今回は、不等式の証明に関する少し難しい問題をいくつか解いてみましょう。項もあるので、文字ごとに別々に平方完成することはできない問題です。優先し、xを含んでいる項で平方完成してしまいましょう。優先しても別に構いません。どちらかの文字をまず優先するという考え方で処理していきます。-6xyを優先して平方完成します。=(x2-6xy+9y2)+y2-4y+4=(x-3y)2+y2-4y+4後半の3つの項も平方完成できますね。y-2=0すなわち、x=6、y=2のとき。文字が4種類もあるわりに、これは単純に解いていけそうな予感がします。同様に、(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2も証明可能です。これらは、コーシー・シュワルツの不等式と呼ばれているものです。x>0のとき、x+16/(x+2)の最小値を求めよ。急に最小値と言われても、2次関数ではなさそうなのに、どういうことだろう?このように問題の目先が変わると、何をどうして良いか全くわからなくなる人もいると思います。「どういうふうに考えるんですか?」と相談されることが多いのです。「だから、そういうことをどう発想するんですか?」と問われます。最小値・最大値という文字を見たら、まず2次関数かな?と考える。なかったら、あれ?では不等式かな?と発想する。何もないところからいきなりその発想をもてないということは理解できます。発想のストックを自分の中にもっておくことをお薦めします。不等式をどう使うのでしょう?最小値というのは、とりうる値の中で最小の数。いくつ以上なのだろうと考えると、あ、これは不等式なんだなと気づくと思います。式の最後までかかります。x+2+16/(x+2)≧2√16x+2+16/(x+2)≧8x+16/(x+2)≧6よって最小値は6とわかりました。ところで、このときのxはいくつでしょう。x=2よって、x=2のとき最小値6これが最終解答となります。利用するんだろうなあと、一度上のような問題を解くと、発想のヒントが見えてくると思います。問題を解く経験を積む。発想の源は、経験であることが多いのです。与式を展開してみましょう。