山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。中学生の学ぶ「場合の数」と公式。段階を踏んで学んでいく単元です。小学校では、「ならべ方と組合せ方」として。中学では、「場合の数と確率」として。中学では、まだ順列や組合せの公式は学びません。順列は、P(permutation)。組み合わせは、C(combination)。それぞれの公式は高校の学習内容です。A、B、C、Dの4人でリレーをする。走る順番は何通りあるか。高校で学ぶPの公式を用いるならば、4!=4×3×2×1=24答えは24通り。簡単なので、中学生の子どもの勉強を見る際にこれを教えてしまう保護者の方もいらっしゃると思うのですが、お子さんが完全に理解できるとは限りません。この公式は、公立中学では教えないのです。教えないのかといえば、教えても理解できない子が多いからだと思います。私の実感としても、そうです。4×3×2×1という式が「4」から始まるのが、どうも飲み込みにくいようです。それまで小中学校で学んできたかけ算とは発想が逆だからでしょうか。丸暗記してとにかく覚えても、問題に少しひねりが加わると公式をどう活用するかわからないことが多いです。それよりも、普通の小中学生が理解できる解き方があります。Aから始まる樹形図を描いてみます。規則的なのが明らかな樹形図をわざわざ描く?そんなバカな。思われるかもしれません。規則的なのかどうかすら、彼らはまだ判断できないんです。Aから始まる樹形図を自力で描ける子はそれでもかなり数学の出来る子。大人が見たらびっくりするような、小汚くて間違った樹形図を描きます。(^-^;どのように枝が広がるかを予想して大きく余白をとって描いていくことができないので、線が交わりそうでグチャグチャです。最後のほうは枝が上にも下にも広がって、タオル専用の洗濯ハンガーみたいになってしまう子もいます。縦列を揃えることができず、終わりの位置がバラバラで、何が何だかわからなくなる子もいます。描いた本人もその出来上がりの醜さにうんざりしてしまいます。何でそんなことになるのか?彼らは、出来上がりのイメージを持っていないのです。頭の中に完成された樹形図のイメージがありません。頭の中に正しい樹形図のイメージがなかったら、Pの公式の意味は理解できません。正しいイメージが持てるまで、自分で樹形図を描いたり、模範解答の樹形図を見たりを繰り返すほうが「場合の数」に対する理解が深まります。Aで始まる樹形図をひとまとまり描いて、全部で6通りあることを数えて確かめる。これは、Bから始まっても、Cから始まっても、Dから始まっても、同じ樹形図になるだろうと予想する。