とき、|a|は正の数、-aも正の数ですから、|a|=-aです。aの正負に関わらず、必ず成立します。|a||b|=|ab|これは、比較的理解しやすいかもしれません。a、bの正負に関係なく、|a||b|は正の数です。|ab|も正の数です。よって、|a||b|=|ab|は、常に成立します。|a+b|2=a2+2ab+b2もしかしたら、これが一番理解しにくいかもしれません。正の数であることには疑問の余地はないと思います。問題は右辺でしょうか。a2+2ab+b2これが負の数の可能性があるように感じるので、たとえ絶対値が等しくても、等式は成立しないのではないか、と感じることがあるようです。この右辺は、因数分解できます。a2+2ab+b2=(a+b)2a+bが正の数であっても負の数であっても、(a+b)2は正の数です。よって、左辺も右辺も正の数で、もともと絶対値が等しいことは見ればわかりますから、|a+b|2=a2+2ab+b2が言えるのです。ちなみに、上の記述は、感覚的に納得するための説明であって、証明ではありません。証明は、もう少し細かい定義が必要となります。これで感覚的に納得してもらえたはずだ・・・、と思っても、納得した顔をしない高校生もいます。何か騙された気がすると言うのです。詐欺にあったような顔をしています。どこが疑問なのかと問い返すと、それはどこかはわからないけれど、何となく納得できない・・・という曖昧な答えが返ってきます。場合分けして説明されることに、そもそも懐疑を示す人もいます。その場合分けが全てではないような気がするというのです。ない場合もあるのに、そこで騙された気がする・・・。どこで騙されたとは指摘できないけれど、きっと騙されている・・・。そんなにも疑い深い一方、ネットに書いてある根拠のないことや、テレビで有名人がわかったふうに喋っていることをたやすく信じてしまうのは、なぜなのでしょう。友達から聞いた噂話を鵜呑みにしてしまうこともありますよね。いうことを簡単に信じないために、数学を学ぶという側面もあります。信じるべきことと疑いを抱くべきことを自分で判断するために、「論理」を学ぶのです。数学は、論理を学ぶことができる学問です。疑いが消えないならば、そうではない例、すなわち反例を自分であれこれと考えたみたら良いと思います。aやbを正の数にしたり、負の数にしたり、色々な組合せで考えて、実際に計算してみて、納得できるまで上の等式・不等式が成立することを確認してみてください。それをしてみることで、正負の数に関する自分の認知の歪みに気がつくこともあると思います。中学1年で突然習った「負の数」というものの本質をつかみきれないまま、計算のやり方だけ暗記して済ませてきたことが尾を引いているのかもしれません。この機会に歪みを正すことができたら、この先の学習が楽になります。それでは、数IIの実際の問題にあたってみましょう。|a|+|b|≧|a+b|を証明せよ。え?|a|+|b|=|a+b|じゃないの?いつも等しいんじゃないの?という錯誤が生まれてしまうことがあるかと思いますが、それは、やはり気がつくとaやbは正の数だと決めつけていることからくる錯覚です。実際には、aやbは正の数のこともあれば負の数のこともあり、0のこともあります。そのどの場合でも、上の不等式は成立します。それを証明しろと言われているのですね。不等式の証明は、左辺・右辺の両辺が正の数であることが確実ならば、2乗したもの同士で比較しても大丈夫でした。