整数nを3で割った余りが2のとき、n3-3nを3で割った余りを求めよ。合同式を使えば簡単です。(mod3)したがって、余りは2です。合同式を用いて、証明問題を解くことも可能です。これも、普通の解き方よりも簡単に書いていくことができます。nが整数であるとき、n3+5nは6で割り切れることを証明せよ。6で割り切れるかどうかを証明するのですから、6を法として論を進めていけば良いのです。整数nは6を法とするとn≡0、n≡1、n≡2、n≡3、n≡4、n≡5のいずれかに分類される。(1)n≡0のときn3+5n≡03+5・0≡0(2)n≡1のときn3+5n≡13+5・1≡6≡0(3)n≡2のときn3+5n≡23+5・2≡18≡0(4)n≡3のときn3+5n≡33+5・3≡42≡0(5)n≡4のときn≡4≡-2n3+5n≡(-2)3+5・(-2)≡-8-10≡-18≡0(6)n≡5のときn≡5≡-1n3+5n≡(-1)3+5・(-1)≡-1-5≡-6≡0(1)~(6)より、n3+5n≡0よって、nを整数とすると、n3+5nは6で割り切れる。あっという間に終わりました。これを普通の解き方で解くとなると、答案は少なくともこの倍のボリュームになります。その中で、この問題は、実は隠れた重要事項を利用できると、少し楽に解けます。それは、「連続する3つの整数の積は6の倍数である」というものです。このことに、ノーヒントで気づく高校生は少ないです。問題集の欄外などにヒントとして、「連続する3つの整数の積は6の倍数であることを利用する」などと書いてあることが多いですが、そう書いてあっても、何のことかわからない場合もあります。連続する3つの整数なんだから、どれかは2の倍数だし、どれかは3の倍数ですよ。「すげえっ!そうか!」と感動する子もいます。私は、哀しい妖怪の定番のセリフを口にすることになります。こんな雑な説明で伝わるとは思わなかった・・・。私がそういう雑な説明をすると余計に「え?」「え?」「え?」となってしまう子も多いのです。「でも、どれが2の倍数で、どれが3の倍数かわからないじゃないですか」と言われてしまうこともあります。「だって、こっちの場合とこっちの場合では話が違うじゃないですか」と言われてしまうこともあります。そんなときは、ああもうこの話はしたくないと泣き伏したくなります。わからないことが苦しいのは何より本人なのだけれど。何をどう説明しても、わかってもらえない。講師と生徒と1対1のとき、わからない生徒が絶対王者のように君臨し、「わかるように説明できない講師が悪い」という空気の中で私は絶望的な闘いを続ける。いうことは、たまに起こります。