$$$\begin{align}=2^1\end{align}$$$$\begin{align}=2\end{align}$$$$\begin{align}(3)\sqrt[4]{10}/\sqrt{10}*\sqrt[4]{20}\end{align}$$$$\begin{align}=(2*5)^{\frac{1}{4}}/(2*5)^{\frac{1}{2}}*(2^2*5)^{\frac{1}{4}}\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{2}{4}}*5^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{1}{4}}*5^0\end{align}$$$$\begin{align}=2^{\frac{1}{4}}\end{align}$$まとめここまで指数法則の基本ルールと負の数や分数の場合の指数について解説してきました。指数関数は後の対数関数でも扱うことになり、これ単体で終わる範囲ではありません。様々な問題を解くためにも、しっかりと復習し活用できるようにしておきましょう。最高の学習をもっと身近に、どこでも。スタモ編集部は、大学受験や日々の勉強に役立つ記事を発信しています。これでマスター!基本から大学入試レベルの問題の解き方まで徹底解説!証明が苦手な方なら数学的帰納法はすごい難しいことをしているように見えるのではないでしょうか?しかし、その仕組みを理解すれば意外と簡単なんですよ。本記事では、数学的帰納法の基本や仕組み、問題の解き方について分かりやすく解説していきます。反比例について徹底解説!基礎からからグラフの描き方まで初学者にもわかりやすく解説します「反比例って苦手だったな...」「反比例のグラフの描き方忘れちゃった!」「日常生活で反比例の関係にあるものって?」本記事では反比例が苦手な方に向けて、今さら聞けない基本から徹底的に解説していきます。本記事では特性方程式の内容と証明、その使い方を詳しく解説していきます。特性方程式と、その元となる数列の漸化式(ぜんかしき)とは何かを理解し、さまざまな漸化式の問題をとおして特性方程式の使い方を身につけていきましょう。0から分かる2倍角の公式!導出から公式を用いた計算まで徹底解説この記事では、加法定理から2倍角の公式を導出します。公式を用いた計算まで例題を解いて確認しましょう!【等差数列】基礎から学んで3つの公式を使いこなそう!等差数列は数列の基礎、土台です。数列は大学入試において頻出テーマなので、等差数列が苦手であっては大学合格は厳しいと言っても過言では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