それは、ただただ数字が延々と続く、約22MBのテキストファイルでした。そりゃそうでしょうけど。文字数をカウントすると、22,338,618字。これは、報じられている素数の桁数に一致します。1バイト文字が2200万あれば、22メガバイトになるんですね。それにしても、2200万桁の恐ろしく巨大な数値が、正確にダウンロードできるということに驚きます。当たり前と言えば当たり前。単なる文章と思えば、2200万字なんて、・・・いや、かなりの分量です。新聞一紙の文字数は、約11万文字(22万バイト)だそうなので、件の最大素数は新聞100日分に相当します。紙面全体に素数だけ印刷しても、100日かかるというわけ。こりゃ3日目で飽きるか(初日から飽きる?)。総文字数が約1500万字といわれる広辞苑があるのだから、素数だって1冊の本にできますね(誰が買う?)。ダウンロードした文書は、1行に数字100個、1ページ57行、全3920ページ。印刷する気には、なりません。最終ページだけは、3行と18文字。22,338,618。この文書を見れば、その史上最大の素数の何桁目の数字が何か、ということが一目瞭然。私の生年月日にちなんで19600917桁目の数値は、6です。私のプライムナンバーと言えましょう。素数を手にしたという、所有欲は満たされました。-過去最大となる、約2233万桁の素数が発見されました。「そーすか」とか言ってる場合じゃありません。世界中の研究者が、より大きな素数を探すプロジェクトの中で、今回のそれは見つかりました。「2のn乗-1」という形の素数を探そうという、「グレート・インターネット・メルセンヌ素数探索」。インターネットを介して100万台以上のコンピュータを接続した、分散コンピューティングによる成果です。これまでの最大素数は、2013年に発見された1742万桁。今回の発見で、桁数はずいぶん飛躍したものです。素数は無限に存在するので、このような大発見は今後も限りなく繰り返されるのでしょうか。いま「素数は無限に存在する」と書きましたが、なぜそんなことが言えるのか、その証明法は簡単です。最大の素数をNとしたとき、すべての素数の積=2x3x5x...xNに1を加えた数は、どの素数でも割り切れません。それは、新たな素数ということになります。これはNが最大の素数であることと矛盾します。円周率の桁数追究とは異なり、素数探求の進歩は、暗号業界にも大きな影響を与えそうです。前にも書いたように、よく使われている重要な暗号が、素数を利用しているからです。いつか、だれか天才が、画期的な素数発見手法をあみ出すんでしょうね、きっと。その頃には、素数なんて、偶数と同じぐらい簡単に見つかるものに、なっているかもしれません。-「秋には本は売れないのに、なぜか『読書の秋』」という新聞記事に、目が留まりました。3月4月や、年末年始や、夏休みなどに比べると、秋は相対的に売れ行きが鈍る時期だそうです。その内容よりも、月別の「書籍への支出額」の平均値を比較した棒グラフが、とても気になりました。支出額が年間最高の12月と比べて、11月はその半分にも満たない、ように見えるからです。実際には、12月は900円強、11月は700円弱なのに、棒グラフではその差がきわめて強調されています。縦軸が途中で省略されていて、棒の高さが数値に比例していないのです。棒グラフは、その長さの絶対値どうしを比べるのが本筋。縦軸は0から始まらなければなりません。差を強調するために、棒の先っちょの部分だけを切り取って比較するのは、ルール違反です。テレビや新聞ではしかし、縦軸を操作したインチキグラフをよく見かけます。ところで、高血圧の方には、毎日朝晩の血圧を測定して、血圧手帳にグラフを描いてきてもらいます。このように、血圧や体重や体温などの経時変化を記録するときは、折れ線グラフを使います。折れ線グラフであれば、見たい範囲を強調するために、縦軸を自由に設定できます。血圧や体重のグラフの縦軸が、0から始まる必要はありません。絶対値ではなく、変動を見たいのです。体温に至っては、その数値は絶対値ですらありません。しても絶対値で描くなら、縦軸は絶対温度です。科学雑誌のグラフにも間違いは散見されますが、テレビや新聞に登場するグラフはひどいのが多い。縦軸に細工がしてある棒グラフを出すようなメディアは、科学的分析能力を疑わなければなりません。言っても、モンストとかパズドラとかの、攻略法の話ではありません。経済分析に使われる理論で、これを突き詰めたジョン・ナッシュは、94年にノーベル賞を受賞しました。そのナッシュ氏が昨日(日本時間)、死亡したとのこと。タクシー乗車中の事故というのが、残念です。統合失調症と闘いながら、ついにノーベル賞を受賞したナッシュ氏の半生は、映画にも描かれました。2001年のアカデミー作品賞などを受賞した「ビューティフル・マインド」は、私の大好きな映画です。主演のラッセル・クロウも良かったけど、奥さん役のジェニファー・コネリーもまた、良かった。盛り込まれているところもポイント。「ゲーム理論」とはなんぞや。この機会に、ちょこっと勉強したので、私なりの解釈を書いてみます。個人間でも企業間でも国家間でも、二者間でも三者間でもそれ以上でも、駆け引きというものがあります。それぞれが自分の利益を考慮しつつも、相手の出方を想定し、裏をかかれないように、熟慮します。メンバーがすべて、同様に合理的戦略を練ると、一定の均衡「ナッシュ均衡」に落ち着くというわけです。一人勝ちすることよりも、一人負けしないことを重視する意思決定法、というのが私の理解です。違うかもしれないので、人に言わないでください。そんなわけで今夜、ナッシュ氏追悼の意味で、急遽、「ビューティフル・マインド」を鑑賞しました。精神的に病的な個性を持つ天才が、さまざまな苦悩の末、ついに大事を成し遂げて社会から賞賛される。その天才を支え続けた奥さん。その2人が同時に事故で亡くなったというのが、なんともいたたまれません。-昔からある、かけ算の順序問題を、あらためて考えてみました。「ひと皿にリンゴが5個、そのような皿が4つあります。「皿が4枚、それぞれの皿にリンゴが5個乗っています。リンゴはぜんぶで何個ですか」いずれの設問も、式を書いて答えるなら「5x4=20(個)」でも「4x5=20(個)」でもよさそうです。かけ算は「ひとつぶんの数xいくつ分」の順に書くのがきまりだ、という考え方があります。一方で、かける順序などどうでもよい、という合理的な考え方もあります。答えは変わらないからです。「皿にリンゴが5個、そのような皿がワゴンに4枚、そのようなワゴンが3台。自然に考えると「5x4x3=60(個)」です。リンゴの数が、かけ算で増えていくイメージが分かり易い。これを「4x5x3」としたら、わずかながら違和感を感じます。「5x3x4」とすると、さらに強い違和感を感じます。かける順序が理に適っていないからです。皿の数に着目して「4x3x5」というかけ順もあるでしょうが、これは少々へそ曲がりです。かけ算の順序を意識することは、自分が求めようとしているものを、きちんと確認することになります。その意味では最初に、求めるものの数(リンゴの数)を持ってくるのが、いちばん自然で理に適っています。正答であればいいという合理性よりも、思考過程の理屈こそ、とりわけ教育上は重要だと思います。解決につながる論文が出た、と報じられました。これは、11と13のような間隔が2である素数のペア(双子素数という)は無限に存在する、という予想です。ああそうですか、素数なんて私には何のかかわりもありませんけど、とおっしゃる方。ネット上を飛びかう情報は、素数を利用して暗号化されているからです。そのひとつが「RSA暗号」。RSA暗号については、たくさんの解説サイトがありますが、その多くが数式や図表を含み、複雑難解です。そこで今日は、思いっきり簡略化した解説に挑戦してみます。双子素数の話はまた後日です。(1)たとえば、「3」と「33」という2つの公開された鍵を使って、17という数値を暗号化する場合17を3乗したものを33で割った余り29が暗号。3と33が公開されているので、だれでも暗号化が可能です。(2)秘密の鍵「7」を使って、受け取った暗号29を復号する(元の数値に戻す)29を7乗したものを33で割った余りがなんと、元の数値17になるのです。7を知っていれば復号は簡単です。ある数値を3乗して33で割った余りを、7乗して33で割った余りは、必ず元の数値になるというのがミソ。このような面白いことが起きるのには、3と33と7に、一定のルールがあるからです。33は2つの素数の積であること。次に3は、それらの素数から1を引いた数の積の約数ではないこと。3は(3-1)x(11-1)=20の約数じゃない。7は、3との積が、先の素数から1を引いた数の積+1の倍数になるように選ぶ。7x3=20+1です。このようにすればなぜ(1)(2)が成り立つのか。それを私に聞かないで下さい。33という小さな数値では、33=3x11と簡単に素因数分解され、秘密の7はすぐバレます。実際のRSA暗号では、33の部分には、300桁程度の巨大な数(=2つの素数の積)を用いています。このぐらい大きな数になると、いまのコンピュータを持ってしても、素因数分解には年単位かかるそうです。桁数の大きな素数の積は、それを素因数分解するのがきわめて困難。これが暗号に利用される理由です。効率的に素因数分解を行う方法が見つかったとき、RSA暗号は破られるわけです。双子素数だとかの、素数を巡る謎が解明されるたびに、暗号業界はドキッとしているのでしょう(たぶん)。-数学が好きなのに、その道に進まなかったのは、数学でメシを食うのは厳しいと考えたからです。私の高校時代は、スマホやインターネットどころか、パソコンすらほとんど見かけない時代。当時、数学から連想する職業と言えば、学者か教職しかありませんでした。ところが今の時代、数学だとかコンピュータなどの分野は、とても魅力的で未来的で花形です。一方で、純粋に学問として数学を研究している人もまた、すばらしい。1(xのn乗マイナス1)を因数分解するときには、nの素因数分解がカギとなる」ある大学の数学科のホームページで因数分解の解説を読んで、最初は「???」でした。ところが、nを2から24まで試してみて、なるほど、思わず膝を打ちました。名前が似ているくせに、まったく無関係だと思っていた「因数分解」と「素因数分解」。この2つが、30数年を経てつながりました。面白くなかったですね、今日の話。-こどもの頃、数学が好きでした。小学生時代、休みの日には電卓で遊んでいました。友達が少なかったのかもしれません。1960年代の終わり頃の電卓はサイズが大きく、ちょうど今のスーパーのレジスターみたいな感じでした。私の遊びといえば、いろいろなかけ算や割り算をして、その記録を紙に書き残す、というものです。中学生の頃、数学で好きだったのは「因数分解」。嫌いなのは「ベクトル」でした。フィールズ賞を受賞した、郷里(山口県)出身の広中平祐氏が話題になったのも、その頃。数学者になることを夢見ました。高校生のとき、好きなのは「数列」、嫌いなのは「行列」。数列は、規則性の発見にパズルのような楽しさがあって、今でも好きな分野です。一方で行列は、いったい何の役に立つのかさっぱりわからず、面白くなかった。して履修した物理学で登場したのは、ベクトルと行列でした。嫌いなふたつが、そろいもそろって物理学では主役級の存在でした。あなどってはいけませんね。ちなみに私がいちばん好きなのは「素数」です。-運転中に、前を走っている車のナンバーを見ると、ついつい計算してしまいます。ナンバーが「1234」だったらこんな具合です。1=2+3−4こんな等式を思いつけば、クリア。私のルールは、数字を順番に使うこと。それから、数式記号は何を使ってもいいけど、定数(πやe)は使わないこと。目標は、できるだけ多くの別解を見つけること。1-2=3−4これは先ほどの式の2を移項しただけ。別解としては認められません。符号を変えただけのものや、両辺の平方根をとっただけもものもダメです。1−2+3=ルート4これならOK。4と9は平方根をとってみるのが基本。(1の2乗)+3=4ナイス別解。1のn乗はよく使う手法。ー(1x2)+(3の階乗)=4階乗は意外に使えます。ほかには、1+(2分の(3の階乗))=4とか、もっと上級編になると、1x2x(ルート(3の階乗))=ルート(4の階乗)もはや両辺が整数である必要もありません。1÷2=ルート((3の階乗)÷(4の階乗))これは前の式とは基本的に同じもので、ややグレーゾーンの別解。平方根にして2乗する。ログ((ルート(1+2))の3)=ルート4対数を使うとさらに選択肢が広がりますね。考えてるうちに、前の車が変わり、別のナンバーが登場。計算神経症?ていうか安全運転しましょう。-鶴亀算というのがあります。典型的な設問はこうです。「鶴と亀があわせて6匹います。足の数をたすと全部で20本でした。鶴は何羽いるでしょう。足の数を数えられるほどなら、その前に鶴の数ぐらいわかりそうなものなのに、と子供の頃思いました。それに、鶴の足の数と亀の足の数を「たす」こと自体に違和感があります。両者があまり似ていないからです。たし算には、同じようなものの数を合計する、という原則があると思うのです。「家にある、鶏卵の数と米粒の数の合計はどれくらいか?」この設問の場合は、圧倒的に数の違うものを合計することに違和感があります。次元の異なるものをたす違和感。