人の流れに乗って、駅へと向かいました。│山2018年01月12日データの分析。「データの分析」の続きです。データは分析しなくては意味がありません。大切なのは、他のデータとの比較です。比較をするために代表値という概念があります。そのデータを代表する値です。代表値を用いて、他のデータと比較をします。10点満点のテストの得点についての2組のデータについて考えてみましょう。Aグループの得点を小さい順に並べると、0点、6点、7点、8点、8点、8点、8点、9点、9点、10点。Bグループの得点を小さい順に並べると、6点、6点、6点、7点、7点、7点、8点、8点、9点、9点。Aグループの平均値は、7.3点。Bグループの平均値も、7.3点。この平均値だけを使って、「AグループとBグループの得点は同じだ」と言っていいのでしょうか?Aグループの平均値は、たった1人の0点のせいで下がっています。個々のデータを見れば、全体に得点が高いのはAグループです。平均値だけで語れることには限界があるのは、こうしたデータからわかります。他に、そのデータを説明する代表値はないでしょうか?最頻値(モード)。これは、そのデータの中で最も多く出てくる数値です。度数分布表の中では、最も度数の多い階級の階級値を指します。Aグループの最頻値は8点。Bグループの最頻値は7点。AグループとBグループの得点の傾向が平均値よりも伝わってくる数値です。これは、そのデータを小さい順に並べたとき(大きい順でも同じです)の中央の値です。データの個数が奇数個の場合は、まさに中央の値を出します。データの個数が偶数個の場合、中央の2つの値の平均値を中央値とします。これも、Aグループは8点。Bグループは7点です。傾向がわかるのですが、もっとデータの様子を示す方法は他にないでしょうか?データのばらつきがわかると、より正確にデータを示すことができるのではないでしょうか。この「ばらつき」を散布度といいます。単純に、最大値と最小値を見てみます。最大値-最小値で、ごく単純に散らばりを見ることができます。「最大値-最小値」、これを「範囲」(レンジ)と言います。Aグループの範囲は、10-0=10(点)Bグループの範囲は、9-6=3(点)範囲が広いほど、ばらつきは大きいと、言えないことはないです。平均点や最頻値とあわせてそれが示されていれば、データの分布を推測することはできます。この範囲の広さは、Aグループのデータの本質を示していないような気もします。一一)ここで、四分位数という考え方が登場します。データを小さい順に並べて、4等分する位置にあるデータを小さいほうから順に、Q1、Q2、Q3、とします。(半角数字は実際には小さく書きます)これを順に第1四分位数(Q1)、第2四分位数(Q2=中央値)、第3四分位数(Q3)と呼びます。中央値のときと同様、データが偶数個のときは、前後の2つのデータの平均をその数値とします。Q3とQ1の差を四分位範囲。四分位範囲を2で割ったものを四分位偏差と呼びます。Aグループは、Q1=7点、Q2=8点、Q3=9点。Bグループは、Q1=6点、Q2=7.5点、Q3=8点。これで分布の様子がかなり見えてきました。Aグループの中で特殊な数値であるにも関わらず平均値や範囲に大きく影響していた0点という1つのデータがほとんど影響していないのが見てとれます。これが実際のテスト得点のデータである場合、このただ1人の0点というデータをどうとらえるかはまた別の難しい問題と思います。そこを切り捨てるわけにはいきません。教育的観点からは、そこに、このAグループの本質が隠れているかもしれないからです。この1人の0点と、残る9人とは本当に何の関係もない場合も考えられます。このただ1人の0点のために、残る9人に対して「おまえらは平均点が低い。努力が足りない」等の叱責をするのだとしたら、それはおかしな話です。AグループはBグループと比べて、実は高めの得点分布なのだということを示すことができるのが、上の四分位数です。この四分位数と四分位範囲、さらに最小値と最大値までを1つの図に示したのが、箱ひげ図です。箱ひげ図は縦書きも横書きもありますが、今回は横書きで説明しましょう。その少し上に、最小値、Q1、Q2(中央値)、Q3、最大値を記録していきます。Q1、Q2、Q3を示す縦の線分を少し長く描きます。描いた3本の縦の線分を結ぶ横の線分を描き、長方形にします。最小値・最大値とその長方形とを線分で結びます。言葉でいくら説明してもよく伝わらないでしょうか。実際の図を示しましょう。手書きして、それをスマホで撮影したので、全体に斜めになっていて申し訳ありません。下の矢印のついた線は、実際には目盛りです。オレンジ色で書き込んだのは説明で、実際の箱ひげ図には記入しないものです。次に、AグループとBグループを箱ひげ図にしたものが、下図です。斜めになってしまっていて申し訳ありません。定規がないのに急いで描いたら、こんなふうになってしまいましたが、概要は伝わると思います。Aグループのほうが明らかに高得点に分布していることが見てとれます。箱ひげ図の読み取りで誤解しやすいのは、横の線分が長いと、そこに多くのデータがあるような気がするのですが、全く逆で、線分が長いということは、そこはデータが少ないことを意味します。全てのデータを小さい順に並べて四等分して求めているのがQ1、Q2、Q3です。最小値からQ1までの幅には、全てのデータの四分の一が入っています。その幅が長いということは、そこはデータがまばらに分布していることを示しています。Aグループは低い得点に人があまりいないことがわかります。ここが、説明していて高校生になかなか伝わらないところです。「長いものは大きいもの」という思いこみで図を見てしまうことから脱却できないようなのです。箱ひげ図の読み取りのコツはそこに集約されています。最小値、Q1、Q2、Q3、最大値は、データを小さい順に並べて単純に四等分したときに表れる数値です。最小値とQ1との間、Q2とQ3の間、Q3と最大値との間には、同じ数のデータが存在しています。幅が長いところは、データはまばらに分布しています。長方形の部分も同じことです。長方形の横の長さが長いところは、データはまばらに分布しています。横幅の短い、ぎゅっと詰まった長方形には、データもぎゅっと詰まって存在しているのです。箱ひげ図よりも度数分布をそのまま示したヒストグラム(柱状グラフ)のほうが見たまますぐに散らばりを実感できるかもしれません。箱ひげ図は、読み取り能力を要求する図です。読み取り方を理解したら、箱ひげ図からヒストグラムの概形をイメージすることができます。都立の中高一貫校では、成績データにこの箱ひげ図を用いる学校もあります。それが当たり前の時代が来るかもしれません。慣れれば多くのことが読み取れる箱ひげ図。学ぶ価値のある内容だと思います。│算数・数学2018年01月10日データの分析。今回は、「データの分析」です。「データを読み取れないから日本人は経済において世界の中で云々かんぬん」と上から言われて加えられ、新課程に変わる度に強化されているこの単元。データは読めないよりは読めたほうがいいので、張り切って指導していますが、これを勉強する高校生の表情は、多くの場合、埴輪のようにポカンとしています。必要性が実感できないのかもしれません。今回は、まず中学の復習。度数分布表の作り方と、それをヒストグラムに直す方法を学習しましょう。例で言えば、ある学年100人の期末テストの得点を度数分布表に表すとします。上のように、範囲を区切ってその範囲にデータがいくつあるかを示した表が度数分布表です。「20点以上30点未満」のような範囲の1つ1つを「階級」と言います。データの個数を「度数」と言います。上の例で言えば、20点以上30点未満の階級の度数は、6人です。上のように合計がちょうど100人ならわかりやすいですが、実際のデータは、79人とか、83人とか、合計が半端な数であるため、データがどのように分布しているのか、パッと見ただではわかりにくいことがあります。そのために「相対度数」という数値を利用します。相対度数というのは、割合です。全体の中で、その階級にどういう割合でデータが分布しているか。合計を1.00とし、各階級の度数を小数で表します。各階級の度数÷全体の数=相対度数ということです。小数で表すからピンとこない子がたまにいるのですが、パーセントで読み直せば、何ということもありません。上の例で言えば、「20点以上30点未満」の階級の相対度数は、0.06。全体の6%の人がその階級にいるということです。小学生の頃から「割合」が苦手な子は、この段階で「わかんない」と文句を言い始めるのですが、データを読み取りやすくするための数字が相対度数です。敵視せず、「この数字は自分の味方」と思ってほしいです。理解するだけで楽になりますから。度数分布表をそのままグラフにしたのが、ヒストグラム。柱状グラフ、とも言います。分布の様子がひと目でわかるので、便利です。ここで話が終われば簡単なのですが、ここから少し面倒くさい話になってきます。データは、1つのデータだけを見て判断することはほとんどありません。他のデータと比較して分析するから、データには意味があります。どのように比較するのか。ここで、「代表値」という概念が登場します。1つのデータを1つの数値で代表させたい。代表値には色々なものがあり、一番知られているのが、「平均値」です。上の例で言えば、1人1人の点数を全部足していって、人数で割れば、平均点が出ます。あれ?でも、上の表だと、個々の点数がわからない。6人」ということしかわからない。実際は、1人1人、21点だったり、29点だったりするだろうに、そのデータが手元にない。そんなとき、どうやって平均値を出すか?ここで使えるのが、「階級値」。その階級の中央の値です。「20点以上30点未満」という階級の階級値は、25点です。その25点×6人で、その階級の合計とする。全ての階級の合計を足して、度数(100人)で割る。それを「平均値」としても、まあいいでしょう。個々の得点を全部足して100で割ったものとは少し違う数値が出るでしょうが、大きな違いではないでしょう。これを「加重平均」と言います。やって、平均値を出すことはできるけれど、しかし、このデータで、平均値はどの程度の意味を持つのでしょうか?上の度数分布表を見直していただけるとわかりのですが、データの分布が明らかに割れています。平均値は、そうしたデータの分布を表すことができません。データの分布を把握できる数値はないものでしょうか。ここから、いよいよ、データの分布をどのように表していくかという話が始まっていきます。三角比と平方根の計算の工夫。今回も、三角形の面積の求め方から。3辺の長さがそれぞれ、10、17、21である三角形の面積を求めよ。S=1/2absinCの公式を利用する場合。sinCの値が必要ですが、すぐには求められません。cosCの値を求めて、そこからsinCの値を求めます。cosCは、余弦定理を利用すれば、3辺の長さから求めることができます。利用して、sinCの値を求めます。上記のS=1/2absinCの公式に代入します。代入して、sin2C+(-13/85)2=1sin2C=1-169/7225=7056/7225sinC=84/85よって、S=1/2・10・17・84/85=84答えは出ますが、計算が面倒くさいっ。;∀;)この問題、他にも求め方があります。ヘロンの公式と呼ばれるものです。S=√s(s-a)(s-b)(s-c)ただし、s=1/2(a+b+c)これに代入すれば、一気に求めることができます。上の問題を解いてみましょう。s=1/2(10+17+21)=24よって、S=√24(24-10)(24-17)(24-21)=√24・14・7・3=84ああ、このほうがやっぱり楽です。(*^^*)ところが、ヘロンの公式を使っても、計算に手間取ってしまう高校生がいます。整理をしようとしています。いうときは、かけるよりもさらに分解して、2乗のセットになるものを見つけてすぐに整数にしていくほうが楽に計算できます。√24・14・7・3√3・8・2・7・7・3=7・3・2・2=84不要なかけ算や割り算をしなくて済むので、計算ミスを減らし、速く正確に計算できます。この工夫が出来ない子は案外多いです。「私のやり方でも解けるんですよね?間違ってませんよね?」と言われることもあります。あれ?何か不満を持たれている?と感じてしまうのですが、それほど不満があって言っているのではなく、確認したいだけなのでしょう。式が間違っているのか、計算の工夫だけの問題なのか。式が間違っていないなら、計算は私のやり方でやりたい、という気持ちが働くのでしょうか?短時間で済むことをわざわざ遠回りしてしまうのは、時間の限られたペーパーテストを受ける場合に不利です。遠回りな計算は、その過程での計算ミスを招きやすく、精度が下がる原因にもなります。改善してほしいのです。それだけではありません。平方根の定義の理解が表面的なものに終わっていて、頭の奥に沁みていないから、そういう計算のやり方になるのではないかという心配もあるのです。自然数となるような自然数nの値を小さいものから3つ求めよ。いった問題はハードルが高いようなのです。この問題の類題である「もっとも小さい自然数nの値を求めよ」ならば、正解するのですが、nが可能性としては無数にあることが理解しづらい様子です。「小さいものから3つ」と言われると、途端にわからなくなります。180を因数分解しますと、22・32・5です。(半角数字は指数)つまり、√180=6√5だから、n=5なら、√180nは自然数になる。ここまではほとんどの子が理解できます。他にもnがあることが理解できないようなのです。nは、5だけが因数である必要はありません。他にも2乗の因数を持っていて構わないのです。√180nは自然数となります。√180nは自然数となります。これがすんなり理解できる子と、なかなか理解できない子がいます。説明をいろいろ工夫していますが、わかる子もいれば、わかったふりをするだけの子もいます。不思議なもので、この子はちょっと無理かなあと内心思っていた子が、するっと理解することがあります。「センセイは、何かの妖怪なんですか?」と、見事に受けてくれたりします。理解力とは案外こんなことかもしれません。言葉の通じる相手ならば、説明は届くのです。講師との相性というのも、そういうことなのかもしれません。三平方の定理と三角形の面積。無機質な公式をどう感じるか。新年明けましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。今年は、太平洋側は晴れた穏やかな元旦を迎えました。こんなことなら、山に行けば良かった。思うのはいつものことですが、八ヶ岳だけ雲が取れないこともあるので、のんびりとしたお正月も良いでしょう。今年は受験生が多いので、あまり山の計画をウキウキと立てる気分ではないのも大きいです。今回は、三角形の面積の話です。これも、数Iで学習する「三角比」の単元の内容です。△ABCの面積を求める公式は、S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinBとなります。これに関しては、以前にここで書きましたので、ぜひ、以下のページに飛んでください。http://seghi.tamaliver.jp/e434406.html三角形は、2辺とその間の角がわかれば、面積を求めることができます。それが、S=1/2absinCの公式です。証明は、上のページで説明しました。小学校からお馴染みの「底辺×高さ÷2」に三角比を当てはめているだけです。「どこが高さかわからなくなる」と質問されたことがあります。底辺をaと見たときの高さが、bsinCになることは、見やすいからわかる。底辺がbのときの高さがcsinA、底辺がcのときの高さがasinBであることが、斜めになっていて見えにくい。その子は、公式の証明と解き方そのものとを混同していたのでした。1つ1つの問題を解くときに、1つの頂点から垂線を引いて高さをsinで求めてから、三角形の公式にあてはめて解くのだと思っていたのです。三角形の向きによっては底辺の位置と垂線の位置が見にくいなあと感じた様子です。そんなふうにいちいち解くのなら、公式は要らないのです。いうことを省略し、さっと立式できるのが公式です。公式は問題を簡単に解くために式を定型にしておくものです。その定型を示されて、活用せよと言われても、納得のいくものではありません。その公式がなぜ正しいかの証明を学びます。納得したら、証明からは離れて、スイスイ公式を使うというのが数学学習の流れです。公式を利用するときには、どこが底辺でどこが高さであるかを確認する必要はないのです。いうことを考えなくて済むようにしたのが公式です。機械的に当てはめて使用するだけです。いうことに心理的に抵抗がある人は多いのかもしれません。実感の伴わない公式に違和感があり、頭に入らない子。小学校の5年生で学習する「割合」で、まず大きな挫折があるようです。割合の3用法のうち、「もとにする量×割合=比べる量」の公式がよくわからない。「比べる量÷割合=もとにする量」となると、全くわからないし、使う気がしない。しても意味がわからないし、頭に入らない。かけ算の式を立てていいのか、わり算の式を立てていいのか。やればやるほど混乱する。いう嘆きを聞くことがあります。あれは、逆算で作った公式なので、意味なんてありません。割合の公式で意味があるのはただ1つ。「比べる量÷もとにする量=割合」これだけです。Aくんが、サッカーで7本シュートしたところ、5本ゴールできました。Aくんがゴールした割合はどれだけでしょうか。これは、5/7ですよね。これは、実感できることです。これがわからないという小学生に出会ったことがありません。