(ただし、a、bは実数。iは虚数単位)の形で表される数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。b=0のとき、すなわちa+0・i=aで、実数aを表す。b‡0のとき、すなわち実数でない複素数を虚数という。以上が、虚数と複素数に関する定義です。これ以上は噛み砕ける内容ではないので、1行1行噛みしめて意味を理解してください。全て定義ですので、「なぜ?」という質問は存在するはずがありません。その定義を受け入れるだけです。これから始まる話は、全てこの定義を前提としますよ、というルールのようなものです。こんなルールは受け入れられない、自分は違うルールでやっていく、というわけにはいかないのです。これまで、数の集合は実数の輪を最大のものとして閉じていました。ベン図にするとわかりやすいです。自然数の集合がありました。1、2、3、・・・・といった正の整数です。それを含んで、その外側に、整数の集合がありました。負の整数や0が自然数の外側に加わったひと回り大きな輪ですね。それを含んで有理数の集合がありました。整数で表すことができない小数や分数が外側に加わったひと回り大きな輪です。その外側に実数の輪があります。実数の輪の内側で、有理数の輪の外側に位置するのが無理数です。無理数は、有理数ではない数。分数で現すことができない数です。円周率や√2などが無理数でした。有理数と無理数とをあわせて、実数と呼びました。実数の大きな集合の輪。今、その周りに複素数の大きな輪が描かれました。実数は、複素数の一部です。ベン図でイメージすると上のようになることを、複素数平面で考えると、実数は1本の数直線上に全て存在し、虚部が0ではない数、すなわち虚数は、その直線以外の平面上に存在しているのです。ここまで理解できれば、あとは計算です。あとは実数のルール、特に文字式・方程式のルールに似ていますので、大きな抵抗はないと思います。実部は実部同士、虚部は虚部同士で足し算できます。実部×虚部は可能です。虚部×虚部も可能です。(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)iただし、a、b、c、dは実数。=21+6i-35i-10i2=21-29i-10・(-1)=21-29i+10=31-29i慣れてくれば計算過程は適宜省略し、与式の次は答えでも構いません。符号ミスを起こしやすい人は、最初は丁寧に解いていったほうが無難でしょう。これは、様ざまな単元の計算問題で繰り返し出てきた、対称式に関する問題です。代入しても答えは出るのですが、面倒で時間がかかります。xとyの和と積を求めるのが定石でした。x+y=(-1+√5i-1-√5i)/2=-2/2=-1xy=(-1+√5i)(-1-√5i)/4=(1-5i2)/4=(1+5)/4=6/4=3/2よって、x3+y3+x2y+xy2=(x+y)3-3xy(x+y)+x2y+xy2=(x+y)3-3xy(x+y)+xy(x+y)=(x+y)3-2xy(x+y)=(-1)3-2・(-1)・3/2=-1+3=2これは、対称式の計算のときによく使う、x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)という公式を利用した解き方です。先に、x2+y2=(x+y)2-2xy=(-1)2-2・/32=1-3=-2を求めているのなら、x3+y3+x2y+xy2=(x+y)(x2-xy+y2)+x2y+xy2=(x+y)(x2-xy+y2)+xy(x+y)=(x+y)(x2-xy+y2+xy)=(x+y)(x2+y2)=-1・(-2)=2という求め方も可能です。これも公式を利用しています。x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)という公式です。新しい単元に入っても、既習の公式を覚えていないと実際の問題は解けません。解答・解説を読んでも、何でそういう変形をしているのか、意味がわかりません。公式は全部頭に入れておきましょう。和や積で虚数部分が消えて、その後の計算が随分楽になりましたね。虚部が異符号なのが良かったですね。いう数を「互いに共役な複素数」と言います。互いに共役な複素数という」というのが定義です。-27の平方根を求めよ。=±√27i=±3√3i2乗して負の数になる数の中にも、正の虚数と負の虚数がある・・・。そのことで混乱する人もいるようです。つながるべきではないところがつながって、頭の中がメビウスの輪になっていないでしょうか?虚数にも正負があって、別に構わないです。・・・うん?i2がある限り、その数は負の数になりますよ。落ち着いて、落ち着いて。√-24・√-18=√-24・(-18)=√24・18=12√2としてはいけないのです。それは、実数のときだけのルールです。虚数ではそれはできません。使って書き直してから計算していきます。なってしまい、矛盾します。これは背理法で証明できることだと推測できますね。中間テストの結果が出ました。2019年2学期中間。2019年度2学期中間テストの結果は以下の通りです。1人2学期中間テストは、1年の中で一番得点が低くなることが多いテストです。学校や新しい学年に慣れて、緊張感を失っている。夏休みの勉強不足で学力が低下している。体育祭や文化祭、修学旅行といった学校行事が詰まっている時期で、勉強に集中できない。部活で責任ある学年になった、あるいは3年生が引退して部活の空気が変わり、ゴタゴタしている。いったことがテストの得点に表れてしまうのが、中学生・高校生です。明らかに勉強不足でも、本人は「何とかなる」と思ってしまい、結果に青ざめる。塾としては毎年の繰り返しですが、本人にとっては初めての失敗で、事前に忠告したところで避けられないことが多いのが何とも歯がゆい限りです。「自分は大丈夫」と思ってしまうのが若さというものかもしれません。この反省を生かし、次回は頑張りましょう。数学は、いつもなら80点台の子が60点台、70点台の子も60点台、逆に50点台だった子、40点台だった子が上がって60点台と、団子状態となりました。高校生は、数Iはよくできても数Aが、数IIはできても数Bが足を引っ張る子が多く、それも苦慮するところです。英語は、それぞれ入会当時よりも得点が10点以上上がっています。上昇傾向にありますので、さらに期待しています。授業中に私のスマホにメッセージが入りました。電話番号で入力できる、ショートメッセージです。き」と言う内容で、銀行名と、サイトのアドレスが示されていました。その日、授業の前に銀行に行き、教室の家賃を振り込んだばかりでしたので、それに関連して何か起きたかと一瞬思ってしまいました。いうのは、大抵は詐欺。こんなアドレスをクリックしたら大変なことになる。落ち着いて、落ち着いて。そのままにして、生徒が解いている数学の問題を一緒に解こうとしたのですが、問題文が何を言っているのか、全くわかりませんでした。内容を読み取れないのです。問題と自分との間に透明な膜が張られたようになり、問題にアクセスできない。意味を読み取れないのです。何でこんなにわからないの?やばい、やばい、やばい・・・。読んでしまった詐欺メッセージのせいでした。詐欺だろうと思っても、そうした見知らぬ他人からの悪意が自分に向けられたことも含めて動揺してしまう・・・。私はもう一度スマホを取り出して、メッセージを眺めました。書かれていた銀行に私は口座を持っていませんでした。これは明らかに、詐欺です。最初に読んだとき、そんなことにも気がつかなかった。それほど文面に動揺してしまったのです。わかって、問題を見直した瞬間、透明の膜はすっと消え、問題文は意味をもって読み取れるようになりました。完全にいつも通りとはいきませんが、何とか問題を解いていくことができました。こんな経験をしますと、生徒がケアレスミスを連発する精神状態や、数学の問題が全くわからない状態とはどのようなものなのか、体感できた気がします。あの状態で数学のテストを受ける恐ろしさが、垣間見えた気がしました。努力でどうにかなるとか、落ち着けばいいとか、そういうことではないようです。落ち着けば良いことくらい、本人が一番わかっているのです。頭がグラッとなったように動揺し、精神を全てもっていかれたようなあの感覚。あれでは、問題は解けないです。テストには、不安や動揺が一番いけないのですが、それだけではなく、変な興奮状態も妨げになります。「休日の朝に解くと良い点なんだけど、学校の帰り、友達とわあわあ喋って帰ってきてすぐに過去問を解いたら、こんな点数になった」と、前回より30点も下がった過去問を前にした、小学生にしては冷静な分析を聞いて、考え込んでしまいました。友達とわあわあ喋って、ある意味ちょっと興奮して、その状態で過去問を解いたら、ケアレスミスだらけ。問題に集中できなかったようなのです。友達と嫌な喧嘩をして、泣いて帰ってきて、その動揺のまま過去問を解いたというのではありません。友達と面白おかしくわあわあ喋って帰ってきたら、算数の問題を冷静に解く精神状態ではなくなった・・・。暗く不安な気持ちでもダメ。明るい興奮状態でもダメ。そんな状態に自分をコントロールするには経験を積む必要があります。そのようにできるつもりでいても、私のように1本の偽メッセージで決壊することもあります。メンタルの問題は難しいですね。こんなことは考えれば考えるほど、ろくなことにならないのでもあります。テストで高い得点を取ることにこだわるだけでなく、とにかく実力をつけること。実力はついてきているのだから、大丈夫。思う中間テスト結果でした。勤め、中2のクラス担任をしていたある夏のこと。保護者面談を行っていたときのことです。集団指導塾といっても1クラス10人ほどで、その子の授業態度や宿題をやってきているかなどを正確に伝えることは問題ありませんでした。月例テストの成績の推移を示すことで、学力の伸びなども伝えることができました。「〇〇高校に入れそうですか?」と、直球の問いを投げかけてくる方もいらっしゃいました。知りたいですよね、そういうこと。その子の成績は、3が大半でたまに4。授業中の私語が多く、宿題もやってきません。それなのに、志望校は、都立自校作成校でした。月例テストは、目安として志望校の合格判定も出ました。中3の模試とは違いますので、そんなに正確な数値が出るわけではないですが、目安にはなります。本人の記入した志望校の合格判定は、無論、泣き顔の顔文字。いえ、どの高校を志望するのが妥当かを例示してくれるのが参考になりました。その子の場合、月例テストがお薦めする妥当な志望校として、その子の家の近くの都立高校の名前が上がっていました。これから頑張れば、そこを受験できるだろうと予想できました。その学校の名前を出すと、お母様は顔をゆがめました。第一子のお子さんの高校受験の場合、進路指導でこういうことが起こりがちです。中3の秋になってそうしたことをおっしゃる方は少ないのですが、まだ中2ですと、入試情報をほとんど得ていない中でイメージが先行し、志望校が高くなる傾向があります。近所の都立高校の実力を理解しづらいのも一因かもしれません。「あんな高校というのは、近所ですと、やはり、〇〇高校の生徒さんの登下校で迷惑を感じることがあるのでしょうか?」と質問してみると、そのお母様は具体的に不快な点を列挙されました。制服を着くずしたり、オーバーサイズのセーターやカーディガンをだらだら着ていたりするので、服装の印象がだらしない。道いっぱいに広がって大声で話しながら登校していく。自転車の子が徒歩の子と並んでだらだら下校するので、交通の邪魔。お菓子を食べながら歩き、道にゴミを散らかしていく子もいる。大したことではないという見方もできるし、それが毎日のことであれば不愉快極まりないと見ることもできる・・・。そのイメージですと「あんな高校」と思ってしまうのも仕方ないのです。その「あんな高校」は、内申が3の中にたまに4があるという状態ですと、これから努力して何とか合格できる高校なのでした。中3までにもう少し4を増やして、その上で、入試できちんと得点できるように受験勉強を頑張れば合格できる。目標としてほしい、良い高校でした。非常にざっくりした話で、例外はいくらでもあり、正確にはきちんと数字を計算すべきことですが、一般に、内申に「2」があると、都立高校に入るのは難しいと言われています。言い換えれば、内申がオール3で、ようやく都立高校の学力的に一番下の高校に入れそうだということ。一方で、内申オール3は学力的には「普通」なのではないかと感じている保護者の方も多いです。普通なんだから、都立高校の「真ん中」くらいのランクのところに入れるのではないか?3の中に4もあるなら、中の上くらいの高校に入れるのではないか?そして、これから頑張れば、自校作成校に入れるのではないか?このような、中学校の内申と都立高校のランクとの感覚のズレは、中3の秋まで是正されないことがあります。それは生徒本人もそうで、中2から中3の夏休みくらいまでは、1000点満点で本人の実力よりも200点も上の高校を見学してしまいます。昔は、入試情報を一般には得にくく、それで誤解している場合も多かったと思います。今は、そうした情報は得ようと思えばすぐに手に入れることができます。模試を開催する会社が、都立高校の60%合格基準点を1000点満点で明示し、全ての都立高校を得点の高い順に並べています。それは、学校の先生や塾だけの資料ではなく、誰でも見ることができます。1000点満点の得点の出し方も調べればすぐにわかります。具体的に計算してみましょう。5教科はそのまま、実技4教科は2倍にして得点を出します。オール5の場合、5×5+5×2×4=65オール3の場合、3×5+3×2×4=39これを300点満点に換算します。65点満点を300点満点に変えるのですから、300/65倍すれば良いです。39×300/65=180一方、入試は5教科500点満点。これを700点満点に換算します。500×700/500=500×1.4例えば、入試で平均60点取れたら、60×5×1.4=420先程の内申との和が、その子の得点です。6の高校もありますが、大多数の高校は上の計算で得点を出すことができます。600点で入れる高校はどこであるか、一覧表を見てがっかりされる方は、都立高校の見方にズレがある方です。実際には、学校の成績が「3」で、入試当日に60点を取るというのは、相当な受験指導がされて、その結果が出ている場合です。都立入試は、難しいのです。国語は、大問1、2の漢字の読み書き、大問3の小説の読み取りまでは自力で何とかなります。大問4の論説文は、文字を目で追うことはできても、意味を理解することができない子もいます。大問5の古典の鑑賞文となると、内容に興味が持てないことも手伝って、読み通せない子が続出します。古典の原文だけでなく、その口語訳も載っているので、落ち着いて読めば大丈夫なのですが、「古文はわからない」と言い出し、大問ごと捨てる子もいます。社会は、資料や表・グラフを読み取れない子は悪戦苦闘します。自校作成校を受験する子ですら、得点は70点台ということがあります。社会が得意な子にとっては得点源なのですが、そうではない子にとっては、地理分野の問題と「現代の日本と世界」に関する問題で得点を固めるのが難しい科目です。数学は、大問1の小問集だけは何とかなるはずです。そこだけはとりこぼしのないようにと努めても、そこで計算ミスをし、ポロポロととりこぼす子はあとをたちません。あとは、残る大問のそれぞれ問1しか解けない子が多いですし、その問1を解けることに気づかせることも大きな課題となりがちです。理科は、大問1と2の短問集は知識が定着していないためのとりこぼしが多くなります。その上、大問3から6は、実験や観察の記述が膨大であるため読み通せない子が続出します。入試で理科が最低点となるのは常態です。英語は、初見の長文を読めない子が多いのです。1~2行で本文を読むのを諦めてしまいます。大問1のリスニングと大問2の短文を読む問題以外は、苦戦が必至です。内申が「3」の子が独りで受験勉強をしていると、この学力で入試当日を迎えることになってしまいかねないのです。50点を取るのも難しい場合もあります。入試得点は、平均が50点ならば、50×5×1.4=350内申との和は、180+350=530都立高校一覧表と見比べてみると、この数字で合格できる都立高校が極めて少ないことがわかると思います。内申が「3」でも、入試本番で頑張れば・・・と、つい思ってしまうのですが、入試本番で高い得点が取れるなら、それ以前に内申はもっと高いはずなのです。内申には様々な観点が加味されているといっても、ざっくりいって、定期テストで80点台を取っていれば大抵は「4」になりますし、90点台を取っていれば大抵は「5」になります。定期テストで70点台の、「4」に近い「3」の子なら入試問題への対応力もそれなりにありますが、定期テストで50点台をいったりきたりの「2」に近い「3」となりますと、入試問題への対応力はかなり弱まります。入試直前になると、志望校を下げる子が現れます。自校作成校を志望していた子の多くが、普通の都立に志望を変えます。「上から受験生が降ってくる」という状況が起こります。押し出されて、一応合格しそうだった高校も、決して安心できない状況になっていきます。都立高校は、中位から下位になるほど合否の見極めが難しいのは、こうした事情もあるからです。した中で、入試得点を何とか固めていくこと。上のように、子どもに任せていたら全く歯が立たない問題を解けるようにしていくこと。塾の腕の見せどころであり、上のような学力の子が、ひと通りまともに入試問題を解いていけるようになった結果が、入試平均60点。あることは、塾講師と生徒本人はわかっています。受験をともに乗り越えれば、保護者の方も理解してくださることです。自校作成校に合格させることだけが難しいわけではありません。素質があり、自発的にどんどん勉強する子なら、むしろ指導は簡単なのです。入試問題の難しさに跳ね返され、眺めた瞬間に「無理」と諦めて解こうとせず、独りで勉強させると考える前に解答を見てしまう・・・。いう子が、どうにか都立入試問題を6割解けるようになる。そこに詰まっている受験技術と指導技術。こちらのほうが仕事としては大変です。入試問題を解けない子は、学力の問題以前に、「応用問題は自分は解けない」という思い込みが強いのです。問題への切り込み方がわかっていない。問題の亀裂にぐいぐい食い込んでいく方法を知らない。問題を眺めて、ぱっとわかれば「解ける問題」。見てわからなければ「解けない問題」。入試問題は、ぱっと見てわかる問題ではありません。入試問題は、永久に解けない問題。それで終わってしまいかねないのです。国語の評論も英語の長文も、ちょっと読みづらいとすぐに諦める。自分には無理だと思ってしまう。読み方がわかっていない以前に、勉強に対する耐性がない。秀才は、あれは異人種。自分はそういうのではないから。自己評価の低い子は多いです。小学校の頃は、誰でも解ける基本問題以外は解く必要がありませんでした。中学になってそれが通用しなくなっても、その現実と向き合えない。勉強に対して心傷ついたまま、まともに向き合えない。難しい問題と正対できない子は多いです。自分の潜在能力をギリギリまで発揮しようとしない。「2」に近い「3」の子の受験勉強は、そうした「逃げ」との闘いから始まります。自校作成校に〇〇人合格とうたいながら、その他の都立高校には大量の不合格ということもあるのが塾です。実際、私が昔勤めていたその集団指導塾も、上のクラスの半分以上の生徒が自校作成校を志望し、私の在籍した5年間では、もともと無謀な受験だった1人を除いて全員合格しましたが、下のクラスの都立の合格率は50%に満たない年もありました。1つには、進路指導上の困難があったこと。過去問の得点を生徒に自己申告してもらうシステムを取っていたのです。模試の判定も参考にしていましたが、模試の問題は本物の入試問題と比較するとやはりちょっとあっさりしています。「都立そっくり」といっても、国語や英語ほどの再現度にはなっていない科目もあります。難度は一致しているのですが、読み取らなければならない文字数がやたら多いのが都立入試です。長い説明と設問を読み通す力が必要です。模試も大切ですが、最終的には過去問で何点取れるかが合否の判断で重要となります。その塾の下のクラスでは、解答解説を見ながら解いた過去問の得点を申告してくる子が多く、進路指導の誤差が大きかったのです。中3のそのクラスは塾長が担任をするのが毎年の慣例で、塾長は、生徒のことを無条件に信じる人でした。私なりに進言しましたが、私の言うことよりも生徒の申告を信じてしまう人でした。生徒たちが解答を持っていない古い過去問を授業中に解いてその結果を塾長に渡したり、生徒本人に嘘の申告がどのような結果を招くか説明したりしましたが、解答解説を見て解いていながらも自力で解いているような錯覚に陥っている子も多く、なかなか改善しませんでした。水増しの過去問得点を申告した子たちは残念な結果に終わっていきました。志望校をあと1つ下げるべきだった子が多かったのです。それだけではなく、下のクラスの子は演習量を確保しづらいという課題もありました。宿題を出しても「難しかった」と言って解いてこない子が多いのです。易しいドリル形式の問題しか自力で解いてきません。入試問題はそんなレベルではありません。「この問題は、この前も解いたばかりだよ」と声をかけて励ますと解けるのですが、独りでは、すぐに諦めてしまうのです。自力で課題をぐんぐんこなす子たちとは学力差がさらに開いていってしまいます。過去問を買って、自分で解こうとしても、数問眺め、歯が立たないと諦めて、答えを見てしまう。解き方と答えをノートに書き写すことで勉強した気になってしまう。難しい問題は解けないからと、易しい1問1答形式の薄い問題集などを自分で買って、それで受験勉強をした気になってしまう。自力で入試問題を解いた経験が一度もないまま、入試を迎える。残念な結果に終わってしまうのですが、なぜ合格できなかったのか、保護者の方は真の理由を知りません。生徒本人が上のような分析を自力ではできないですから、知りようもないことです。内申は他の子と同じで、何とか合格できるのではないかという高校を受けても結局合格しなかった子の中には、受験勉強らしい受験勉強をできずに終わってしまう子も多かったのです。私の塾は、今年で8年目になりますが、都立高校に不合格だったのは、開校した最初の1人だけです。あとは、全員合格しています。5教科全てのその子の実力を把握し、私が直接保護者に連絡できるシステムがあること。常に傍らにいて、その子が解ける問題は絶対に解かせることが可能であること。受験事情を知らない人にとっては「何でもない都立高校」に合格させることが、私の大切な仕事です。都立高校に合格した子たちは、勉強のやり方を知っている子たちです。した服装でだらだら歩いている子も、勉強は標準以上にできるんです。した見た目と勉強ができるかどうかは、観点が異なります。道路にゴミを捨てていくのは・・・、それは絶対やめてほしい。近所の高校に対する不快な感情というのは、しかし、消え難いものなのかもしれません。お母様が「あんな高校」と言ったその生徒は、中3になって4をいくつか増やし、受験勉強を頑張って、都立高校に合格しました。1000点満点の数字がほぼ同じ、隣りの旧学区の高校に。その高校は、その地域の近所の人には「あんな高校」と言われていたかもしれません。近所の高校と何が違うというのだろう?そうも思いましたが、本人も保護者も納得しているのなら、それで良いのでしょう。自分が納得できる高校生活をおくれることが何よりも大切なこと。